Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Правую часть выражения (9.4) для среднего ускорения можно представить в другой форме, если учесть равенства ь д ! и' 1 о и)г — — бу — — (ия)„—, дх .( 2 2 дх * о ь ь ь ои) — ~ и — бу — — ои~ + ~ и — бу, о (ди,,д! ил — д де+ (! = д ! и бу+ (и)а дх + С! (о)ь = 9 9! озоюцзнные трлвнения ряйнольдсл для слоя Таким образом, среднее по толщине слои ускорение будет иметь вид В'ср — — 1, ~д |пас!у — (и)4,= ~ п4(у+Се(и)4,— (ои)р~ (9.6) О о где через (и)„и (ои)р обозначены значения величин, эаключенных в скобки, иа верхней границе слои (л) и на нижней (О). В качестве примера использования уравнениИ (9А) рассмотрим задачу о сдазливании слоя вязкого вещества параллельными пластинками (рис.
60) при следуюьцил услозняк: у:=0 л —.=О, о=О, у.—.= 'и а — О, и == — ! при т э р== О, р.= О. при (9.7) Рис. 60. при х= О х=! при Используя граничные условия (9.7), получим выражения для ско- ростей и = —,' А (уз--уй), (9.8) где 1 др 1 А .=. — — + — В'рр. и дх (9.9) Второе граничное условие для и дает уравнение Из дА — К =- — —. 12 дх' Следовательно, 12 А = — ~' (С вЂ” х), (9. ! 0) где С4 — произвольная постоянная. Подставляя значение и из (9.8) в правую часть (9,6) и учитывая граничные условия (9.7), получим зыражецие для среднего уско- рения 1 4 дА Л ф, /44А (9.1 1) Если в выражение (9.9) подставить значение Юп, нз (9.1!) н значение А из (9,10) и провести интегрирование, то найдем: р= — я(р+ — '" ) з)(С4.
— — 2+ С,). Входящие з это выражение С, и Сз должны быть определены из условий (9.7) для давления. 224 (гл. в гидводинлмичаскля теогия смазки Таким образом, распределение давления в слое между пластинками будет определяться следующей формулой: р — — ~р + —,)(Š— х) х. бра Е РЛУа 1 лт 5 Полученное решение (9.12) будет отличаться от решения обычных уравнений Рейнольдса дополнительным слагаемым (9.! 2) 5шз — (Š†-л)х, 5Л' которое не зависит от вязкости и пропорционально квадрату скорости поджатия слоя.
Умноаеая обе части равенства (9.12) на г)х и интегрируя по переменному х от нуля до Е, получим следующую формулу для сопротивления сжатию вязкого слоя прямолинейной пластинкои ширины Н: г Ез 1 „П Р =- Н ~ Егг)х.== иГвН вЂ” + — 91/,.сŠ—, в Гт ' 5' /!т' О (9.13) Отношение второго сла~аемого в правой части (9.13) к первому будет выражаться через число Рейнольдса слоя таким образом: Уааа 1 (9.14) 5н 5 Следовательно, если число Рейнольлса слоя будет иметь порялок единицы и более, то пренебрегать вторым слзгаемым в формуле (9.13) уже нельзя.
ГЛАВА ЧЛ движение вязкой жидкости при мйлых числАх РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА Е !. Обобшйнные уравнения Стокса Векторное днфференцнальное уравнение лвнження вязкой несжнмаемой жидкости можно представить в следующей форме: дУ 6рвх' дУНу" дреГхе 1 — + — — + — — + — — =гт — — ягабр+тйУ. (1.1) дт дх йс дуЖ дх ей Г Левая часть этого уравнения представляет собой индивидуальную пронзводную от вектора скорости фиксированной частнцы. До снх пор под координатами х, у, х мы рааумелн координаты фнкснрованной точки пространства по отношению к неподвнжной системе координат, тогда множители Фх' еГу* гй' дг' гй г Зе Ге' представляли собой проекцнн вектора скоростн абсолютного движения фиксированной частицы на осп координат.
Будем теперь под х, у, х разуметь коордннаты геометрнческой точки по отношению к подвнжной системе коорлннат, имеющей поступательное движение со скоростью 0 н мгновенное вращение с угловой ско. ростью и (рнс. 61). Прн таком предположе- х нпн производные — —, — будут предИхе еГу' еГх' дг ' егг ' дг Рнс. 61. ставлять собой проекции на осн координат вектора относительной скоростн фнкснрозанной частицы жндкостн.
Между векторами абсолютной (У), переносной (У,) н относительной (У,) скоростей имеется следующая зависимость: — Уе+ Уе где / й у.=и+а)(я=и+ а. а, а.. х у кйп движзниз пги малых числах гзйнольдсл. метод овззнл [гл. чп Так как левую часть уравнения (!.1) можно представить в виде дУ дх' дУ с!у* дУ дв«дУ дУ вЂ” + — — + — — + — — = — ) ! ЧЧ, дс дс д» дс ду дс дз дс где ЧЧ= — г+ — У+ — й, дУ дУ . дУ дх ду дв то векторное дифференциальное уравнение абсолютного движения вязкой несжимаемой жидкости, отнесенное к поднижной системе каор.
