Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Отсюда С=- О, АУ, (г,) + ВУз(г,) =-= О, АУг(г,)+Вуз(г,) = О. Так как постоянные А и В не могут обращаться в нуль, то мы должны приравнять нулю определитель системы, т. е. У,(~,)Уз(~,) — У,(~,)У (г,) =- О. (3.19) Подученное уравненне (3.19) является трансцендентным карактеригтичегним уравнением поля возмущении, наложенного на поле скоростей основного потока вязкой несжимаемая жидкости.
Это Обозначим через г, значение г, отвечающее верхней стенке, т. е. „з+;р (з ать (ий) Удовлетворяя условиям прилипания к верхней стенке, получим из (3.14) следующие уравнения: й 3) течения с пгямолииайным пгоэилям гаспгядвлвния скогостяй 401 уравнение связывает значение числа )2 основного потока с кинематическнми характеристиками а и )) поля возмущений. При этом значения гс н з считаются действительными и заранее заданиымн, а для величины )) допускаются комплексные и подлежащие определению иэ уравнения (3.19) значения. Как уже было указано в 9 1, для исследования вопроса об устойчивости рассматриваемого основного течения достаточно только установить знак мнимой части множителя р из уравнения (3.19).
Но и эта ограниченная задача исследования знака мнимой части р по характеристическому уравнению (3.19) представляет весьма сложную по своим вычислениям задачу. Мы ограничимся случаем, когда произведение а)2 считается малым и когда представляется возможным цилиндрические функции в (3.11) заменить их асимптотическнмн выражениями в своей простейшей форме, На основании (3.17) и (3.13) будем иметь: яо лг =1(в)ч) '. (3.20) Следовательно, интегралы в (3.12) могут быть взяты по прямой, параллельной мнимой оси, Но концы отрезка, этой прямой ге н л могут располагаться на плоскости комплексного переменного я в различных местах.
От того, в каких четвертях плоскости х будут располагаться точки яз и я„ будет зависеть зид асимптотических выражений цилиндрических функций. Возьмйм в качестве цилиндрических функций (3.!1) функции Ханкеля, для которых имеют место следующие асимптотические выражения: НЯ(х)- $/ — е ~ (3.21) Если положить; к.= гг'г, го асимптотическне представления (3.21) будут справедливы только для значений аргумента р в пределах Х~Р~ 2' В рассматриваемом нами случае (3.1!) мы имеем: х = — я'1 .
2 Следовательно, иа плоскости комплексного переменного л = г е'г асимптотические формулы (3.21) могут быть использованы для УстОйчиВОсть ллминАРных твчвкий (тл. х! начений аргумента в пределах — е <у(-. 3 3 (3.22) о, г о (3.23) В силу детермннантного характера уравнения (3.19) постоянные множители В (3.23) будут сокращаться, поэтому в дальнейьпем мы эти постоянные выписывать не будем. Положим г=го —- и, считая ". малым, примем: При этих предположениях будем иметь из (3.23): А=готы ' о) е з(пх(го — г1 — '.)Ы:= о о - о ~п-оп о' ' ч г ! е о о о го — ол — — ТВ1п я(го — г,)+ соя х(го — г,)), (3. 24) -о, О ~о„- оа оа ' ч. =г'Р ', [ — е " ' + го — оо го + — ю' з1п я(го — г )+ соз я(го — гт)1.
Будем теперь предполагать, что точки го и г, выбраны в области указанных значений аргумента. Подставляя (3.21) в (3.11), а затем и в (3.12), получим: $ 9) тячвния с поямолинвйным птооилям таспгкдяляния скотостяй 403 После лифференцирования (3.24) получим; + г,' ! сов х (го — г,) + х з!и х (г, — г,)), ) (3.25) о Хо — Π— гун соя х(г,— г„)+хв!их(г,— г,)).
Г=— лог 1 - Иг, Ло'х Согласно (3.13) и (3.20) будем иметь: юп х(го — го) = а!и сх(а(х)Л = ! ай а, ~ соз «(го — г,) = сн а, Подставляя (3.24), (3.25) и (3.26) в левую часть (3.!9), получим характеристическое уравнение в виде (3.26) — хо + г 'зн о+ась о 'о 'о — хо — е " он о + х с!1 а о о ( н!'о'* «о После приведения к общему знаменателю харзктеристическое уравнение примет вид гу 2 — 2 сй а сй гол(а ох)'+( —,+ — ) зп а зк го'(ай)О'" = О. (3.2?) о Введам новое переменное, полагая !гол(агх) *= х, тогда будем иметь: (3,28) Х Х о а з|! г„"(аК) '" вй а =- — 4Е з!и — соз — яй — сй —, 2 2 2 2' о . х х 2 — 2 сй хо ей го'(аЯ) '=. 4 (я!по — сй — — соа — ай — ), 2 2 2 2)' и характеристическое уравнение прелставится в виде созз — с)оз —" Ьйз — — г)га — "+ ! — — — ) гд —, Вй — "1 = 0 (3,29) Таким образом, лля случая малых значений агс и при использовании асимптотических выражений (3.2!) решение вопроса об устойчивости прямолинейно-параллельного течения с прямолинейным профилем распрелеления скоростей сводится к исследованию корней характеристического уравнения (3.29).
