Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 62
Текст из файла (страница 62)
М. Тарга проведено более подробное исследование развития течения вязкой жидкости в плоском лнффузоре. В частности, в этой работе приведены и ревультаты численных расчетов зависимости положения точки отрыва потока от стенок от значений числа Рейнольдса, и эта зависимость представлена графиком, которьщ мы здесь воспроизводим без изменения (рис. 95). й 4! гязвитне движения жидкости в коническом дисвтзогв 373 небрегать в первых двух уравнениях (4.1) всеми слагаемыми, содержащими поперечную скорость.
В-третьих, множитель ол в первом квалратичном члене инерции первого уравнения (4.1) заменим той скоростью К которая является характерной для каждого сечения диффузора. При этих трех допущениях нз уравнений (4.!) получим следующие приближвнные линейные уравнению дел ! др ч дг дед~ д!7 р дрс ' дмз!па дв дз др 2п дол 1 д ., ! д )7 д!7 Л Мп В да — ()сяп )+ — — (яп бо,) == О, (4.2) Проводя интегрирование по углу 0 во втором уравнении (4.2), получим давление р= — ~ +У(й) (4.3) где 7' — произвольная функция от одного переменного тт.
Г!Ри подстановке (4.3) в первое уравнение (4.2) мы можем пренебречь согласно нашему первому допущению теми слагаемыми, которые будут получаться от дифференцирования первого слагаемого (4.3). Приближенные уравнения (4.2) аналогичны приближйнным уравнениям (1.1), (2,1) и (3.4), которые были использованы в прелшеству- Рис. зб. ющих параграфах. Во всех этих уравнениях сохранялся лишь один квадратичный член инерции в первом уравнении, но не в полном свози видс, а в виде произведения некоторой скорости, характерной для данного сечения трубы или диффузора, на соответственную произволную от истинной основной компоненты вектора скорости. Легко усмотреть, что в предшествующих параграфах характерная скорость выбиралась таким образом, чтобы вводимое число Рейнольдса по характерным величинам сечения оставалось одним и тем же длв всех сечений трубы или диффузора.
Зтнм же соображением будем руководствоваться и в данном случае конического диффувора. Выбирая за характерный размер сечения геено, определим число Рейнольдса для сечения в виде р! =- — „ 17!го, (4,4) 376 глзвитие ллминлгного движения жидкости (гл. х Тогда требование сохранения числа Рейнольдса лла всех радиальных сечений будет выполнено, если характерная скорость будет переменной величиной, изменяющейся обратно пропорционально расстоянию от вершины днффузора. Полагая, что по входному сечению радиальная скорость распределена равномерно, т. е. )7 = )оа ол = ()а (4.5) при получим из требования постоянства числа Рейнольдса следующее выражение дла характерной скорости: (4.6) К граничному условию (4.5) необходимо присоединить условия прилипания частиц жидкости к стенкам диффузора: од=о, о,=о.
(4.7) при Так как элемент поверхности сферы с центром в вершине диффузора равен аИ = )7з з1п 0 г70 агф, 2яйз ~ о з!п 0 г(0 = д а (4. 8) Таким образом, задача изучения развития движения вязкой несжимаемости в коническом днффузоре сводится к решению дифференциальных уравнений (4.2) при граничных условиях (4,5), (4,7) и (4.8). Проводя интегрирование по углу 0 в третьем уравнении (4.2), получим выражение дчя поперечной скорости ., 1' оа — — — — — 1йз / о з1п 0г(0~. ЫязДадй'( ~ л а (4.9) В силу условия (4.8) левая часть выражения (4.9) будет обращаться в нуль на стенках диффузора, т.
е, условия (4.7) для поперечной скорости будут выполнены. При испояьзовании (4.3) и (4.6) первое уравнение (4.2) может быть представлено в виде Гга17а двл 1 ЛУ д Г дел ~ — — = — — — +-, — (з!и 0 — ), дК а Л,2 )7аыпе дз (, да )' (4.10) то условие постоянства расхода через радиальное сечение диффузора будет представляться в виде $4! гззвитие движения жидкости в коническом дне оязоте 3?7 Умножав левую и правую час~и этого уравнения на йза!пбд0 и проводя интегрирование по углу 0 в пределах от О до О, получим: о (/ й й — ! ! и а!П 0 Ньз~ = — — — йз( — соз О, + 1) + ып 0 ! — Г! .
о Используя условие (4.8), напдеи: дУ Г!217ойо + В ош Оо (дзп ) лй зй П вЂ” соо О,) + йз П вЂ” созе,) ( дз ), Если равенство (4.8) применить к начальному сечению, то для расхода будем иметь следуюнаее выражение: 1;! = 2п(/ой~(1 — соа Оо). (4.!2) Подставляя (4,11) в уравнение (4.10), используя (4.12) и вводя обозначения — = Д, 1п — =.", (4.13) ггой йо получим уравнение для радиальной скорости дед д д ( дел) . мо Оо (дел — — з!и 0 — ~ — 2(! е-ет — А ( — \, (4.14) дс о!и О дз 1 дз у о 1 — соа Оо1 да ~о' которое необходимо решить при следующих граничных условиях: при 1= О ол = йо, ~ (4.15) при 0= Оо ол =О.
