Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 55
Текст из файла (страница 55)
кривой, показанной на рис. 82. Положение точки максимума на этой кривой мы определим, если вайдам проивводную от (3.6) по времени дг 2У«в 2 4 и приравпяем ес нулю. В результате получим следующее выражение для времени Гж наступления максимума завихрения на ланной прямой, параллельной оси х: — (3.8) Если мы зафиксируем момент времени г и будем рассматривать интенсивность вихря (3.6) как функцию только от переменного у, то получим график этой функции, изображенный на рис. 83. Этот график показывает, что на прямой Рпс. %.
у = 0 интенсивность вихря будет максимальной для любого момента времени, но на основании (3.7) можно видеть, что с течением времени этот максимум будет убывать. Рассмотренное нами явление рассасывания вихревого слоя, имеющего место на оси х, и связанное с ним явление передачи вихря от одного слоя к другому называются диффузией вихревого слоя. На множитель (/ в выражении (3.7) можно смотреть как на .мощность исглочнина вихревого слоя.
Если вихревые слои будут заполнять целую полосу от у=а до у=о, то, вводя в рассмотрение 9 4) движвиия между нвогглниченными плйлллельными станками 319 мощность вихРЯ 4(г)), пРиходЯщУюсЯ на единицУ длины ть мы можем получить функцию источника от злемента длины полосы вихря в виде 4 2 )Тгвг Проводя интегрирование, получим функцию от непрерывного распре- деления источников вихревых слова г ге- гг м(у, Г)= — г7(г))е г" дг).
2угггг Е О (3.9) Можно ввести также в рассмотрение и непрерывную последовательность источников вихревого слон во времени от момента ". = 0 до момента ". = Т. Для етого случая функция вихря равна т Р* м(у, Г) = ~ гу(г) е г'" 2угве г По функции источника вихревого слоя (3.7) можно образовать функцию диполя вихревого слоя с помощью дифференцирования (3.7) либо по параметру ;, либо по параметру г) г!г-чР (у, Г) =- (7 е чзэс-ч)г1 — (У В)г-1, (3.11) 4 У гв (г — г)г ~ 2г(г — г)1 ге-ая м(у, Г) = — „— — — — — е ' гг — ч. и у — ч -,— „"," 4» г гп(г — г) Выражении (3.7), (3.9), (3.10), (3.11) и (3.12) — частные решения дифференциально~о уравнения вихря одномерного поля скоростей, которое мы получим иа (2.1) с помощью дифференцирования по у: д„, дгг дт дуг ' (3.
13) Уравнение (3.!3) совпадает с уравнением одномерной задачи теории теплопроводности, а введеннгге выше функции источника (3.7) и диполей (3,11) и (3.!2) совпадают с соответственными функциями теплового источника и тепловых диполей. (3.1 2) $4. Движение между неограниченными параллельными стенками Допустим, что неограниченная стеяка, совпадающая с плоскостью хОя, является неподвижной, а параллельная стенка, расположенная на расстоянии Л от первой, начала переиещаться с момента г = 0 с постоянной скоростью (7 в положительную сторону оси х 320 нвястлновившввся движение вязкой жидкости (гл, ~к (рис. 84). Предполагая движение частиц вязкой несжимаемой жидкости строго прямолинейным и используя условия прилипания для рассматриваемой задачи, будем иметь: (4.1) Рнс. 84.
Выполняя преобразование Лапласа над дифференциальным уравнением и граничными условиями, получим; (4. 2) где (4.3) Решение задачи (4.2) для изображения будет представляться в виде (4.4) Используя формулу (2.14) для обращения преобразования Лапласа, получилг для скорости движения частиц след)чощее интегральное выражение: "р р гз а(у, Г) = —, ~ егк 2щ — гьл (4.5) Для вычисления интеграла (4.5) по комплексному переменному надо установить вычеты подиптегрального выражения. Приравнивая знаменатель нулю и учитывая, что корни гиперболического синуса являются чисто мнимыми и численно равными целому числу я, ггайдзм: (4.6) да дга дг дуг ' при у)0 и 1=0 при Г)О и у=О при т) 0 и у=8 лги" р — — — и*= О, ауг при у=О и*=0, при у=8 и'= К .,)/ ру а" (у, р) = У- зла .р р' р„ Й )/ — =- Ик, рг —..= — —,', )г = 1, 2, г -- угг и =- О, и=О, а=К 8 41 движение между няогеьничянными плтллляльными стенками 321 Все полюсы будут простыми, поэтому мы можем воспользоваться разложением мероморфной функции на простые дроби в виде Ь=а Ра(р) ад + у сь (4.7) ра(Р) Р лм Р Рь 1=1 йля определения вычета сю мы должны умножить обе части равенства (4.7) на Р н затем устремить Р к нулю, т.
