Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 32
Текст из файла (страница 32)
44 Используя равенствз (55), (5.2) и (55) для эназения вихря на границе цилиндра, получим: 2 (е) = ( — У) + а. а (5,6) Компоненты напряжений в полярных координатах при плоско-параллельном движении вязкой несжииаемой жидкости иа основании (6.5) главы И представляются в виде дог у 1 до„доч от т Р = Р+2Р Рг =П~ — + — — — ), ГГ = д ' 'У (. д д уо„! до 1 = — Р+2н( — '+ — — ~). (г г ду г'' (5.7) Если мы теперь возьмсм элементарную плон)алку на поверхности самого цилиндра и используем равенства (5.1), (5.2), (о.4), (5.6) и (5.7), то для нормальное ч касательной компонент получим следующие выражения: (Рж)а = (Р)а (Рте)а 2!з ((е)а О) 1 Таким образом, результируюцее возлействие вязкой несжимаемой жидкости из бесконечно длинный круглый цилиндр при 'его влоскоспараллельпом движении зависит от распределения давления н вихря вдоль поверхностн. самого 112 движение пви малых числах ввйнольдса.
катод стокса (гл. т А — 4янпий + 2рез ~ (е)е г(т. (5.9) Проектируя компоненты напряжения (5.8) на пзправление х н перпендикулярное к нему, умножая полученные проекции нз злемеит дуги абе н интегрируя по т, получим следующие выражения для компонент главного вектора сил воздействия жидкости на рассматриваемый цилиндр: з з )ге= ] Ргяаят = а] ] — (Р)е сов т-2р(е)оз)па]бу, (5.10) эта = ] Р ЭЯГ(т =В ] ( — (Р)ами у+2Р(е)аСОЗЧ]лт. э з Умножая второе равенство (5.10) на ( и складывая с первым, получим: )г +1))я = а ~ ( — р+2)рп)егтлф з (5.! 1) Будем считать движение вязкой несжимаемой жидкости установившимся н пренебрежбм квадратичными членэмн инерции. Тогда, как показано в б 2, фуккция тока будет удовлетворять бигармоническому уравнению м для давления и вихри будут иметь место следующие равенства; Р =2ПУ]Ф'(л) — Ф' (л)], ] = — (Ф'(я)+ Ф'(л)], Р— 2йьн ~ 4п!Ф'(л).
! (5.12) Постоянное слагземое в выражении дзвления опущено. Используя последнее равенство (5.12) и учитывая, что на границе цп. линдра з = азат, бл = ле~т(бт, получим для вектора результирующего воздействия вязкой несжимаеиой жидкости иа круглый цилиндр выражение в комплексной форме !ге + 1)У, = — 41ь ~ Л (Ф (з)]. т (5.13) Правая часть получеимой формулы (5.13) совладает с правой частью формулы (2.13) дла вектора результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости иа произвольный замкнутый контур.
Различие только в том, что формула (2.!3) установлена для поступательного двшкення произвольного контура, тогда как формула (5.!3) установлена лля плоско-параллельного движения, ио ие произвольного контура, а только круглого цилиндра. .цилиндра. Заметим, что нрн выводе равенств (5.3) мы ие предползгалп движение жиакости установившимся и ие пренебрегзлк квадратичными чаенами инерции. Умножая касательное напряжение (5.5) на элементарную площадку и плечо, т. е. на множитель азбу н интегрируя по у, получим результирующий момент от сил воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр отиоснтельвп его осп в виде $ 5) овщив еогмтлы длв ввзультивующкго воэдвнствия на цилинде 173 Так как на поверхности самого цилиндра мм будем иметь; ляз+ттлл О, вяз= — ляг= — аэуяч, то формулу (5.9) для момента можно представить также в виде А = — 4яраэ()-(-2р( ~ (лФ'(л)яз — лФ'(л)яа) нлн ь = — 4лрац) + Вху ~ (хп (Ф (л)! мт (Ф (я))), (5.! 4) т Таким образом, результирующее воздействие вязкой ыесжнмаемой жидкости на круглмй цилиндр при его плоско-параллельном движении зависит только от вида той функции Ф(л) комплексного переменного, через которую предста.
влжотся давление ы вихрь при отбрасывании квздратнчнмх членов инерции. В $4 бмло показано, что при выполнении требования однозначности давления н скоростей фуйкция Ф (л) может иметь следующий внл: Ф (з) = Ф* (з) + (е + !5) !и (» — зэ) (5.15) где Ф* (з) представляет однозначную и голоморфиую функцию в той области, которая не вкаючает в себя других возможных границ, кроме коытура 1 рассматриваемого круглого цилиылра. Так как на основании (5.15) будем иметь: ) е [Ф(я)) = (а+!5) 2я(, то вектор результирующего воздействия жидкости нз цилиндр нз (5ЛЗ) будет представляться в виде )7 + !)Тв = вя (5 - уе). (5,16) Проведем окружность с центром на осн рассматриваемого цилиндра и в области, заключенной между втой окружностью н контуром цилиндра, разложим функцию Ф*(л) е ряд Лорана Ф*(з) = ~ а„х'".
