Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 49
Текст из файла (страница 49)
9 6. Приближенные уравнения теории пограничного слоя !1ля решения отдельных задач были использованы в некоторых случаях упрощенные уравнения пограничного слоя, учитывающие квадратичные члены инерции в левой части первого уравнения (1.13) не полностью. Если, например.
воспользоваться идеей метода Озеена и заменить и в первом слагаемом (1.13) через скорость частиц (/(х) иа границе слоя и соверщенно отбросить второе слагаем~в, то получим прнближвнные уравнения теории пограничного слоя (6.1) Уравнения вида (6.1) были уже испольйованы в 9 3 главы У!! для задачи погружения пластинки в вязкую среду. Если сравнить полученное там значение напряжения вязкости на пластинке (3.1!) 9 6! птиелижйннык ттдвнения теоеин поггдничного слоя 279 с напряжением вязкости, полученным в 9 2 на основании полных ураннений пограничного слоя, то можно заметить различие з значениях числовых коэффициентов порядка ббогго. Таким образом, приближенные уравнения (6.1) являются грубо приближйннымн, дающими заведомо преувеличенные значения для напряжения вязкости.
К этим уравнениям можно обращаться лишь в тех крайних случаях, в которых не- может быть использован ни один из известных приближйнных методов решения полных уравнений пограничного слоя (1.13). Например, в работах . Л. Г. Лойцянского ') приближйнные уравнения (6.1) были использованы для изучения пространственного пограничного слоя на стыке двух плоскостей, В этом случае ни один нз известных методов решения уравнений (1.13) не может быть использован. Уравнения (6.1) используются также для изучения движения жидкости в области позади тела в предположении, что движение считается ламинарным и распределение сноростей по начальному сечению этой области «следа» за телом считается известным из решений уравнений для пограничного слон'-), Упрощение вида первого уравнения (1.13) пограничного слоя можно произвести и другими способами.
Вместо способа частичного учЕта квадратичных членов инерции иожно, например, применить способ осреднвнного их учйта аналогично тому, как это было сделано в 6 !О главы Ч! по отношению н смазочному слою. При таком способе упрощения уравнения пограничного слоя принимают вид дм~ 1 др+1 (6.2) ду ди до 1 — + — =- О, дл ду ! тле )т'„— среднее по толщине слоя значение проекции вектора уско- рения на направление касательной к рассматриваемому контуру (6.3) Учитывая граничные условия (1!4) и (1,15) и уравнение несжимаемости и проводя преобразования, которые были проведены в 9 3, з) Лайцв иск ий Л.
Г., Взаимодействие пограничных слове, Труды ЦАГИ, вып, 249, 1936; Об одной задаче пространственного пограничного слоя, Труды ЛИИ, раздел физ.-мат. ввтк, дй 1, !937. !) Л о й ц я н е к и й Л. Г., Аэродинамика пограничного слоя, ГТТИ, !941, стр. !18. 260 (гл. Чш теОРив пОГРАничнОГО слоя среднее ускорение Ю' можно представить в виде (~и — — [д— ~ и ду — ~ -1 — ~ и г(у)' (6.4) О 0 Таким образом, задача изучения движения жидкости в пограничном слое будет сводиться к решению первого уравнения (6.2) и к использованию соотношения (6А) для определения толщины слоя. Наконец, можно сохранить все уравнения (6.2), а ускорение определять не с помощью осреднения, а каким-либо другим способом, например с помощью соотношения при у=О и=О, при у=э и=(/(х), 1 ди — = О.
ду (6.7) Удовлетворяя этим условиям, получим: 1 др 1 1, (1 2и дх+ 2П и Ээ' и и = — —;(уз — 2еу). аэ Используя равенство (6.9), будем иметгс (6.8) (6.9) иду = — и', 2 3 о (6.! О) е ) г) Т а р г С, Л(ч Основные задачи теории ламинарных течеиий, Гостех. издат, 196К (Р' (х, у) = и — — — ~ — ду, ди ди Г ди дх ду ,~ дх (6.5) О в ко~ором скорость и считается заранее заданной функцией, удовлетворяющей граничным условиям на границах слоя '). Рассмотрим применение упрощенной теории пограничного слоя, пречстэвляемой первым уравнением (6.2) и соотношением (6.4).
Решение первого уравнения (6.2) будет представляться в зиле и = — ( — Р -+ е Ф'.) уэ+ С,у+ С, (6, 6) Как уже было указано в 6 4, основные граничные условия для скорости и имеют вид: 9 6) пгивлижкипые уРАВнения теОРии пОГРАничнОГО слоя 28! Подставляя в (6.4) значение среднего ускорения из (6.8) и используя равенства (6.10), получим: 1др 2~(Г 2 /, еа'1 — — — — —,= — (3()й — () .').
з дк ее 15(, Бели давление определять из интеграла Бернулли, то б> дем иметь: — ' д' = — (уи', и соотношение (6.11) переплат в следующее дифференциальное уравнение для толщины пограничного слоя: 233'+ 9 — 3з = —. ЕР 30~ (г и' Решение это~о линейного уравнения относительно фе представляется в виде 'е=-В(! 'В "+') (6.13) Таким образом, толщина пограничного слоя определяется олной лишь квадратурой. Постоянное Сз долгкно быть определено либо из условия задания толщины слоя для начала отсчета криволинейной координаты, лцбо из какого-нибуль другого условия.