е. с,= 1!а —, рра(р) (4.8) ю — а Р(и) Таким образом, для коэффициента сь получим: Р ) Р, (рь) (4.9) В рассматриваемом нами случае (4.5) будем иметь: ан у т „/Р Ра(Р) / р Р' / р = — 1пп у р-аю р юну 1/ ею= Ию ея' Р-аа, / р (4.10) ь;. — дву 2е " ! а!и — '. л с„ р,сил ~у Грь л 2У ра !аз юоаля М =-- ( — 1)ее "' з!п — 'У.
(4.11) л Суммируя вычеты (4.10) и (4.11) и подставляя в (4.й), получим следуююцее выражение для скорости частиц жидкости: ь-. ь. а1п— Лчу и(у, т) = (7 — + — ~~~~~( — 1)" е Выражение (4.12) указывает на то, что при стремлении т к беско- для определения же вычета сь надо умножить (4.7) на разность Р— Р„и УстРемить Р к значению Рл, УчитываЯ, что 1!ю — з — = 11гп " а «)=Р.(Р) „ьр — рь ' „р — рл нечности распределение скорости становится линейным, т. е. !>щ (у, 1)гя(7 У вЂ”.
(4. 13) с.+„' = -й Таким образом, решение задачи об установившемся движении жидкости между параллельными стенками получается из решения задачи о неустановившемся движении при обращении 1 в бесконечность. Для силы вязкости ка движущейся стенке получим из (4.12): — ь* ° ч = — г( — ) = — „Г'-ьгл'* ч ~ ячь> а=> Для начального момента 1 = 0 сумма ряда (4.14) обращается в бесконечность. Следовательно, сила вязкости на движущейся стенке в момент начала внезапного перемещения ев с конечной скоростью будет обращаться в бесконечность. Если стенка будет перемещаться с переменной скоростью (7 = (7(г), то решение задачи по формуле (1.12) будет представляться в виде и(у, Г) = (7(О) и (у, Г)+ ~ (7'(т) и (у, à — т)ггт, (4дб) я я =гя Ь.;, я>п — „- 1>яя пг(у Г)=в+ — „Х( — 1)ьа ь' а .
(418) где ф 5. Задача Громеки о движении жидкости в цилиндрической трубе Рассмотрим неустановившееся дни>кение вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе в предположении, что по двум еб сечениям, находящнися иа расстоянии 1, Р, Р, распределены давления Рг н Ря (рис.
85), Регнение втой задачи при переменных давлениях Р, и р> и Р . 85. нс. при произвольном начальном распределении скоростей было дано еще в 1882 г. в работе И. С. Громеки '). Мы будем г) Гро меха И. С., К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубках, Казань, издание Уняверс.
типографии, 1882. В книге Дюрэнда адэродянамнкаэ, т. П1, 1989, сгр. 77, в статье Л. Прандтля неправильно ярн. писывается первое решение рассматриваемой задачи П. Шиманскому; зто решение было дано Громеков на 50 лег раньше, а при простейшем начальном условии с учеточ действия силы тяжести решение бмло дано еща Наяье (см. введение). 322 нвтстлновившакся двнжаиив вязкой жидкости (гл. >х $5) злдлчл гтомвки о движвиии жидкости в цилиидгичвской тгтзв 323 рассматривать тот случай, когда давлеиия р, и рз во времени не меняются, а в начальный момент с=О жидкость иаходится в покое. В силу зтих предположений движение вязкой жилкости будет осесимметричным, т. е.
