Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В 8. Применение теории пограничного слоя к вопросу о затуханки вращения тела в потоке результаты теории пограничного слоя широко используются для подсчйта сопротивления трения при поступательном движении тел в вязкой среде. Однако эти результаты могут быть использованы также и при изучении отдельных случаев вращательного движения тела при набегании на него потока возлуха '). Чтобы это показать, рассмотрим предварительно следующую задачу.
У Допустим, что пластинка, имеющая в направлении оси х ширину С облувается потоком зоз- ~ 7 — — х духа, скорость которого (7 на бесконечности параллельна оси х. 1,/ Сама же пластинка перемешается со скоростью (г в положительном направлении оси г, перпендикулярно к своей ширине (рис. 73). Сооб- Рвс. 73. шим пластинке и всем частицам воздуха скорость Ъ' в направлении, обратном движению пластинки. В таком случае пластинка будет неподвижной, а частицы набегающего потока возлуха будут иметь вектор скорости Уы численная величина которого булет равна причем этот вектор скорости булет составлять с передним ребром пластинки угол а. определяемый равенством гг 1.«=р ') слезкин Н А., Затухание собсгвениого вращеизл снаряда, ЛАН СССР, т. ХХХ, № 4, 1941, 294 [гл.
Ощ теОРия погРаничного слОя Если мы будем проводить плоскости, параллельные результирующей скорости Сы перпендикулярно к пластинке, то в каждой такой плоскости движение воздуха будет одинаковым, и, следовательно, мм можем данный поток рассматривать как плоско-параллельный. Иначе говоря, мы можем ограничиться рассмотрением движения воздуха только в одной плоскости, проведенной через носой разрез АВ плзстинки, При этом длина косого разреза 1, пластинки будет равна 1, = — ')г'И*(г . рассматриваем теперь в плоскости проведенного разреза пограничный слой. Будем предполагать этот слой ламинарным.
Если мы обозначим через х, расстонние какой-либо точки на пластинке от ее переднего края, то на основании формул (2.22) и (2.16) толщина слоя 3 и сила вязкости ". равны 3=62)/ ". = 0,332())'т/ — "Р . Р Х,' (8.1) (8.2) и коэффициент сопротивления трения Обеих сторон пластинки 1,328 с = — ' у'я ' полученную силу торможения движения пластинки (8.4) можем представить в виде "*= 2~гр('((1 |,~)+ и ) (8.6] )(опустим, что вместо пластинки мы имеем круглый цилиндр длины 1 и радиуса а, который вращается вокруг своей оси с угло- разложим вектор силы вязкости на две составляющие, параллельные осяи х и г.
Составляющая, параллельная оси я, будет равна "., = — ". = 0,332(г(((з+ 'ьга)У 1/ (8.3) 1 хг ' Умножая обе части равенства (8.3) нз тх, и интегрируя от нуля до 1ы получим для силы трения, тормозящей движение пластинки в направлениии оси х и приходящейся на единицу длины пластинки в этом же направлении, выражение Г, = 0,664И(! + — )' 'у'а~ьйУ. (8.4) Вводя число Рейнольдса иг й=— ч $9) 295 пОГРАничный слОЙ нА твлв ВРАщвння вой скоростью е и облувается потоком возлухз с наружной стороны поверхности цилиндра в направлении, параллельном оси цилиндра. Заменяя в правой части (8.6) скорость 1' через ма, получим силу торможения, приходящуюся на единицу длины окружности поперечного сечения.
Умножая (8.8) на длину окружности 2яа и радиус а, получим полный момент сил торможения вращения рассматриваемого цилиндра (. = С, р( и(1+ "~')'*. (8.7) У вЂ” = — Сгваауйа(г (1 + — ) (8.8) Если скорость набегающего потока будет известна как функция времени, то с помощью численных расчвтов можно опрелелить степень затухания вращения цилинлра, помешанного в потоке воздуха.
Будем считать произведение еа настолько мачым по сравнению с (7, 1 гва1в что можно пренебречь отношением — ( — ) по сравнению с единицей, 2 '(сг) тогда из (8.7) получим: — — ) оош ,,„! г (8.9) е = еое где ее в начальная угловая скорость вращения. Коэффициент сопротивления, входящий в (8.9), определяется формулой.
(8.8). Если режим течения в пограничном слое не будет ламинарным, то значение коэффициента С необходимо взять из соответственных формул лля сопротивления трения пластинки при турбулентном режиме либо иэ результатов соответственных экспериментов. 9 9. Пограничный слой на теле вращения )(ифференциальиые уравнения устзиовившегося лвижения несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах в предположении, что движение жидкости является осесимметрнчным, т. е. (9. 1) дт ' дт Таким образом, момент сил трения, тормозящий вращение цнлинлра, зависит не только от угловой скорости вращения, но и от скорости набегающего потока воздуха.
