Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 61
Текст из файла (страница 61)
При интегрировании первого уравнения (3.7) по углу ф получим: (3. 12) Определяя из равенства (3.12) —. и полставляя в первое уравнение Фу и'г (3.?), получим для радиальной скорости следующее уравнение: В силу симметричного распределения скоростей по входному сечению можно полагать, что и в кажлом другом сечении радиальная скорость будет распределяться симметрично относительно средней линии р = О. При этом предположении булем иметь следующие равенства: (3.14) Вводя обозначения — -=Д, )п — =Е го и используя равенства (3.14), получим из (3.13) лля рости лифференцизльное уравнение дв„дав„г а где„1 (3.13) радиальной ско- (3.10) На основании (3.9) интеграл в левой части данного равенства можно заменить отношением расхода к поаярному радиусу 368 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ЛВИЖЕНИЯ ЖИЛКОС1И (гл. х Подставляя рааложение (3.24) и равенства (3.27) в (3.23) и вычисляя простейшие интегралы, получим для радиальной скорости выражение а а ( соа = — соя =) у'л ул~ с г+ — а а )гд а!и —, — а сов =— у'л р"л ° =1 л — т'а (3.28) Если от переменного $ перейти к переменному г, то радиальная ско- рость иа (3.28) будет представляться в виде т а а (соа = — соа = р'л у'л,) — а а г ! ЙА1п —, — а соя = )лл )г л СОА Уж— а Р)'" А- 2 ~ (3.29) соя т„, аа а — — т, А Подставляя (3.29) в (3,)2), получим: а мя -=- )'Ла + л/ р~')1 Р (догА р1зв нпага дг 4авга аг1 'Адт!„4аага АГЛ А .
— а а !' ЛА1я — — а СОА = у'д тж (З.ЗО) СОА = =р +"""+Я г ЗА1.1 а а )га я!я —, — а соа— р'л (3.3!) где р — постоянная интегрирования правой части (3.30). Выполняя интегрирование в (3.30) и подставляя в (3,5), будем иметь для давления: 6 3) талвитие ллмннлююго течения жидкости в плоском лиеекзоте 369 )«а лт йиео Ра=р + ге Найдем конечное выражение суммы (3.32). Раскладывая функцию Р(х) = —. Р (х) х! Р (х) Р— хе!йх на простые дроби '), будем иметь; „,, Р,(т„,) х — (м та, 1:,( — ! л) («+т„т„,Г1 где ( — корни уравнения (3,25). Выполняя вычисления, получим: хз =3+2х У, сгт 1 — «с!йх а ~ ха — т;"ь л=! или с~ 1 .
за к~ь 2 г — '= — —;+! + —.— — —. а.а ьз а па и зь=! — ты !й а )Гл ул (3.33) Заменяя а через га, будем иметь: 2 у~~ » =! — +"'„, у% (3.34) !и = — = )% )га !) С м ир нов В. И., Курс высшей матеиатнки, т, Щ Гостехиздат, 1939, стр. 443. Из вида правой части (3.29) заключаем, что радиальная скорость на бесконечном удалении от входа в днффузор обращается в нуль, как и должно быть в силу конечной величины расхода. Вследствие этого постоянная интегрирования р должна представлять собой давление на бесконечности в диффузоре. Полагая в (3.31) г= ге, получим следующее выражение для давления на входном сечении рассматриваемого диффузора: ь 2 —, Т'в а а Я !а — —— )д вл Такии образом, разность давления на входном сечении диффузора и на бесконечности будет представляться в виде 1 а 2 )ГЛ йч ле л гео (3.35) Я ге — ш= во !% )гл При исследовании функции шх у=-1 —— можно обнаружить, что ее значение меньше 0.5 при х< 1,92 и больше 0,5 при х > 1,92.
Следовательно, при выполнении неравенства =< 1,92 (3. 36) давление в начальном сечении будет превышать то давление, которое имеет место на бесконечном удалении от входа в диффузор. Если ввести число Рейнольдса так же, как оно вволилось при рассмотрении движения в плоском лиффузоре в 5 1О главы !Ч, т.
е. в виде отношения полного расхода к кинематическому коэффициенту ввзкости (3.37) то на основании обозначений (3,15) будем иметь: (З.ЗВ) Подставляя (3.33) в (3.36), получим следующее неравенство для числа Рейнольлса: !с< — ',—. (3.39) Таким образом, при сравнительно небольших значениях чисел Рейнольдса, не превышающих значение правой части неравенства (3.39), лавление у вхола будет больше давления на бесконечности, и позтому течение жидкости будет происходить в сторону падения давления. 370 Развития ллмннлгного лвижвния жидкости !гл.
х Составляя равность левых и правых частей (З.ЗЗ) и (3.34), получим: й 3) глзвитив ллминленого течения жидкости в плоском дивекзогв 371 При использовании равенства (3.38) выражение (3,35) для перепала давлений можно представить в виде р~ — ро вее Если рассматривать случай малых углов раствора диффузора, то последним слагаемым можно пренебречь. В этом случае при выполнении неравенства Р) — '„ 7,38 (3.41) течение жидкости будет происхолить в сторону возрастания лзвлеиия. Обратимся теперь к вычислению силы ввзкости, Согласно равенствам (6.5) главы П будем иметь следующее общее выражение для касательной компоненты напряжения: Г 1 двя дет е„) =«~ — — -+ — — — / ° 'т (г де+де г! ной формуле (3.42) Подставляя выражение длв радиальной скорости (3.29) в (3.42), получим выражение для силы вязкости на стенке диффузора вз з 77я (~о)в —. ~я — — — =-, = т;„—— )а уХ "= "' а (3.43) В 9 1 главы ЧШ при рассмотрении вопроса об отрыве пограничного слоя от стенки указывалось, что условие отрыва слоя от стенки представляет собой условие обращения силы вязкости на стенке в нуль.
