Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 59
Текст из файла (страница 59)
е. (10,36) Подставляя (!0.35) и (10.36) в (10.34) и (10.33), найдем: Используя теперь выражение (10.30), будем иметь'. (дм) 31е ге ( / ) (10.37) С помощью равенства (10.31) и (10.37) подинтегральное выражение в (!0.32) будет представляться в виде ( дшт 3 Г)го l — l — р соз 6+ о — .)! =- — — — (а ат — + ) — С соз 9. Г1~ Р = — бкраЪ'е(1 + а Яг г 1' (10. 38) При возрастании времени до бесконечности правая часть (10,38) будет совпадать с правой частью формулы сопротивления шара при установившемся лвижении вязкой несжимаемой жидкости, установленной в главе Ч. Подставляя это выражение в (10.32) и выполняя интегрирование, получим следующее выражение для результирующего воздействия неограниченной вязкой жидкости на шар, движущийся прямолинейно и равномерно: 10) движзниз шага в нвогтлничвннои вязкой жидкости 319 Вели шар будет перемещаться не с постоянной скоростью, а с переменной, то решение задачи можно получить с помощью применения формулы Дюгаиеля (1.12) к правой части (10.20).
В частности, длв результирующего воздействия ввзкой несжимаемой жидкости на шар при его неравномерном поступательном движении мы получим следующую формулу: Р,= — — ковра" (Г) — 6кра1'(Г) — 6)/ чарлз!=+ У'(т) 1. 3 (!0.39) ГЛАВА Х РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В 1. Развитие ламннарного движения между параллельными стенками В главе !Тг были решены задачи об установившемся прямолинейно- параллельном течении вязкой несжимаемой жидкости между параллельными неподвижными стенками и в круглой цилиндрической трубе. Предположение о прямолинейности траекторий всех частиц жидкости пожег оправдываться строго только при условии, что сами стенки на всвм своам протяжении являются прямолинейными и простираются в обе стороны до бесконечности.
Если же стенки по своей длине ограничены н если к тому же у своих концов они не будут строго прямолинейными, то предположение о прямолинейном характере траекторий всех частиц жидкости может оправдываться только приближенно на тех участках, которые булут достаточно удалены от коннов стенок, Как уже указывалось в 9 5 главы !Ч, ламинарное движение в цилиндрической трубе ограниченной длины может реально осуществляться при выполнении двух условий. Во-первых, число Рейнольлса не .аолжно превышать своего критического значения.
Во.вторых, длина трубы, отсчитываемая от входного ез сечения, должна превышать ллину так называемого начального участка, на протяжении которого всякого рода возмущения, неизбежно возникающие при входе в трубу, будут постепенно уменьшаться, При выполнении зтих двух условий на протяжении начального участка будут постепенно развиваться те основные признаки ламинарного режима, о которых была речь в 9 б главы !Ч. Задача определения характера движения вязкой несжимаемой жидкости на начальном участке цилиндрической трубы впервые решалась в работе Буссинеска в) с помощью ряда допущений и упрощений дифференциальных уравнений движений вязкой жилкости в цилиндрических коорлинатах.
Затеи зта же задача решалась Шиллером 'г) путви сопряжения прямолинейного профиля распределения скорости г) Воавввпевя Ю., Совр!ее йепбнв бе ГАс. б, Вс., т. 1!3, 1891, стр. 9 н 49. в) Ш ил хе р Л., Течение жидкостей в трубах, ОНТРь 1936. $1! влзвития ламинлзного двнжвния мвждт плвлллильн. стенками 35! в ядре течения с параболическим профи.чем распределения скоростей в пограничном слое. Таким же способом Л. С.