Обозначим момент инерции цилиндра относительно его продольной оси через э', тогда дифференциальное. уравнение вращения представится в виде (гл. чш твория пограничного слоя принимают следующий вид: дог до„г дР / о„1 о — '+о — — "= — — — +э~Ля.— — "~, 1 "дг мдк р дг ( ' гэ)' до до. 1 дрг "дг * дк р дк д (гои), д(го„) дк + дг ' = и -ь Ы'-ь=,— "' (9.2) Рассмотрим случай обтекания безграничным потоком тела вращения, имеющего уравнение поверхности го = гэ (к). (9.3) При этом предположим, что начало оси к расположено в передней критической точке (рис.
74). Благодаря тормозящему лействию неподвижной поверхности и вязкости жилкости образуется пограничный слой, облегающий 'г г всю переднюю часть поверхк ности тела. Если исключить нз рассмотрения ту небольшую Рнс. 74, часть пограничного слоя вблизи самой критической точки, то толщина слоя, отсчитываемая по нормали к поверхности тела, будет мало отличаться от равности значений цилинлрического радиуса г, взятого для точки на границе слоя н лля точки с той гке абсциссой на поверхности тела гз го (9.4) л — жО, го (9.Ь) Полагая лля точек внутри пограничного слоя г=го+у, (9.6) булем иметь: Иг)х=гопм == ду о„.
и и поэтому лифференцирование по г можно заменить дифференцированием по у. Но в силу предположения (9.5) мы но>кем, например, в третьем уравнении (9.2) заменить г через гэ. Таким образом, Следовательно, за меру толщины слоя можно взять )г. Булем, далее, предполагать отнощение условной толщины слоя )г к соответственному радиусу поверхности тела го настолько малым, что им можно пренебречь, т. е.
297 погвлничный слой на тзлз вглщвния в 9! уравнение несжимаемости для пограничного слоя на теле вращекия можно представить в зиле а(х)о~! +д [ () ! 0 (9.7) Если положить х = Ех, (9.8) и о =- . гй= оа и. = (Еиы и в уравнениях сохранить лишь члены порядка единицы, то из пер- вых лвух уравнений (9.2) можно получить те же уравнения, которые были получены в 9 1 для плоского пограничного слоя, т. е.
г = 0 д) ! 1 до до„! др дао ° — -+. ==----+.-'-.-. 1 лдх Яду удх дуа' ( 9.9) — ! а х =- — ! г,с1х, у:=- — 'у — м.! о Ео, Ег га го (9.1 О) тле масштаб длины Е введен лля сохранения размерностей координат и скоростей. Скорость частиц на границе слоя с внешним потоком выразим также в виде функции от новой координаты х, т. е. (Е (х) = й( ). (9.11) ') Степа но з Е.
1!., Прнкл. матем, и нех., т. Х1, № 1, 1947. К тем же уравнениям (9.7) и (9.9) можно прийти и не прибегая к уравнениям (9,2) в цилиндрических координатах, а используя криволинейные коорлинаты х и х на самой поверхности тела и направление нормали к этой поверхности. При этом начало отсчета криволинейной координаты х берется в критической точке, а дополнительные слагаемые за счет криволинейности линий х и у не учитываются. Слелуя Е. РК Степанову а), приведем уравнения (9.7) и (9.9) к тому виду, который имеет место для пограничного слоя на соответственном плоском контуре.
Введвм следующую замену координат н скоростей; (гл. шп ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Так как дх дх Гз ' (9.12) ду го дх ! то получим: до до дх до ду газ до ге до дх дх дх ду дх Гз дх Г ду доп доп дх доп ду го доп ду дх ду ду ду 1 ду дУ дУ гз д'о гз дзо дх дх ГА дуз Гз ду и, следовательно, уравнения (9,9) и (9.7) принимают вид (9.13) до, — до„— дУ дзоп о — и+ и — и = У вЂ” +ч=' 'и дх "ду дх ду до, доо =о дх ду (9.14) Граничные условия для уравнений (9.9) и (9.7) имеют вид: о =О,оя — О, (9.10) ду при у= О при у=В о =У(х), ='=О. ~ ду Таким образом, для изучения дни>кения жидкости в пограничном слое при осесимметричном обтекании тела врашеняя достаточно провести решение уравнений (9.14) для плоского пограничного слоя при условиял (9.16) и затем воспользоваться формулами преобразований (9.10).
7(ежду прочим, заметим, что при обтекании безграничным потоком цилиндрической трубы в продольном направлении будем иметь; г,(х) = сопзг, и уравнение несжимаемости (9.7) переходит в уравнение несжимаемости для плоского потока. Следовательно, в том приближении, в котором составлены уравнения (9,7) и (9.9), пограничный слой для Если воспольаоваться преобразованиями (9.10), то из условий (9.15) получим: при у = 0 о = О, о„ = О, гоз при у=4=в 299 погглничный слой нл тзлв вглщения $9) внутренней поверхности трубы будет одинаков с пограничным слоем на внешней поверхности трубы и будет совпадать с пограничным слоем на пластинке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
