Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 34
Текст из файла (страница 34)
47. Линии тока, отвечающие абсолютному движению жилкости, прелставляемому функцией тока (7.12), показаны на рис. 48. Благодаря наличию в фор- ,В 7) движянив шлоь в няогоаничвнной жидкости 133 доч слагаемое род — , которое на основании (7.20) будет представляться дР ' в виде дол 3 соз'В г азсг 3 а авз ро — = — раУз — (1 — — ) ~1 — — — + — ). (7.23) д дх) 2 и (, Ф)1 2 А' А)' В этом же уравнении было сохранено слагаемое — —, обус- дВВ 17в з1п В дз ловленное вязкостью, которое на основании (7.3) и (7.13) будет равно и д770 до соз 0 да зш В дз д17 — ' = — = — ЗарУ вЂ”.
(7.24) Составляя атно|пенне модулей левых и правых частей (7.23) и (7.24), получим: до, дР~ 1 ааУ Р (' за аз 2аз ав') дд 2 Н а 1 2Ф Дч Лз 217'У' — = — — — ( соз В111 — — — — + — — — 1. (7.25) дР На основании полученного равенства (7.25) мы заключаем, что даже при Й= — '( 1 (7.26) порядок отбрасываемых квадратичных членов инерции мал по сравнению с сохрананными членами в уравнениях Стокса не во всех точках области, занятой жидкостью. Вблизи поверхности сферы выран0ение в скобке (7.25) обрашается в нуль, и поэтому отбрасывание квадратичных членов инерции в уравнениях движения до некоторой степени приближения может считаться справедливым, но на значительных расстояниях от сферы отбрасывание квадратичных членов с точки зрения проведенной оценки (7.25) нельзя считать вполне законным.
Обратим внимание на то, что высказанные заключения о возможности отбрасывания квадратичных членов инерции основаны на сравнительной оценке порядка лишь отдельных слагаемых, вычисленных после решения приближенных уравнений Стокса. Поэтому эти ааключения нельзя рассматривать как абсолютный критерий применимости приближенных уравнений Стокса. Критерием возможности использования приближенных уравнений Стокса могут служить только результаты эксперимента, ревультзты сравнения вычисленных значений, наприиер силы сопротивления шара, с результатами непосредственного еа измерения.
На основании многочисленных экспериментов установлено, что формула Стокса (7.17) может считаться ааконной длв чисел рейнольдса, меньших половины. гоэ движвнив пги малых числах овйнольдсл. метод стокса (гл. ч $8. Вращение шара в вязкой жидкости Приближенные дифференциальные уравнения Стокса установившегося движения несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах соглзсно соотношениям (7.1) главы !Ч будут представляться в виде др / о 2 — т дг ' ( " гз гз дт l' др Г от 2 до„! ,— =р (бо — — + — „ де ( гт „з дт ) 1 г дл до„ог ! до до, — "+ — "+ — — '+ — ' == О.
дг г г дт да (8.1) Будем предполагать, что траектории всех частиц суть окружности с центрами на оси г, т. е. о„= — О, о,— О. (8.2) При этом предположении из уравнения яесжимаемости (8,!) будем иметь до —" =- О. дт (8.3) Если считать давление р не зависящим от тч то для единственной компоненты скорости о„ получим из (8.1) следуюг~ щее дифференциальное уравнение: при й=а от — — аг=аа яви (8.6) бог — —" ,= — О.
(8.4) Учитывая выражение (6.12) главы П оператора Лапласа в сферических координатах и (8.3), дифференциальное уравнение (8.4) можно представить в виде дзо 2 до ! дзо дА~~+,9 д!3 + Д! дез + Рассмотрим теперь задачу о вращении шара в безграничной вязкой жидкости с постоянной угловой скоростью а вокруг оси а (рис. 49). Напишем условие прилипания частиц жидкости к поверхности шара: ВРАщвннв ШАРА В ВязкОЙ жидкости 185 й 8! Подставляя значение о из (8.8) в (8.5), получим обыкновенное дифференциальное уравнение а'г 2 АУ 2 ,!!7З !Р «!р !Рь — + — — — — У= О. Решение етого уравнения представляется в виде Х С)7+ с (8.9) )Аля удовлетворения граничного условия (8.7) на бесконечности необходимо полоокитгп С, = О.
Используя граничное условие прилипання (8.6), получим: С =воз. Таким образом, решение рассматриваемой задачи о вращении шло* в неограниченной вязкой жидкости будет представляться в зиле вао о!и 0 ко (8.10) На основании (6.9) главы В и предположений (8.2) и (8.3) для касательных компонент напряжения будем иметь: до о Р до ° =-.Ы вЂ” Ь) "=;( —,' — "«8) Подставляя значение о из (8.10); получим: р =О, (р и)„= -Зов вп В, рто=О. (8.11) Лля вычисления результирующего момента сил сопротивления вращению шара в вязкой жидкости необходимо выражение (8.11) для (р в)„ умножить на злеиент поверхности аойпВо(Вс(р и на плечо относительно оси а з!п 0 и проинтегрировать по всей поверхности шара. В реаультате мы получим: У.„= ~ ~ (ртп)оааз!ВВВдВФо= = — бпрвао ~ ыпзВЫВ = — 8прваз.