(5.17) СО Полагая з (5,15) за = О, получим из (5.15) и (5.17): Ф~(з) + г не з а+уй цч З В этом ряде положим: тогда будем иметм тюк Фг(азтт) + Й я тт + ~~) па„а" "тет!" 4)т. а +чт е — 1~ гт ( ~~)ч „- „„т 4!ч мч 174 двнжвниа пти малых числах гвянольдсл. мктод отоксл (гл. Следовательно, вихрь на границе рассматриваемого цилиндра будет представляться в виде следующего ряда; + ч (н)д — — — (асозч+Рз1пч) — ~~~~~па" [аяе г(" ц"+аие '0' ')т). (518) Умножая обе части равенства (5.18) на ду, интегрируя по углу т от 0 до 2я н подставляя результат в формулу (5.9), получим для результирующего момента й следующую формулу; 1 = — 4яназ (й + аг + ах).
(5.19) Таким образом, результирующий момент сил воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр зависит только от козффнцнента того слагаемого в ряде Лорана (5.17), которое содержит комплексное переменное,з в первой степени. На основании формул (5.16) я (5.19) мы приходим к выводу, что для определения результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр прн его плоско-параллельном движении при отбрасывании квадратичных членов инерции нада: 1) после рещения бнгармоническаго уравнения для функции тока скорость представить в комплексной форме а+ (е= — 1(Ф(С)+(Ф'(()+Х'(()), (520) где 5 представляет комплексное переменное, начало которого может и не совпадать с началом комплексного переменного л; 2) входящую в (5.20) функцию Ф (ь) представить в виде Ф (л) = (а+ 15) 1п л+ ~~~~~ а лч; 3) значения коэФфициентов а, 5, ах н ах подставить в формулы (5.!6) н (5.19) ф 6.
Движение жидкости в плоском диффуаоре Плоско-параллельное радиальное движение вязкой жидкости было рассмотрено нами в 6 10 главы 1Ч без отбрасывания квадратичных членов инерции. Теперь же мы рассмотрим это движение беа учбта квадратичных членов инерции, т. е. на основе бигармонического уравде пения. Пусть иы имеем плоский диффузор (рис. 45). Движение жидкости в диффузоре буден предполагать установившинся и строго радиальным, т.
е. о = — — им О. (6.1) дф дг Рнс. 45. Обозначим половину угла раствора днффувора через.ро. При указанных выше предположенияй рассматриваемая задача сводится 6! движинив жидкости в плоском диеетаога г решению бигармонического уравнения Ддф=О зри следующих граничных условиях: (6,2) и = — — =О, 1 дф г дт ф= О, при 9 — — 9о при о=О "рн т — 'те (6.3) 1 2 .де !) представляет собой величину расхода жидкости через каждое ;еченке диффувора. На основании предположения (6.!) функция тока ф не будет зависеть от радиуса, поэтому Дф— 1 Фф гз Итз ' б Фф 2Фф 1лчф ддф= — —,— — — + — —. гз Лтз В дтз гз Л14 ' Гакнм образом, в рассматриваемом случае бигармоническое уравне- ние (6,2) сводится к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению: А+С=О,  — 2Сяп 2фе+ 2В сов 2фо — — О, В+ 2С з!и 2фо+ 2В сов 2фо — — О, А +Вфо+ С сов 2фз+ О з!и 2фо —— — ф. 1 ° тсюда С=О, А=О, О -Е. 1 1 2 з!п 2тз — 2тз соз 2гз' 1 О 2соз21з 2 з!в 2гз — 2гз оз 2тз' (6А) дта дтз Общее решение дифференциального уравнения (6А) будет представляться в виде ф = А+Вэ+С сов 2ф+!) з1п 2ф.
Обращаясь к граничным условиям (6.3), получим для определения постоянных уравнения !76 движаниа пгн малых числах геннольдсл, мвтод стокса 1гл. т Таким образом, функция тока и радиальная скорость будут пред. ставляться в виде 1 эщ 24 — 2т ссе 2то ф 2 мп ЗГ4 2те соэ 2то' Е сов 2т — соз 2тэ г зщйте 2тасоа2то (б,о) Так как 4В . Г 4ГГ1 Ьф= — — мп 2р = 1гп ~ — 1, то на основании соотношения (2.9) получим для давления; (6.6) Полагая в этих формулах " = гТо у=гт получим: огне щз (пэ у )' зе (6.7) Первач иа формул (6.6) представляет собой скорость ламинарного движения жидкости между двумя параллельными неподвижными Сопоставляя полученные формулы (6,6) и (6.6) с формулами (1О.З) и (10.7) главы!У, мы заключаем, что как при сохранении квадратичных членов инерции, так н при их отбрасывании завнсньншти радиальной скорости и давления при движении жидкости в плоском диффузоре от расстояния г от вершины диффуэора остаются одними и теми же, меняются лишь завнскмости этих величин от полярного угла е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
