Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Позади же цилиндра в области, где угол О близок к нулю, движение частиц на далеких расстояниях хотя и будет также радиальным, но с направлением скоростей в сторону движения цилиндра, и вели. чина радиальной скорости будет убывать обратно пропорционально квадратному корню иэ расстояния ог центра цилиндра: !. 51 241 ЗАДАЧА Оз ОЕТЕКАНИИ ШАРА $ б.
Задача об обтекании шара Пользуясь обобщзннымн уравнениями Стокса (2.1), рассмотрим гбтекание безграничным потоком вязкой несжимаемой жидкости неюдвижного шара с радиусом а (рис. 65), Движение жидкости пред1олагаем осесимметричным. Вводя сферические координаты й и О, 1а основании рис. 65 будем иметь: х = Йсо50, «=)с51п О, дх , дг оп = охс05 0+юг 51п 0 — Рх ! ог дх1 дг Уь= — и 51П В+о со5 1= — о — )+о.
л'дз) ' 1тдз ' (5. 1) годставляя выражения (2.23) в (5.1), получим компоненты вектора корости в сферяческ)чх координатах 1 ВИДЕ о =- — у со50+ — — '+ —, в . 2Л д!г д!Р' дг дт о,=-у яп 0+ — — — + —. 2Л !где !гдз ' (5.2) 'ак как единичный вектор г, нормали !вправлен по радиусу шара, а единичный ;ектор гя касательной направлен перпендиулярно'к этому радиусу, то, проектируя подинтегральное выраже1ие (2.22) на ось х, получим: — 11 — — й) ° 1 == — соз 0+ — 5!п 0 = — — + — — = — т.
дт дт 1 . дт дт . дт дх де дг д дх 1 дг з) =дх дг дх дР дг дЛ' дй' "аким образом, проекция на ось х главного вектора воздействия .явкой несжимаемой жилкостя на неподвижньш шар будет пред- тавляться в виде (5.3) Граничные условии на поверхности шара и на бесконсчности 1удут следующие: при й=-а и =-: — усо50+ — — х +- В = — О, дд дт л— 2Л д)г д~~ оь =-у яд 0+ — —.-)- — =О; 1 дх дт 2Л гг де ' У~ дб при Я =. сю и †. (l соз 0, л о„— — (гяп 0. (5.4) 242 двнжвния пти палых числах тяйнольдсл. метод озвянл !гл. хн Полагая Х= (7+у (5.5) Дифференцируя зто решение последовательно по х, получим новые частные решения (5.8) представляющие собой потенциалы скоростей диполей разных порядков, оси которых ориентированы вдоль оси симметрии потока.
умножая частные решения (5.7) и (5.8) на произвольные постоянные и складывая, получим следующее выражение аля функции еП (5.9) Будем иметь: + —, = — (3 созе 0 — 1), — = — — —, (5 соз'0 — 3 соз О). 15лз 3 (5.1 О) Поликомы Лежандра, как известно, опредеаяются равенством 1 Лч Р (-) — — — (тз — 1)" в " — 2вШДю~ (5.11) Полагая в (5,1!) последовательно л=О, п=1, п=2, и=3, мы можем удовлетворить условиям (5,4) на бесконечности, если потребуем, чтобы у и производные —.
и — обращались на бесдхг дхг .г дз д!7 конечности в нуль: при )7 = со у,==- О, — Лд = О, гг = О. Ойг Лиг Обратимся теперь к вопросу о построении решений дифференциальных уравнений (2.4) н (2.10). Основное решение уравнения Лапласа (2А), представляющее потенциал скоростей источника в начале координат, имеет вид у= — ° 1 дг' (5.7) 243 $ 51 злдлчл ов оатвклнин ШАРА получим: Р 1, Р,=т, Р = — (Зов — 1), 1 Ро= 2 (5гз — Зт).
1 (5.12) Сопоставляя выражения числителей правых частей (5,10) с правыми частями (5.12) полиномов Лежандра, мы получаем следующую формул)к Рд: 1 то из условия ортогональности (5.!5) следует, что для всякого в, отличного от нуля, имеет место равенство Ро(соз О) з!п 0 аО = О. о Обратимся теперь к формуле (5.3) для проекции на ось х силы воздействия вязкой жидкости на неподвижный шар. Так как злемент поверхности шара на основании рис. 65 будет равен о(3 = аз з1п 0 сГО На, (5.16) то после интегрирования в правой части формулы (5.3) по углу к и использования равенства (5.14) получим: Я = 2лрУав л! — з1п О о(0 = ! дт х л д!г =- — 2лРУа ~~~~ ( — 1)в яов "л! Р„(соз О) з1п О с!О. (5.17) (я+ 1) и! А„! Таким образом, подставляя (5.13) в (5.9), получим: о = оо (5.14) Полиномы Лежандра обладают свойством ортогональности в интервале с = — 1 (О = л) и т = ! (О = 0), т. е, ег о Р„(т) Р,„(т) Нт = — ~ Р (сов О) Рж (соз О) ып О о(О = 0 (т ~ и). -1 (5.15) Так как 244 двнжанив пти малых числах твйнольдсл, метод оэввнл (гл.