(ГЛ. Хг кстодчивость ллминлгных твчвниб 404 Первый множитель в левов части уравнения (3.29) нельзя приравнять нулю, так как при значении х = и квадратная скобка будет обращаться в бесконечность, Выражение в квадратноп скобке (3,29) в свою очередь состоит нэ двух отдельных множителей; приравнивая нулю эти множители, получим уравнения х х а а — 1п — + —,1Ь вЂ”,-0, ~ 2 2 2 2 2 х 2 а — 19 — — —,1Ь вЂ” =0. ~ 2 а 2 (3.30) Оба уравнения (3.30) имеют один общий корень (3.3!) для которого гь'= — х, 3=0, 11413 = (а гс) "гз — ая = — хэ — аэ, (3.32) то каждому депствктельному корню х будет отвечать чисто минное значение 11 с положительным коэффициентом прн 1.
Следовательно, амплитуда волн поля возмущений, отвечающих действительным корням уравнений (3.30), будет со временем уменьшаться, а поэтому основное поле ламинарного течения с прялголинеяным профилем распределения скоростей будет устойчивым по отношению к возмущениям вида (3.5). Таким образом, методом малых колебаний не удойтся обнаружить неуспьойчиеость ломинорного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей. Выше было проведено исследование харзктеристического уравнения (3.19) для случая малых значений ага при использовании (3,21).
В работе Хопфа г) проведено исследование этого уравнения при произвольных значениях агс н при использовании зснмптотических формул для других расположений точек го и г,. Результат этих исследования сводится к тому же заключению о невозможности обнаружения неустойчивости рассматриваемого течения методом малых колебаний. г) но р1 е., Рег 4гег1аа1 ие1пег 8сьш1пяаэяеп ач1 е1пег 51гошап8 гегьепйег г1взз18аеи, Алла1еп лег Риуьщ, т.
44, 1914. Таким образам, корню х = ьа будет отвечать стационарное поле возмущении, амплитуды волн которого со временем не будут изменяться, н, следовательно, вопрос об устоячггвости основного течения не может быть решен. Известным графическим методом можно убедиться в том, что оба уравнения (3.30) для каждого фиксированного значения а будут иметь бесчисленное множество действительных корней. Так как из (3.17) и (3,28) будем нметш а 3) твчвнив с пгямолинвйнын пгоэнлвм глспгвдвлзния скогоствй 405 Обратимся теперь к прннененню энергетического метода к исследованию устойчивости ламннарного течення с прямолинейным профидем распределения скоростей.
Как уже было указано в й 2, прн прнмененении энергетического метода исследования устойчивости ламннарного течения вопрос сводятся к исследованию интегрального соотношения Ц (М вЂ” 4 ле") по .= О, з (3.33) где для случая плоско-параллельного течения дх ду ' Интегрнрование в (3.33) проводится по плошали, на границе которой проекции вектора скорости поля возмущений обращаются в нуль. )(ля случая прямолинейного профиля распределения скоростей имеем и = — „, п,—.--О иу (3.35) ,, г' г'(де' ди')э ул (чгр— ч (3.36) э Так как левая часть (3.36) и числитель в правой частн всегда положительны, то знаменатель довжен нметь отрицательное значение, а это значит, что проекции и' н о' должны в большннстве точек внутри площади о' иметь противоположные знаки. Такой именно случай будем иметь, например, тогда, коглз траектории частнц л в поле возмущений будут представлять собой подобные эллипсы, малые осн которых наклонены к положительному направлению оси х под некоторым углом (рис.
98). Итак, будем предполагать, что поле вовмугценнй обусловлено наличием эллиптического вихря с центром на средней линия между параллельнымн стенками, малая ось которого составляет с направлением и для критического значения числа Рейнольдса получим из (3.33) следующее выражение: 406 (гл, хл тстойчивость ллминлвных тячяний скорости основного течения угол а.
Введйм новые оси координат, совпадающие с осями эллиптического вихря, В этих новых осях К н Г проекции вектора скорости основного течения на основании (3.35) и формул преобразования координат будут равны и = — соз а1Хз(п а+ 1'соз а+ — ), и, в 2)' (з.зу) и = — — злп а Хмп а+ 1'соз а+ —,~. — И 2) ) Используя выражения (3.37), будем иметь: да, С дХ 2в жп 2а, дел У вЂ” - = — — з(п 2а дУ 2Ь вЂ” + — = — соз 2а, ди,, дгч У ду 1 дХ а М = — —,1(и'л — и') з!и 2а+2и'и'соз 2а).
(3.33) 2Л где и' и о' обозначают проекции вектора скорости поля возмущения на новые оси координат. Очевидно, что рассматриваемый эллиптический вихрь можно образовать нз кругового с помощью равномерного сжатия в направлении оси Х. Пусть этот круговой вихрь находится на некоторой вспомогательной плоскости с осями координат хо и уе, совпадающими с выбранными осями Х н у.
На этой вспомогательной плоскости проекции вектора скорости от вихря будут представляться в виде (3.39) "о = — ыуо по = ыхо где е представляет собой положительную постоянную величину. Буделл теперь принимать, что в рассматриваемой точке на основной плоскости проекции вектора скорости поля возмущений равны == еао = еы.уо о = пе — — мхе. (3. 41) При таком предположении (3.41) уравнение неразрывности будет удовлетворяться, а движение частиц в поле возмулцений будет происходит~ по эллиптическим траекториям. гле ы считается непрерывной функцией расстояния ге от начала координат. При этом на границе кругового вихря го = д угловая да скорость ы обращается в нуль, а в центре вихря ы н — остаются л1гл конечными. Точке с координатами хе и уе на вспомогательной плоскости будет отвечать точка на основной плоскости с коорлннатамн Х = а хе, У = уо, (3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
