Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Примем, что первые три коэффициента имеют следующие порялкн величин: 217 9 51 3АдАчА ов овтекхини ШАРА Для удовлетворения граничным условиям прилипания (5.4) положгм в правых частях (5.27): )с = а, Собирая в первом равенстве коэффициенты при функциях Р, Р,и свободные члены, а во втором — коэффициенты при ейп 8 и з!п 8 созе, получим следующие уравнения: Ао+ — —— В В, 2Л 2 2А — В а-г1 — — )+— ,! Д41 В, о ггаг Вгаг, ЗВа ЗА, + „— — — '+ я Аг+Во 2 (1 аа)+у, 6Аз — — Вогга + — ' 1 4 ЗВг о л = — ()аз, (5.18) Из второго и четвертого равенств (5.28) найдеггг 3ца Во= —— Зла 2 —— 2 (5.19) Исключая Ая и Вз из третьего и пятого уравнений, получим: Войаг — Вгаз =- О.
Подставляя значение Во из (5.29), имеем: ЗВлаа В = а 2 —— 2 (5ЛО) При подстановке значений Во и В, в (5.28) будем иметь: Згга (1 — агаг) гг (4 — Згга) 2(г г 4 — Заа ' (5,$1) Вг сг/гаг з+ 2/г 2 (4 — Зда) ' Таким образом, при принятой нами степени приближения будут определяться только четыре постоянные Ао, Аг, Во и В„, а посгоянные А и В будут определяться лишь в своей линейной ком6инации. 248 движение пви малых числах еейнольдсл, метод озевна (гл. чн Подставляя найленное значение Ар из (5,31) в формулу (5.18) для результирующей силы воздействия жидкости на шар и вволя число Рейнольлса, получим: 1 1 — — йя )хтл = бяраЧ)э 4 * 91 — — 'й) В (5.32) Считая число Рейнольдса заведомо меньше единицы, производя разложение в правой части (5.32) и ограничиваясь слагаемыми, содержащими й лишь в первой степени, будем иметь: 3 3 3 й~=бярал(Ув — =бхиа(Г(1+ 3 'г().
(5.33) й 3 Вс= 2 (б.34) Сопоставляя порядки получснпых величин правых частей (5.34) с пред- положенными порядками величин первых коэффициентов (5.24) н (5.26), мы убен<даемся в том, что принятые допущения о порядке величин коэффициентов полностью оправдались, с) 6 а1д вге! и 3., тье ьГаппт 11ом о1 нмсонз йвЫ раж а йхеп зрпепса1 оЬз1ас)е аг зша11 КеупоЫв пвшЬгез, Ргос. Коу.
Зос. А 1Ж, 1929. Таким образом, частичный учет квадратичных членов инерции по Озеену вносит в формулу Стокса для сопротивления шара поправку, относительная величина которой в первом приближении пропорциональна первой степени числа Рейнольдса. Формула для сопротивления шара становится двучленной; первое слагаемое будет содержать скорость в первой степени, а второе — во второй степени. Дальнейшее уточнение формулы сопротивления для шара, получаемой на основе использования уравнений Озеена, было произведено Гольлштейном '). Сделанное им сравнение результатов расчета сопротивления шара по формуле (5,33) и по уточненной формуле Гольдштейна с соответственными экспериментальными результатами показало удовлетворительное согласование до числа Рейнольдса, равного четырйм.
При числе Рейнольдса, равном четырвм, относительное отклонение расчетного результата по формуле (5.33) от экспериментального достигает !бам а яо формуле Гольдштейна ув,'в. Сохраняя в правых частях (5.29) и (5.30) лишь слагаемые, содержащие параметр Л в первой степени, а в выражениях (5.31) — слагаемые порядка единицы, получим следующие приближенные значения четырсх постояннных: 249 ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ШАРА Пользуясь равенствами (5.14) и (5.25), составим выражение для компонент скоростей и при этом будем пренебрегать' слагаемыми, содержащими параметр й в первой степени и выше: -1! 2йсз 222 Лтгэ А,ми В, ьп, „, и(ВББн1В, Всз)пэ) 22 ~э(пб+' " '"' '( М ' жз)' Для точек вблизи поверхности сферы произведение к)т будет малой величиной.