Для случая прямолинейной пластинки можно положить: () = — соле!, Тогда из (6.13) получим; 6= 5,48 е~ —" Р (Г' (6,14) Сопоставляя правую часть (6.14) с правой частью (2.22), мы приходим к заключению, что подсчдт толщины пограничного слоя с помощью упрощднных уравнений (6.2) и (6.4) дает завышенное вначение для числового коэффициента порядка 5,4О1 . Ошибка и определении значения числового коэффициента в формуле для толщины пограничного слоя по рассматриваемому методу оказывается всв же меньше, чем это получилось в ф 4 при применении метода интегральных соотношений, з сами вычисления стали проще и ие потребовали численного метода решения лнфференциального уравнения.
Основная скорость и по толщине слоя распределяется по параболическом> закону (6.9). По этоп причине мы не можем установить положение точки отрыва пограничного слоя. Чтобы установить пологкение точки отрыва, необходимо предварительно > точнить полученное решение для основной скорости. Это уточнение можно произвести с помощью первого уравнения (6.2), если подставить в правую часть значение ускорения, подсчитываемое уже по формуле (6.5). БСли подставить значение и из (6.9) в (6.5) и произвести 282 1гл. щп ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ зсе вычисления, то для ускорения %' получим многочлен четвертой степени, а поэтому оспозная скорость, определяемая по первому уравнению (6.2), будет представляться во втором приближении уже многочленом шестой степени.
Толщина слоя в этом приближении будет определяться равенством (6,15) а положение точки отрыва булет определяться из равенства Полученное значение (6.16) отличается от экспериментального значениа (4.!3) лла эллиптического цилиндРа на 30е/е, но вез же оно ближе к эксперииентальному, чем то значение, которое получается при применении приближенного метода Польгаузена, й 7. Распространение тонкой ламинарной струн у ~ ля,(у (7.1) Если жидкость простирается до бесконечности и там находится в покое и если нет каких-либо тзардых границ внутри жидкости, то давление можно считать всюд) постоянным, т.
е. ,О = сопя(. (7.2) )(ифференциальные ураанения, выведенные для пограничного слоя вблизи тнардой стенки, нашли своЕ применение и в изучении распространения движения от струи, зтекающей з полубесконечное пространство, заполненное той же жидкостью, но нахолящейся на бесконечности в состоянии покоя. Если при обтекании твардой границы происходит распространение торможения от стенки внутрь потока благодаря вязкости, то при втекании струи в безграничную жидкость происхолит распространение уже самого движения благодаря той же вязкости жилкости.
Такое сходство явлении и обусловливает возможность использования однкх и тех же дифференциальных ураанений. рассмотрим случай бесконечно тонкой плоской струи типа источника. Начало координат поместим в точке источника струи, ось х направим по плоскости симметрии, а ось у †- перпенликулярно к этой плоскости. Так как через элементарный отрезок г(у проходящая масса рис!у переносит с собой количество дзижения ри ггуи, то полное количество лвижения, переносимое всей струей черед зсю прямую, параллельную оси у, будет представляться в аиде РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТОНКой ЛАМННАРНОй СТРУИ Применяя теорему об изменении количества движения жидкости к области межлу двумя прямыми, параллельными оси у, и используя постоянство дааления, мы приходим к выводу о постоянстве переносимого струай количества лаижения, т. е. риэ г(у = сопя( = / = ОК .
(?.3) Полное количество дан>кения, переносимое струай, называется импульсом сжруи. Импульс струи считается заданным, так как считается заданным распределение скоростей в начальном сечении струи. Лля изучения движения частиц внутри струи используются уравнения (И)3) пограничного слоя. Эти уравнения при использоаании постоянства лавления принимают вил ди <)и дэи и — +Π— = — У— дх ду дух ' ди, ,дэ — + — =- О. дк ду (7.4) На линии симметрии продольная составляющая аектора скорости должна быть наибольшей, а поперечная составляющая лолжна обратиться в нуль. Таким образом, для линии у = О будем ил|еть следующие граничные условия; ди д — — О, у при у=О (7.5) Считая, что движение от струи распространяется до бесконечности, булем иметь дополнительное условие; при у — «оо и-ьО. (7.6) Таким образом, задача изучения движения жилкости в плоской струе сводится к решению уравнений (7.4) при граничных условиях (7.5) и (7.6) и при интегральном инварнанте (7.3).
Для случая струи типа источника можно методом размерностей свести уразнения (7,4) к одному обыкновенному уравнению. В этом случае единственной заданной размерной величиной будет импульс струи и, следовательно, масштабы длины ( и скорости (7 будут связаны олним соотношением Пэ! Кэ' у'й где (х †чис Рейнольдса, а а в неопределенное пока безразмерное число. Пользуясь этим соотношением, мы можем, например, масштаб длины выразить через масштаб скорости в аиде 284 [гл. шц ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ При таком выборе масштаба длины формулы перехода от размерных координат и скоростей к безразмерным будут представляться в зиле Кз х=-!х =-— пз У х — 'и'у,,! У= ~- У1= (7.9) и =Уи,, У .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
