Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 37
Текст из файла (страница 37)
е. будем полагать лсе, характеристики движения частиц жидкости не зависящими от переменного л. т ранкчные условия. в рассматриваемой задаче будут иметь вид: и=и, о=о, при х=о р=ре, ~ (5.2) и=о, с=о, при х=а р=ре. при у =0 при у =-й Полагая в равенствах (3.6) и,=и, и,=о, =о, получим для скоростей частиц жидкости следующие выражения: и = и (1 — — ) — — — (уй — у-), ут 1 ир э й) 2Н их Г да о = — ~ — ду.
дх е (5 3) формулой (4.9) можно пользоваться для приближенного определения козффнпиента вязкости,сильно вязких веществ. Подвергая такое вещество сжатию под факсироеэйной Нагрузкой О между круглыми пластинками я определял необходимое время лля изменения толщины слоя от йе до какого-то значения й, мы можен затем вычислить ио формуле (4.9) коэффициент вязкости этого вещества.
294 (гл. щ гилголинлмичяскля таогия сиьаки В лифференииальном уравнении (3.9) для давления мы должны положнтгл ~;=о, и,=(), и,=о; лбР =о. Тогда и '("%=бр(Ут» После интегрированяя получим: (5.4) да Р =бр(уд+См (5,5) Тзк как на краях интервала переменного х давление принимает олно и то же значение, то в промежутке произволная от давления должна обращаться в нуль, Обозначим толщину слоя, отвечающую экстремальному значению давления, через й', т.
е. при Ь = й' Р = О. лз лл Тогда ив (б.5) будем иметь: (5.6) ЛР б, (1 Д~ Следовательно, уравнение лля давления примет вид (5.7) Проволя интегрирование, получим: Р= щ '(д 2дз)+Се йля определения постоянных Ь* и Се используем граничные условия (5.2) лля давления, которые теперь принимают вил Р=ре "=Дв Р=Ре. (5.8) При этих условиях 2Л Ь л~+л ' (5.9) От независимого переменного х в этом уравнении переидам к пере- менному Ь.
Ив (5.1) имеем: б 5! слой смазки мвжду нАклОнными пллстинкАИК 205 Так как ))г~+йл л) 2ЬАЬЛ (А~+ ля)ч '> 45 дт то Л' 4Л,ЛА (л,+л,)- — (д,+~у г (5.11) (т) = !А! — ! = — — У вЂ” — Д вЂ”. гдит И ! ИР е 'Аду!е Л 2 д.г' Полставляя в это выражение значение — получим: ер де (т)е= — "л (4 — —,). (5.12) Подсчитаем теперь результирующее давление Р и результирующую силу вязкости на ту часть движущейся плоскости, которая находится' непосредственно пол пластинкой. Для этого левые и правые части (5.10) и (5.12) умножнм иа лл дх = —— т и проинтегрируем от д, до йа. В результате получим; (р — р )г(Ь = — — "" 1!и — 2 '1, 6и() ~ ат дз — лг) — е -- — тл', и, и,+а,) А и, 1 (т)о йл = 1А2!и — — 3 — !. 2И(( l ле аз — ЛАА Π— т ~ Лг ~+ЛА!' 1 Р =-.
т Р =. 1 т Обозначая «А Л2 и учитывая значение т из (5,!), получим следующие формулы для результирующего давления и реаультирующей силы трения: Р =. — ~2!ил — 3 Р 2И(г" (2 „д 3" — 11 Р.— „( ~2ИД вЂ” 3 (5.! 3) (5,14) Следовательно, сечение экстремального давления рдсполагается ближе к сечению наименьщей толщины слоя. Для силы вязкости на движущейся плоскости из (5.3) будем иметь: (гл, оз гидтодинлмичвскля таотия смазки Отношение модуля результирующей силы трения к модулю результи- рующего давления будет равно » — 1 2 !п» вЂ” 3 — (» — !) »+!»а ~!и» вЂ” 2 —, (5.! 5) Если предполагать, что наименьшая толщина слоя»а будет весьма малой величиной в сравнении с продольной протяжанностью а,слоя, то на основании (5.15) можно заключить, что результирующее давление намного будет превосходить результирующую силу трения от смазки.
Таким образом, основной вффент смазки при переееенной толщине слоя заключается в образовании поддерживающей силы, которая по порядку своей величины больше результирующей силы трения. Безразмерный коэффициент в выражении (5.13) для полдерживающей силы зависит от отношения наибольшей толщины слоя к наименьшей. Этот коэффициент обращается в нуль при» = 1 и» = со, следовательно, внутри этого интервала коэффициент поддерживающей силы будет иметь экстремальное значение. Беря производную от этого коэффициента н приравнивая еа нулю, получим трансцендентное уравнение »" + 5»з — 5» — 1 — 2» (»+ 1)э !п» = О. Приблизительное значение лействительного и положительного следующего после единицы корня этого уравнения равно Р= 0,16 — ',, Р= — 0,75 ~ — = 4,7 —.