Лейбензоном ') была решена задача о начальном участке для течения между параллельными неподвижнымн стенками. Систематическое исследование вопроса о начальном участке течения в трубах и в диффуворах бы.чо выполнено в работе С. М Тарга а) с помощью приближвнных уравнений. Пусть две прямолинейные и параллельные стенки простираются до бесконечности лишь в одну сторону (рис. 90). Обозначим расстояние между стенками через 23. Начало оси х выберем в середине расстояния межлу концами стенок. Для определения движения на начальном участие применим уравнения, формалыю совпадающие с приближенными уравнениями (5.1) главы НИ1: 1 др дзи — — — +ч —, З дх дуз О, ди (1 — = др ду дл дх+ (1.!) до д — — О, У Рис. 99 В этих уравнениях квадратичные члены инерции учтены лишь частично в первом уравнении, а слагаемые от вязкости учитываются так же, как в теориях смазочного и пограничного слоя.
Множитель У представляет собой среднюю по сечению скорость. Сформулируем теперь граничные условия. На стенках должно выполняться условие прилипания жидкости к стенкам, т. е. при у= + Ь, х)0, и=О, п=О. (! .2) Расход жидкости через каждое сечение рассматриваемой плоской трубы должен оставаться одним и тем же, т. е. ь ~ иду = 2И/. (1.3) К граничным условиям (1.2) и (1.3) необходимо присоединить условие у входа в трубу.
Рассмотрим тот простейший случай, при котором основная компонента скорости и по начальному сечению трубы распределяется равномерно, т. е. при х = 0 и = У. (1.4) ") Лейб е язон Л. С., руководство по иефтепромыслозой механике, ч. 1. Гидравлика, ГОНТИ, 1931, стр, ЗЗ.
з) Та рг С. М., Основные задачи теории ламинариых течений, Гостехиздат, 195!. 3Ы влзвитив льмнньаного движения жидкости (гл. х Из последнего уравнения (1,1) для поперечной компоненты скорости о получим: !ди д à — ~ — с!У = — — а! и дУ. ,~ дх дх -ь -ь (1.5) Используя равенство (1.3), легко видеть из (1.5), что условии обращения скорости о в нуль на стенках будут выполнены.
Проводя интегрирование левой и правой частей первого уравнения (1.1) по переменному у, получим: ь ь дх ) У р дх,~ У+ ((ду)ь (ду)-ь1 Отсюда, учитывая (1,3), получим следующее выражение для перепада давления: (1.6) Таким образом, рассматриваемая задача сводится только к определению основной скорости и из следующего дифференциального уравнения параболического типа: (!.7) Уравнение (1.7) и равенства (1.5) и (1.6) будут иметь место прн любом распределении основной скорости у входа в трубу.
В рассматриваемом нами частном случае (1.4) начального распределения скоростей можно полагать, что распределение скоростей в произвольном сечении плоской трубы будет симметричным по отношению к средней линии. В таком случае будут иметь место следующие равенства: при у=о ди ду (!.6) (!.9) Обозначая (1. 10) (!.1 1) получим из (1.7) следующее деления основной скорости: ди дх' дифференциальное уравнение для опре- й 1) газвитив ллмннааного движения мзждз паглллельн.
стенками 353 Уравнение (1.11) необходимо решить при следующих граничных усло- виях: при х=О при у=О при у=)г (!.!2) Сопоставляя данную задачу решения уравнения (1,11) при граничных условиях (1.12) с задачей неустановившегося прямолинейно- параллельного движения между параллельными стенками, простейший случай которой был рассмотрен в 5 4 главы 1Х, мы видим много общего. Это обстоятельство указывает на возможность использования при решении данной задачи того же метода операционного исчисления, который использовался при решении задач в главе !Х, Вводя преобразование Лапласа по независимому переменному х от искомой функции и е-л 'и (х, у) с(х = й( (1.13) Р и используя первое граничное условие (!.!2), будем иметь: ,~-й =- е Ре — г(х =-.—. — (и) +и* = — (7+ и*.
(1.! 4) 0' Если уравнение (1.11) и второе и третье граничные условия (1.12) подвергнуть преобразованию Лапласа, то данная задача по определению скорости а(х, у) будет свелена к следующей залаче определения изображения этой скорости: лзи" Р, Р ! гни'1, .—,— — и = — — (7+ — ! — --! ауз а а ' " ~ау)ь аи' су (1.15) и' = О. при у=а РЛ хну /ь (1.!6) Йифференпируя обе части (1.!6), получим — = !/ — (Ае " — Ве г е ) Х -„) (Л,) =р' РгАе~ " — Ве ~ а ),) (1.17) Решение дифференциального уравнения (1.15) для изображения будет представлйться в зиле 554 вззвитие ламинавного движения жидкости [гл.