Подставляя значения коэффициентов (5.34) и сохраняя в правых частях (5.35),тишь члены порядка елиницы, будем иметь; 3 а ! ать О = (l соз В 1! — 2 — + — — ), 1 и 2 22 2 !ТБ)' 3 а 1ать О,= — изгп ~(! — — ' — — — — ). ~ 4 !Тз)' ! (5.36) т = — — ( ! — е-""и-Бжм(1+Иг(1+соя В)1, (5.37) О = — э!пйе лпп-:.и  — 4);( Сравнивая пол) ченные выражения (5.36) с формулами (П20) главы 7 для скоростей, полученными при решении дифференциальных уравнений Стокса лля эалачи обтекания шара, мы видим полное их совпадение (различие в знаке объясняется различием направлений скоростей потока на бесконечности). Слеловательно, частичный учет квадратичных членов инерции по Озеену не вносит существенных изменений в тот характер течения вблизи поверхности неподвижного тела, который может быть получен при полном пренебрежении квалратичными членами инерции из уравнений движения.
Однако это заключение будет верным только в том случае, если в выражениях скоростей мы будем ограничиваться слагаемыми, не содержащими вообще числа Рейнольдса. При таком предположении и правая часть формулы (5.33) для сопротивления шара будет совпадать с правой частью формулы Стокса. При сохранении же слагаемых, содержащих число Рейнольдса, будет проявляться уже некоторое рааличие в характерах течений вблизи поверхности обтекаемого тела. Совершенно иначе будет обстоять дело на расстояниях, достаточно далеких от поверхности шара. Если мы обратим движение, т. е.
наложим на жидкость и шар поступательное движение со скоростью, равной скорости шара, в обратном направлении и сохраним в выражениях (5.34) для Во и Аз лишь первые слагаемые, а в правых частях (5.35) лишь слагаемые, содержащие Ао и Вз, то получим: цоц движенив пги малых числах гмнольдсл. метод озввнл [гл. чп На далеких расстояниях впереди ша)а, где угол 0 имеет значения, близкие к л, а произведение )к)4 ижет весьма большие значения, можно пренебречь множителем с поккзательной функцией. Тогда из (5.37) получим: 31/а ~П 4Л17П ~ ок О.
(5.38) Таким образом, течение впереди шара на далеких от него расстоя- Рнс. 60 ниях по своему харантеру будет ракиальным (рнс. 66), происходящим от источника в центре сферы с мощностью Жая Сг=.— =бяа . л (5.39) Для узкой области позади шара, в которой угол 0 близок к нулю, а значение йй достаточно велико, можно положить: е- Вл кк - ккв 51 1 -)-Ф)кк(1 + СО5 О) 1 + ил)С, 5!п0 О, (5.40) При таких предположениях из (5.37) будем иметь: (5.41) На основании (5.41) заключаем, что на далеких расстояниях в узкой обдасти позади шара частицы жидкости движутся радиально, но в направлении вслед за движением нара. При этом величина скорости убывает обратно пропорционакьно первой степени расстояния от центра шара, тогда как для частиц впереди шара она убывает быстрее, а именно обратно пропорквонально квалрату расстояния от центра шара.
Таким образом, позади шара скорости частиц с увеличением расстояния от шара медленнее стремится к нулю, чем впереди шара. Такое же заключение иожно установить и по отношению к вихрям. 251 $5! злллчл ов огтекьнии шлвз Компоненты вихря из (2.13) булут прелставляться в виде (5.42) Подставляя в правые части вместо у первое слагаемое (5.23), содержа цее Ве, т, е.