динзт, будет иметь следующий вид: дУ вЂ” + (У вЂ” 1) — !в Х г) ° Ч Ч = Р— — ига б р+ > 'о Ч. (1,2) 1 дг Если система координат будет иметь только поступательное дан>кение, совпадающее с поступательным движением рассматриваемого тела, то уравнение (1.2) примет внд дУ ! — +(Ч вЂ” - !1) ЧЧ= Р— — -кгадр+«Ы~. дг Предполагая чис.чо Рейнольдса малым, мы можем, так >ке как и в методе Стокса, отбросить квадратичные члены инерции, содержащие переменный вектор скорости У, т. е. положить: ЧУжО.
!1.4) При етом предположении мы получим из (!.3) уравнение дУ 1 дг — - — !«' ЧУ= Р— — пгадр+«дУ, ().б) которое было впервые предложено Озееном и по его предложению названо векторным обоб>пенныл> уравнением Стокса. Будем предполагать, что ось х поступательно движущейся системы координат прямо противоположна направлению вектора скорости поступательного движения тела. В таком случае при проектировании левой и правой частей уравнения (!.5) на оси координат и при присоединении уравнения несжимаемости мы получям еле.
ду>ощую систему обобщднных дифференциальных уравнений стокса: !1.ь) дс ! ди дг от+ дг ди —.+ д.г 1) — =Р— — — + ° Ли, 1 ди ! др д» е В дх !/ —" = Р— — — Р + «по,, д» в, ду Сг — -= Р— — — +«5т, дт 1др д» * «дв до дьв — + — = О. ду де 227 $ !! оаоп>цаш>иг уРАвцвпия стокса К установлени>о уравнений (1.6) можно полой>и и с лругой сто- роны.
Вначале обратим движение, т. е. те,чй и всей л>идкости сообщим поступательное лвижение в направлении, обратном движе- нию тела. Лля обращенного движения возьмем, яапример, первое уравнение (1.!) в проекцинх на ось х; ди ди ди ди ! др — + и — + о — + ш — =- г" . - - — - + па. де дх ду де ': дх Если бы не было тела, то в обращзнном дан>кении все частицы имели бы скорость (7. Благодаря нзлнчию тела произойдет дефор- мация потока, и частицы будут иметь у>хе другие скорости. Если размеры тела предполтать небольшнмк, то новая компонента ско- рости и будет отличаться от прежней (7 на малую величину, а две другие компоненты скорости будут вообще малыми. 11з атом осноди ванин в левой части (1.7) л>ажно в слагаел>ом и — заменить мно>кидх тель и на (7, а остальными слагаемыми пренебречь.
Таким способом мы и получим чифференциальные уравнения (1.6). Сопоставляя дифференциальные уравнения (1.6) с дифференциаль- ным уравнением Стокса (!А) главы Ч, мы приходим к заключению, что обобщенные уравнения С>полса, введбнные Озеенож, учитывают ли>иь частично квадратичные члены инерции. Если первой ступенью развития приближенных методов использова- ния дифференциа.чьных уравнений движения вязкой жидкости считать дифференциальные уравнения Стокса, а второй ступенью — дифферен- циальные уравнения Рейнольдса для слоя, то уравнения (1.6) Озеена следует считать уже третьей ступенью развития приближенных мето- дов решения отдельных задач авил!ения вязкой несжимаемой жидкости.
Свои соображения о целесообразности введения яовых уравне- ний вида (!.6) Озеен построил па основании сравнительной оцен- ки порядка величин отбрасываемых квалратичных членов инерции по отношению к порядку сохраняемых слагаемых от вязкости на примере решения задачи о движении шара. В конце й 7 главы >7 было указано, что если считать число Рейнольдса меньшим единицы, то и тогда порядок величины отбрасываемых квадратичных членов инерции не может считаться всюду малым по сравнению с порядком величины слагаемых, зависящих от вязкости. В частности, на зна- чительных расстояниях от неподвижного шара порядок величины квадратичных членов инерции будет уже превышать порядок сохра- няемых в уравнениих слагаемых, зависящих от вязкости, причем наибольшие порядки величин на бесконечном удалении от шара ди до дт будут иметь как раз слагаемые и —, и — и и —. Следовательно, дх' дх дх' сохраняя в левых частях уравнений эти слагаемые в приближзнной форме, мы тем самым несколько точнее оправдываем возможность отбрасывания остальных квадратичных членов инерции в бесконечно удалзнных точках потока, 226 движение при малых числах райнольлс*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