я! На основании равенства (5.!О) все слагаемые в правой части (5.17) будут обращаться в нуль, кроме слагаемого, для которого в=О. Таким образом, сила воздействия вязкой несжимаемой жидкости на неподвижный шар равна (с = — 4лрУАо. (5.18) Следовательно, для определения силы сопротивления жидкости движению шара необходимо найти лишь коэффициент первого слагаемого ряда (5.14), пропорциональный мощности источника (5.7). Обращаясь к дифференциальному уравнению (2.10), заметим, что при подстановке у, = еьм)' оно переходит, как это было показано в 9 2, в урав! .ние Л)' — Фэ)' = О. (5.19) Найдем вначале основное решение этого уравнения, зависящее только от сферического радиуса )с. Полагая у.= у(й), будем иметь: ду .г л дэу „лэ т /1 лэ! дх Р' дга дм+ Ь Ф)' а 1' = у" -1- — у', а уравнение (5.!9) примет вид 'г'в+ — Уч — Лэр =- О Р или (Г — йэЛ( = О.
Следовательно,-решение уравнения (5.19), зависящее только от сферического радиуса, имеет вид !' = — (С,еьл + Сэе-ь'!). 1 Для удовлетворения условий (5.6) на бесконечности необходимо потребовать, чтобы С =О. Таким образом, основное решение, представляющее функцию источника в начале координат для дифференциального уравнения (5.19), будет иметь вид ,-ьл (5.
20) 245 БАдлчА ОБ ОБтвклнни ШАРА Дифференцируя основное решение (5,20) по переменному х, получим новые частные решения уравнения (5.19), представляющие собой диполи различных порядков этого уравнения (5.2 1) Умножая частные решения (5.20) и (5.2!) на множитель еь"' и постоянные коэффициенты В„и суммируя, получим то общее решение уравнения (2!О), которое отвечает осесимметричному движению жи!)кости: у = — (»'-'; еь" 11 Вв — ( ). (5.22) Так как — — (й + — ) ~- — — — — (л+ — ) соз !ц -Ал ! э ч †! -Ал 2 3 у — ("+ Г) 1 — дэ ('~-Ъ)+ — ГЕ (.'+ В)К== — ~соэ З(»з + — + — „) — — (и+) —., )~ то первые слагаемые ряда для функции у ииеют вил + Вэ ~ —. — — + созэ 0 (йэ+ — + —,))+ ...
) . (5.23) Пользуясь общими выражениями (5.14) для 9 и (5.23) для у, можно. нанти по формулам (5.2) компоненты скоростей частиц жидкости. Эти выражения для скоростеп окажутся весьма сложными, и точное удовлетворение граничных условий (5.4) прилипания потребует длительных вычислений. Поэтому. мы прибегнем к приближенному способу удовлетворения этих условий. Так как ба ! 2» 2 то малым значениям числа репнольдса будут отвечать малые значения параметра й. Каждый член ряда (5.22) будет иметь слагаемое Е - АЛ, П - ч» Ь) да»!» дла()() которое при малом значении й имеет порядок единицы.
Поскольку вся сумма ряда (5.22) должна иметь ограниченное значение, то 246 движвник пги малых числах еайнольдсл. метод озгана (гл. чп О, Вэ-О . (5.24) Учитывая эти порядки, а также разложение е гп!в ппгпв = 1 — Гг)с(1 — со5 О)+ нгтсг (1 — со5 0)э— 1 2 и сохраняя в правой части (5.23) величины, имеющие порядок не выше второй степени относительно й, получим: у — Г)+ В 1 — — О(1 — сов О)-1- — Гг-)гв(! — соэ О) !— Г! 1 г п(В 2 В, гсвг 0 — — '! — + вО соэв О1 — — (1 — 3 сова О). э в Вг Ф! В ) (5.25) Так как в выражения скоростей (5.2) параметр Гг входит в знаменатель, то в числе слагаемых, происходящих от у, будут слагаемые, ! имеющие порядок величины —.
На границе шара компоненты скол' ростей должны обращаться в пуль. Следовательно, в числе слагаемых, происходящих от функции у, должны быть слагаемые, имею- 1 щие тот же порядок величины —. На этом основании мы можем л' положить, что первые коэффициенты А„ряда (5.14) имеют порялки Ап —, А 1, Аэ д. 1 Х' (5.26) Сохраняя в ряде (5.14) три первых члена и вычисляя по формулам (5.2) компоненты скоростей лишь с точностью до значения О в первой степени, найпем: О = (в" СО5 Π— '— "+ ' ' — — '=' — В СО5 0 ! — й+ О СО5 0)+ ) .4п 2АвРв ОА Рг ! 1 л — ог Рп Рг» а Вв повез Г 1 + +Вп~ — — + — (1 — со50) )-1- Дм и 'Г 2Л,',и 4 'И,з 2Х,,Я 2Игв „= — и вь — — — -~.в,~,~(- — в.пв„,в)— Ав 5!а О ОАгг!и ОсогО . в'1 Рг Рв и (,о — — — +В ~ — — -1- — яп 0(1 — со5 0)]+ Вв51пОСО50 Г 5!ПО Гж п~ 2д В, 51п 0 ЗВг соп 0 51в 0 + 2адвв лов (5,27) естественно предположить, что коэффициенты В„с возрастанием индекса убывают пропорционально степени малого параметра О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