К решению уравнения (4.14) применяем метод преобразования Г!апласа. Полагая (4.10) будем иметь , дид д( = (го+ о * дО о е-ла-зе = —;. 1 р4-2 о Применяя преобразование Лапласа к уравнению (4.14) и к первому .граничному условию (4.15), получим следующую задачу для изображения радиальпоп скорости: (4.17) 878 глзвитие ломиногного движения жидкости [гл. х Из двух независимых решений однородного уравнения (4.!7) выбираем именно то решение, которое булет ограниченным на оси диффузора, т. е, при 0 = О.
Обозначая это решение через Ао'(0) и присоединян к нему частное решение неоднородного уравнения (4.17), получим: ср = Ао'(О) +, — — с!и — ( — ! . ыор Л Оо Где 1 р+ 2 р 2 1ЛО)о Отсюда будем иметь: Ле йу оГО Лв ' (4.18) (гор 1 Р+2 Л Оо У (Оо) — — с!8 — оч (Оо) р 2 Таким образом, решение задачи (4.17) для изображении радиальной скорости будет представляться в ниле о (0о) — о (01 иор (4.! 9) Р+ 2 л "о У(Оо) с!Я Р (Оо) 2 )[о сих пор мы никаких ограничениИ на угол раствора диффузора не накладывали. А теперь допустим, что угол раствора лиффузорз настолько мал, что можно приближенно положить: с!8.
0 = —. 1 0 ' (4.20) При такой замене дифференциальное уравнение (4.17) без правой части будет представляться в виде Лог~ ! 1 Ло' [ — .=0, Лво ' О ЛО Л и поэтому ограниченное решение этого уравнения будет представлять собой функцию Бесселя нулевого порядна от мнимого аргумента, т. е. .ЦО)=7,(0~77 Р). (4.
21) Если к тому же воспользоваться рекуррентной формулой 2 „Ро(х) = (о(х) — Рз(л) то решение задачи для изображения (4.19) при малых углах рас- Удовлетворяя граничному условию прилипания, получим следующее выражение для постоянной: (, 7,(зв ~, л) — гз(О ~7 — ) ( к') (4.22) Сопоставляя равенство (4.22) с решением (235) для изображения осевой скорости частиц жидкости в круглой цилиндрической трубе, мы замечаем, что различие состоит в наличии дополнительного мно- жителя Р р+2 и в том, что под знаком аргумента функции Бесселя вместо множителей а н г находятся множители бв и О. Раскладывая правую часть на простые лроби, будем иметь: " = ",,'(") = и, ~ — ", + ~ (4.23) тле рж связаны с корнями уравнения 4(7) =О соотношением (4.24) О,)/~' = (4.25) а коэффициенты разложения (4.23) будут представляться в аиде зв(зо )Г ~) — Уо(О $/ ~) 2) Х (Ов Ог — 7 2Л., ~уе(т~я) 2о(О тя)~ я Оа(2 ..
) (4,26) Используя разложение (4.23) и выражения (4.2б), получим выражение для оригинала радиальной скорости ол Уз(О )гГ Л) — Го(зо фг — ) (ч'-') — р- '! ') ' з —,и (4.27) 2 4) влзвитие двнжвнив жидкости в коническом дичзязоге 379 твора конического диффузора будет представляться в виде 33О глзвнтив ллмннлиюго движения жидкости (гл, т При замене 4 через )г на основании (4.13) радиальная скорость он будет представляться в виде е ( ) -10(З 11 — ) — Уо(ЗОБУ Л) з(Ч' ~) +4 00' — ' 1 О (ка) О (4. 28) Подставляя (4.
12) и (4.23) в (4.11) и проводя интегрирование по переменному )с, будем иметь; — У лу 2ОБО)', 2нда, /- 2 о( о вг д! 1„, О 3'!)о ~ч )ОА(НО) !')Оа) 'о "' ' уа(т )( — — т„,) "~ ' " 'О(Ч/2) т„га(т„,) 00 ГО(та)( Л ) Те)( Л ТОО) Па основании рекуррентныл формул для бесселевых функций Ро(х)= /1(х)= 2 (ОО(х)+аз(х)! мы можем в правой части (4,29) произвести следующие замены: , '( г'й ( г'1) ~ 60' 1 Уз(даф а) 20(за)гг ~) ) (4.30) да (т„,) 382 талвитие ллминаеного движения жидкости [гл. х Подставляя в (4.34) последовательно х = Оз ~/ —; х =(=— ао получим: жи 26е 4 а=ч л '(ч'й ( зе уе( ~Л) (4, 35) 1 За+4 О /(О) Следовательно, сумма (4.38) будет иметь следующее значение: Таким образом, лля разности давлений из (4.32) и (4,36) будем иметь: Рз Р, 1 Ч т' Л ) = 2)з — 1 -1- —— яи-„' 3,,( Вч ) (4.37) При исследовании функции Р(х) = 37я(х) — lс(х) можно обнаружить, что действительным корнем этой функции будет: хт = 2,175, (4.38) и до достижения аргументом х значения хд функция будет отрицательной, а затем положительной, На этом основании будем иметь р ( Р при выполнении неравенства эч ~- <, '2,!75.
В этом случае течение в диффузоре будет происходить з сторону падения давления. Если же считать параметр 5 малым и пренебрегать поэтому первым слагаемым в правой части (4.37), то при вы- (гл. х тязвнтив лхминлвного движвния жидкости Так как при выполнении неравенства ),( А беден иметь: (4,44) у,(),) > о, у,(д) > о, то знаки левой н правой части (4.42) будут различны. Следовательно, при выполнении неравенства (4.44) отрыва жидкости от сте- ~~. Ф л ! л ггб 'обула ю,уст ыо ы ~вс г~о лина, Рвс, 97.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