х Используя граничные условия (1,15) и равенство (1.17), получим для определения постоянных следующие уравнения: А — В=О, Ае~ ' +Ве ~ ' +(/ — — „~/ л[Ае~ " — Ве ~/" /=-О. рл Решая зти уравнения, будем иметь; А=В= — 2 сп "[/ — л — — „~// — зь )/ л д Подставляя значения постоянных в (1.17) и (!.16), найдем: ~Г л ~/ ~Г и сь з// Ву — сь !/ ~~ и и'= (/л— ~// -- зк ~/ -~ — а — ась [//~' л (1.18) (1. 19) С помощью обращения преобразования Лапласа (1.19) получим сле- дующее выражение для оригинала основной скорости течения; си !/ — у — сп 3/ — Ь (х, у)= — [ е ~ — нз/ — л — л пз/ — л $'р з/л У (1.20) Чтобы определить характер течения вязкой жидкости в плоской трубе для весьма далЕких расстояний от входа, достаточно найти выражение изображения основной скорости прн малых значениях параметра преобразования Расклалывая каждое слагаемое в числителе и знаменателе (!.19) и ограничиваясь слагаемыми не выше второй степени от аргумента, найдем: 1 дтз ляз 1+ -- — — 1 — —, Таким образом, на бесконечно большом удалении от входа в плоскую трубу профиль распределения основной скорости по сечению будет параболическим [и(х, у)! = — У ~1 — — „,,).
(1.21) Особенности подинтегрального выражения (1.20) совпадают с корнями уравнения (1.22) Если обозначить корин уравнения !Нх=х (1.23) черев т, то корни уравнения (!.22) будут представляться в виде Тяг р = — й —. РГ Ва ' (1.24) Полагая у = 0 и раскладывая для этого случая подинтегральное выражение (1.20) на простые дроби, получим: где коэффициенты ге и сы определяются с помощью следующих равенств: ! — сь !« — Л Р «"- «3 - "«"(1.
(1,26) Рг(РЖ) 2 ( ! Подставляя разложение (1.25) в (1.20) и используя формулу +й получим слелующее выражение для основной скорости частиц жидкости на средней линии плоской трубы: "эг (и)„,= — (7+2(7 ~~У вЂ”,( — — 1)е "' ' . (1,27) п=! Составляя отношение равности предельной скорости частиц жидкости на средней линии на бесконечном удалении от входа и скорости $ 1) Развитие лхминАРного дВижениЯ междУ НАРАллвльн. стВнкАми 355 збб РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ (шь х частиц на конечнои удалении 7. от входа к предельной скорости, найдем: е т,н -ь — „,г Х (' †...',.,)' —,;— к — 1 и 3 — и-(и)к=ь 2 (1. 28) 3 3 2' Задавая значение левой части (1.28) и решая полученное уравнение относительно длины 7., можно получить приближенное значение длины начального участка плоской трубы, на протяжении которого максимальное значение скорости частиц будет отличаться от своего предельного значения на заданную величину.
Полагая, например, значение левой части (!.28) равным 3 — (7 — (и) =, 2 ксд = 0,01 3 У 2 (!.29) и сохраняя в правой части (1,28) лишь первое слагаемое, получим следующее выражение для длины нача.чьного участка плоской трубы: ).=дй —,, (п 0,00757'- соз т, (1.30) где й представляет собой число Рейнольдса, определяемое для плоской трубы равенством й= —, «ц (1, 31) а Тх — наименьший, отличный от нуля корень уравнения (1.23), равный ') .(„= 4,493, Подставляя числовое значение корня Т, в (1.30), получим следующую приближвнную формулу для ллины начального участка плоской трубы; ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