3 е у = — асГ получим: 3 е егв *' 4 а(à —,—, (,—, + д) л, 3 ел!де!1 — — аУ, ( — + )е)у, 3 е 'е ы'+не = — аУ (1+)е)3) з!и 0. (5.43) Впереди шара лля больших значений показателя а)с (1 — сов О) б>.деч иметь: 3 е-вьк ы„=- — аг/ — (1+ 2)еес) мп 0 О. е (5.44) слеловательно, поверхность с максимальной завихренностью частиц будет представляться уравнением з!п 0 !и 11 = ~ . 1 (5.45) Полагая в правой части (5.43) сов 0 1, з!и 0 1 уИ' получим слелующее выражение максимальной завихренности на далеких расстояниях повали шара. (5.46) Таким образом, впереди шара интенсивност~ вихрей с увеличением расстояния от центра шара резко убывает, и поэтому лвижение жидкости впереди шара на далеких расстояниях можно считать потенциальным.
Так как правая часть (5.43) обращается в нуль при 0 =0 н 0 = я, то в промежутке межлу этими значениями интенсивность вихря будет иметь максимальное значение. Имеем: 3 е 3 и(1+атг), „„, „„,(„, д, „.„, ) 252 движения пги малых числах гвйнольдсл. матов озввнл 1гл. чп Таким образом, интенсивность вихря на поверхности «хвостовой» части потока позади шара с увеличением расстояния от центра шара затухает обратно пропорционально лишь полуторной степени этого расстояния, тогда как впереди шара интенсивность вихря убывает по закону показательной функции (5.44). Сопоставляя результаты, которые были получены при решении задачи об обтекании шара на основании приближвнных уравнений Стокса в й 7 главы Ч и на основании приближенных уравнений Озеена, мы лолжны придти к следующим заключениям. При полном отбрасывании квадратичных членов инерции получаемая картина обтекания неподвижного тела в малой степени согласуется с реально наблюдаемым течением, особенно в отношении характера потока позади тела.
При частичном же учЕте квадратичных членов инерции получается картина течения, которая с качественной стороны в отношении различий характера потока впереди и сзади тела удовлетворительно согласуется с картиной действительного обтекания потоком жидкости этого тела. Заканчивая рзссмотренне примеров использования приближенного метода Озеена, заметим, что с помощью предложенных им уравнений им самим и его учениками развита так называемая теория исчезающей вязкости.
На основании дифференциальных уравнений с частичным учетом квадратичных членов инерции Озееном') построено решение задачи об обтекании выпуклого тела безграничным потоком в интегральном виде. устремляя в этом решении коэффициент вязкости к нулю, Озеен получил течение идеальной жидкости с наличием разрыва впереди и сзади тела. Этот результат послужил основанием к постановке новой гидродинамической задачи об обтекании тела идеальной жидкостью с разрывными граничными условиями. с) Оа е ел С., Нудгодупаппх, Ее1рз~й, 1927. ГЛАВА У)П ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В 1. Дифференциальные уравнения движения жидкости в пограничном слое В предшествующих трех главах были рассмотрены три приближенных метода изучения лвиження жидкости с учатом вязкости. Следующую ступень развития приближенных методов изу. пения движения вязкой жидкости составляет глеория логранзчного слоя.
На то обстоятельство, что прилипание жилкости может оказать существенное влияние на характер течения и его закономерности, указано еща в гилродинамикс Д, Бернулли' ) В работах Навье, Пуассона и Стокса также имеются указания на то, что в связи с учетом вязкости жидкости лолжны измениться граничные условии вблизи стенок. Но зти указания вса еща не давали основания к утверждению того, что вязкость жилкости проявляется главным образом только вблизи твердых стенок.
Идея о преобладающем влиянии вязкости жидкости толгпсо вблизи стенок была высказана позднее, а именно в работе Д. И. Менделеева" ), а затем в лекциях Н. Е. Жуковскогоз). Свой оформление в виде уравнений зта идея получила в работе Пранлтля '). рассмотренные в предшествующих трах главах методы относились к движениям жидкости при сравнительно малых числах Рейнольдса, методы же теории пограничного слоя относятся к противоположным случаям, т. е. к случаям движения гкндкости прн весьма больших значениях чисел Рейнольлса. Если в метолах Стокса и Рейнольлса квалратичные члены инерции совершенно не учитывались, а в методе Озеена зти члены учитывались лишь частично, то в теории пограничного слоя Лранлтля квадратичные члены инерции г) В е г и о з111 О., Нудгобупзп1)са, ГигазЬнгро 1738.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