— — О, ди дз (5.1) где б — полярный угол, проведенный в плоскости уОг, перпендикулярной к оси трубы. В полярных координатах дифференциальное уравнение(1.4) прямолинейного движения вязкой жидкости при использовании (5.1) представится в виде ди /дзи ! ди1 1 др — =»( — + —— де = (дгз г дг) р дл' (5.2) В рассматриваемом нами случае последнее слагаемое, представляю- щее собой перепад давления, отиесенпый к плотиости, будет постоян- ным, т. е. 1 д — — — = Р = совз1, (5.3) Начальиое условие и условие прилипаиия будут иметь вид: при 1=0 и=О, при г=а и=О. ~ (5 4) Проводя преобрааовапие Лапласа, т.
е. переходя от оригииала к изо- бражению в уравнении (5.2) и граничном условии (5.4), получим; изи» 1 дй р „. Рг — + — — — — ив= — — ' ига г де при г=а и'=О. (5.5) Независимыми решениями уравнения (5»5) без правой части будут функции Бесселя от мнимого аргумента и'(г, р) = А!е(г ~/ — )+ВКе~ г~/ Р )+ — — '. Так как функция Кз обращается в бесконечность при г = О, то необходимо постоянную В положить равной нулю. Для определеиия а частиым решением уравнения (3.5) с правой частью будет постоянная Р, л Таким образом, общее решение уравнения (5.5) будет иметь вид 324 нвтстьновившввся движения вязкой жидкости (гл. ок постоянной А используем граничное условие (5.5). В результате всего этого для иэображения скорости будем иметь: уо(г1/ Р) — Го(а $/ Р) и" (г, р) — — — ' (5.6) а для оригинала "( ~~'-)- ( к'-р), и(г, Г)= — — г ело го(а)/' ) ' — - ° (5.
7) Используя разложение (4.7) и равенства (4.8), получим: '( ~ —;)-"( 1~-',) р1о(а р — ) (5,8) "'~" — ")-"( ~у — ') Рьуо (иэоУ )и (5.9) (-)' (~-)' Подставляя этот ряд в (5.8), получим: с = — (гз — аз). 1 о — 4„ (5.10) Между функциями Бесселя от мнимого аргумента и от действитель- ного имеет место следующее соотношение: (5.1 1) уо(х) = Г-"./о(Хх). На основании этого соотношения корни уравнения l (ау Р)=0 будут представляться в виде /рл (5. 12) функция Бесселя от мнимого аргумента представляется следующим рядом: 5 51 задача ггомеки о движении жидкости в цнлиндгической тетив 325 где йа — корни функции Бесселя нулевого порядка /0()а) = О. (5.13) Подставляя значения корней (5.12) в правую часть (5.9), получим: ф, аз! ' ч 0( йл) На основании одного нз рекуррептных соотношений для функций Бесселя имеем: ! )о ( — !йь) = — !д (!Аа) = — — у ( — лв) = — (3 (Ал).
(5. 14) Суммируя (5.10) и (5.14) и подставляя в (5.7), получим решение рассматриваемой задачи в виде следующего ряда; н(г, Г)=Р ~ 1 — — -- — 3 д е ю — ~ ° (5.15) хр~ аз ' эх 7 (1 со аг в Чтобы получить формулу для расхода, умножим обе части (5.15) на 2ягг(г, проинтегрируем от 0 до а и воспользуемся рекуррептной формулой Я / .ге(х) хйх =. а.гг(а). о В результате получим ч= [! — 32 (5,16) Формула Пуазейля (5.9) главы 1'гг получится из (5.16) при предельном переходе времени г к бесконечности.
Для силы вязкости на стенке цилиндрической трубы будем иметь: , 'а а= — —,с ~! ,г'ледовательно, коэффициент сл будет окончательно представляться в виде 2,."( —.) -.—:. гь = — нз — — — е lг (ль) нвястлновившвеся движение вязкой жидкости [гл. !х Для корней функции Бесселя и-го порядка имеют место следующие равенства '); Х вЂ” = "1 1 1,з г (л+Н ь=! а (5.18) 1 1 ЬИ Л$ 2! 1)'( +2 ' (5.19) С возрастанием времени расход (5.16) и сила вязкости (5.17) на стенке будут возрастать и приближаться к своим предельным значениям, имеющим место при установившемся движении вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе. й 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