Распространим это условие отрыва пограничного слоя на отрыв всего потока вязкой жидкости от стенок диффузора, т. е. место отрыва потока от стенок диффузора булем определять из условия (т), = О. (3 44) Слагаемые, содержащие поперечную компоненту скорости, на основании принвтых выше попущений должны считаться малыми по сравнению с производной от о„по углу р. Следовательно, силу вязкости на стенке диффузора р.— -я можно подсчитывать по приближеи- 372 елзвнтив ллминлгного движвния жидкости [гл. х Полагая левую часть (3.43) равной нулю и обозначая отношение радиуса начального сечения к радиусу сечения места отрыва через з, т.
е. гч — = Я, гв (3.45) получи~ уравнение лля определения л аз а (м «,т л Зл „е ' — 2 а — — 1д л )ха )гд (3,46) Проведвл1 небольшое исследование уравнения (3.46). Наименьший корень уравнении (3.25) имеет значение 3, == 4,49. Следовательно, при ив|полнении неравенства 9« — =я<449 ~/л левая часть уравнения (3.46) при положительных значениях у булет всегда положительной. С другой стороны, известно, что при г 0<к<в 2 (3. 47) будет иметь место неравенство (йх)х, а в интервале 2 <л<Я зна ~ение тангенса будет отрицательным; (дх< О. Таким образом, при выполнении неравенства (3.47) правая часть уравнения (3.46) будет всегда отрицательной. А это значит, что при выполнении неравенства (3.47) уравнение (3.46) не может иметь действительного и положительного решения, т.
е. отрыва потока от стенок диффузора произойти пе мозкет. Подставляя значение Л из (3,39), получим ив (3.47) следующее неравенство длв числа Рейнольлса: (3,48) Таким образом, при сравнительно небольших значениях числа Рейнольдса, не превышающих значение правой части неравенства (3.48), отрыва потока вязкой жидкости от стенок диффузора проиаойти не может.
9 3) глзвитив ллминлгного течения жидкости в плоском диеегзоге 373 В 9 !О главы 1Ч показано, что чисто радиальное (о ж О) течение в плоском диффузоре возможно лишь при выполнении неравен- ства (3.49) и 42 ' Гт.т- 27 877 М 720 Югт Ж7 ЛО 24ОЪ сг Рпс. 95. были заиспены приближенными линейными уравнениями (3.7). )й шы торос различие правых частеи неравенств (3.48) и (3.49) следу 1 объвснить качественным различием самих требований, выполнение которых приводило к этим неравенствам.
В олпом случае (3.49) неравенство получено в результате требования возможности чисто радиального расходящегося течения в плоском диффузоре, а в прутом случае (3.48) неравенство получено в результате требования безотрывности течения жидкости в том же лиффуаоре. Уравнение (3.48) будет допускать действительное и положительное значение лля я только тогла, когда неравенство (3.48) будет заменено обратным, т, е.
2яя й)-„—. (3.50) Таким образом, при выпотнении неравенства (3.50) будет происходить отрыв жидкости от стенок диффузора, При этом, как этп Сопоставляя правые части неравенств (3.48) и (3.49), мы можем придти к выводу, что при малых углах раствора диффузора правые части этих неравенств не булут резко отличаться друг от друга. Это обстоятельство в известной мере оправдывает принятые выше допущения, благодаря которым точные нелинейные дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в плоском диффузоре 374 (гл. х Развитии ламинаоного дзнжвния жидкости 4) 4.
Развитие ламинарного движения жидкости в коиичесном диффузоре Пусть мы имеем конический днффузор с углом раствора 26„ (рис. 96). Предполагая движение вязкой несжимаемой жилкости ( дол доя установившимся и осесимметричным 1о =— О, — О, — — = О), буда дем иметь из (6.10) и (6 11) главы !! следующие дифференциальные уравнения в сферических координатах: дол о дол оз 1 др , !дзол 2 дол 1 о л дд)+А дб Аэ — а дд (ддз А дА 1 д1.,долм 2ол 2 д + — — — ~з!п '1 — / — —;, — — (з)п боя)~.
Аммпб дб'! дб / !2з Агзыпб дб до„о до одо„ о — + — — + — = вдгг 12 дб А' (4.1) 1 дд ! о„ , 2 дол, р!Одб + ~ " !газ!паз ! А' дб /' дол 2ол 1 д — + — + — — (з!и бо,) = О. дР ГГ Газ!п Ода Как и в предшествующих параграфах, упростим нелинейные дифференциальные уравнения (4.1) с помощью частичного учета слагаемых от вязкости н от квадратичным членов инерции. Во-первых, предположим, что из всех слагаемых в квадратной скобке в правой части первого уравнения (4.1) наибольший порядок величины будут иметь слагаемые, содержащие произволные от радиальной скорости по углу О.
Во-вторых, поперечную скорость оэ будем считать малой по сравнению с радиальной скоростью и на этом основании будем пре- следует из вида левой части (3.46), с возрастанием числа Рейнольдса (с возрастанием )г й) точка отрыва жилкости от стенок будет приближаться к входному сечению (величина з будет уменьшаться). Выполнение неравенства (3.50) влечйт за собой и выполнение неравенства (3.41). А это значит, что при наличии отрыва потока жидкости от стенок течение жидкости будет происходить в сторону возрастания давления. В цитированной выше работе С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