!Р!»ь Р (5.16) Для определения точки приложения вектора реаультирующего давления полсчнтаем момент сил давлений относительно начала координат. Умножая левую и правую части (5,10) на яд = »'~ ( — ф) и провода интегрирование, получнмг 5 = — Р+ — ' — (1 — »)+ — !п»~ »т бн!7че Г 1 » гп ть »+! Прн этом значении коэффициента» формулы (5.13), (5.14) и (5.15) прелставятся в виде $ 5) слой смазки мвждт наклоннымн пластинками 202 Слеловательно, для координаты х центра лавлення будем иметь следующую формулу: Ь 1 !' 2В Ва — 1 — 2В )п В Р 2 ) Л вЂ” 1 (Ф вЂ” 1)!пв — 2(Л вЂ” 1)е~' При подстановке значения )е = 2,2 получнм: х = 0,5?а. Такнм образом, точка приложения экстремального результирующего давления располагается вблизи середины рассматриваемого слоя несколько ближе к его узкой части.
На основании (5.3) распределение основной компоненты скорости и по отдельным сечениям слоя будет примерно представляться так, как показано на рнс. 55. Отсюда заключаем, что благодаря Рнс. 5о. наклону верхней пластинки прнмыкающан к ней смазка в точках, расположенных слева от сечения с экстремальным давлением, отжнмается в сторону, обратную лвнженню нижней плоскости. Это обстоятельство будет уменьшать ло некоторой степени воэможность раарыва смазочного слоя, возможность оголения движущейся плоскости от смазки. Таким образом, второй основной эффект смазки при переменной толщине слоя заключается е создании предпосылок и непрерывности смазки деизнущейси поверхности. Заметим, что если лвнжение плоскости будет происходить не в сторону узкой части слоя, а в сторону его широкой части, то во всех формулах, содержащих множитель К необходимо его знак нзменить на обратный.
В результате такого лвнження будет развиваться не подлержнвающая сила, стремяшаяся удалить пластин' от плоскости, а обратная сила, стремящаяся пластинку прижать к плоскости. Полученные выше результаты могут быть использованы лля качественного объяснения основного эффекта смазки прн вращении шипа в подшипнике. Пусть нагрузка на горизонтальный вал, вращающийся в подшипниках, направлена по вертикали.
Ло вращення вала его шнп будет касаться поверхности вкладыша подшипника 208 гндтолиньмнческья теоеия смазки (гл. ш в нижней точке (рис. 56,а), Посмотрим, что булет пронсхолить в первые моменты вращения шипа. Область между поверхностями шипа и подшипника разделим на две равные части 1 и 11. В первой !асти движение поверхности шипа булет пронсхолить в сторону широкой части слоя, поэтому результирующее давление Р на шип будет направлено от шипа к подшипнику. Во второй части, наоборот, резудьтирующая сил давления будет направлена от подшип- вг а1 Рнс. 56. ника к шипу (рис.
66, б). Так как обе эти силы ие уравновешиваются нагрузкой, то шип под лействием их будет смещаться вправо. Это смещение булет происходить до тех пор, пока направление результирующего лавления на шип не булет противоположным направлению вектора внешней нагрузки. Такое уравновешиванне внешней нагрузки результирующим давлением может произойти тогда, когла линия (аб) наименьшего зазора межлу поверхностями шипа и полшипника станет приблизительно горизонтальной (рис.
56, в). Таким образом, при установившемся движении шипа в подшипнике линия наименьшего зазора между ними смещается в сторону вращения шипа и располагается приблизительно перпендикулярно гс направлению вектора внешний нагрузки на шип. В 6. Теория Н. В. Жуковского и С. А. Чдплыгииаг) В предшествующих параграфах была развита гидролннамическая еория смазки на основе тех уравнений, которые могут быть получены из общих уравнений гидродинзмики вязкой несжимаемой жидкости с помощью отбрасывания: 1) всех инерционных членов и 2) некоторых слагаемых, обусловленных вязкостью.
Гнлролинамическая теория трения в полшипниках с учетом всех слагаемых от вязкости и при отбрасывании всех инерционных членов, т. е. на основе бигармонического уравнения лля функции тока, была подробно развита г) Жуковский Н. Е. и Чаплыгин С. Л., О тренин смазочного слоя между шипом н подшипникоч (Н. Е. Ж у к о в с н н Я, Собр. соч., г.
!!1, !949). ф 6) ТЕОРИЯ Н. Е, ЖУКОВСКОГО И С. А. ЧАПЛЫГИНА 209 ЬЬф = О. (6.1) Вводим бипо:шрные координаты (рнс. 67) 1Г х +1у — а1С(И вЂ” ', 2 (6.2) Отделяя действительную и мнимую части в (6.2), получим: 5нч 51В" сит — сола' СНЧ вЂ” сол,ь' Исключая нз уравнений (6.3) переменное :', получим: (6.3) ха+уз — 2ох с01 51+. +оз = 0. (6.4) Полагая в левой части а; = соп51, получим окружности с ралиусами а г = -+ — (65.6) сн л Рис. 37.
и с центрами, расположенными на оси Ох на расстояниях 1 = а С1)л тп (6.6) Обозначим через г, и г радиусы шипа и подшипника и через ти н т)а соответствующие окружностям шипа и подшипника значения параметра 51 (рис. 67). Кроме того, положим: Г — Г =., т; — т„= а, а — = и. Г1 (6.?) в работе Н.
Е. Жуковского и С, Л. Чаплыгина, изложение которой мы и лайм ниже. Рассмотрим вращение шипа я подшипнике при слелуюших предположениях: !) вся область между поверхностями шипа и подшипника заполнена сл~азкой, 2) оси шипа и подшипника параллельны, 3) движение частиц несжимаемой смазки с постоянным коэффициентом вязкости является плоско-параллельным и установившимся, 4) квалратичные члены инерции не учитываются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