(8.!2) о Будем полагать, что на бесконечном удалении от шара скорость жидкости обращается в нуль: при )7=по От=О. (8.7) Вид граничного условия (8.6) указывает на возможность искать решение дифференциального уравнения (8.5) в виде от = шп07Я), (8.8) 136 движзниз пги малых числах гзйнольдсл. мвтод стокса [гл. т Таким образом, при решении задачи о вращении шара в неогранкченной вязкой жидкости на основе приближенных уравнений, без учета квадратичных членов инерции момент сил сопротивления вязкой жидкости пропорционален первой степени угловой скорости вращения. Е 9. Движение вязкой жидкости в коническом днффузоре Рассмотрим движение вязкой жидкости в коническом лиффузоре в предположениях: 1) жидкость считается несжимаемой, 2) движевие предполагается установившимся и осесимметричным, 3) действием массовых сил и квадратичными членами инерции можно пренебречь и 4) движение частиц является строго радиальным, т.
е. от — О Лз1П В ддэ (9.1) При этих предположениях функция тока булет удовлетворять диф- ференциальному уравнению Стоков (9.2) ов)=о и, кроме того, не будет зависеть от переменного гс. Учитывая выражение (7.2) оператора Стокса и независимость функции тока от К, получим: зжа К~ ! НФ~ (9.3) '= 17з ЛВ1.1 В,~В) Введем новое независимое переменное, полагая соз В =- -..
(9.4) Тогда из (9.2) и (9.3) получилп 1 .,з ьпф 7)7)ф ' б(1 2) +(1 -Я) (1 т ) ~ 9 1 1 изр Ж 1 и'"т «тз ~ лтз лз лмр 1 атз , бф+(1 —:) — '1=9, лтз 1 или (1 — ) ~„+бф=С,+Сят. леф 9.5) Легко видеть, что частное решение дифференциального уравнения (9.5) с правой частью представляется в виде ф»= — (С,+ Сзс) = А+Вт. Таким образом, дифференциаль е уравнение (9.2) будет предстлвляться в виде 9 9) движвнив вязкой жилкости в коничвском диеетзогв 187 Проверкой можно убедиться, что частное решение дифференциального уравнения (9.5) без правой части будет иметь вид ф» = С(» —:3). Для построения второго частного решения однородного уравнения положим: фз = ф»и (»). Тогда будем иметь: 2(1 — 3»э) — +(1 — »3) — = О, "% а'и = — 2й 1!и (» — »з)!. Лл гз л'» ( — »1)з ' !3 1+» 3»1 — 21 и =Р ~ (»з-+Сз — Р ( 4!и !— 1+2»(! 1))+Сз. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (9.5) преаставится в виде ф = л+8»+с( —; )+ +Р ~ — (» — »з) !п — + + — »э — 1~.
(9.6) Обозначим угол раствора конического диффузора бе (рис. 50), Рнс. 50. а полный расход через сечение — (). Граничные условия, выражающие прилипание частиц жилкости к стенкам н заданную величину расхода,'можно представить в виде: при ". = — 1 ф=о, при»=» — з Р-' Ын З ЛЗ Лг» в, () = 2г. ~ од йз з1п 8 49 = 2».
[ф(те) — ф (!)), » (9.7) Производная от функции тока ф (9.6) по переменному» благодаря наличию слагаемого с !п(1 — ») будет при» = 1 обращагься в бесконечность. Поэтому для обеспечения регулярности радиальной скорости внутри конуса необходимо положить: Р = О. движвник вязкой жидкости в коннчвском диеекзоги 189 Таким образом, при малых углах раствора конического диффузора радиальная скорость и перепад давления будут представляться при- ближенно в виде Рз Зе4 Й=- к 4 (' — '"') (9.10) Полагая, наконец, получим: гсб,=а, )с0=г, 2ьг каа (9.11) з) Славкин Н.
А., движение вязкой жидкости в конусе н между двумя конусами, Метем. сборник, т. 42, га 1, 1935. Сопоставляя зти формулы с формулами (5.9) и (5.9) главы Ш для движения жидкости в цилиндрической трубе, мы видим, что правая часть первой формулы (9.11) для скорости в точности совпадает с правой частью соответственной формулы для скорости движения в цилиндрической трубе. Козффицнент правой части выражения (9.11) для перепада давления представляет собой выражение перепада давления в цилиндрической трубе.
Следовательно, множитель в скобке выражения (9.11) есть первая поправка в перепаде давления на конусность трубы. Выражение (9.6) для функции тока может быть использовано также и для решения задачи о движении вязкой жидкости между двумя соосными конусамнт). ГЛАВА Н1 ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ я 1. Теория И. П, Петрова В предшествующей главе рассмотрены отдельные задачи на применение тех приближенных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости, которые получзются из полных дифференциальных уравнений при отбрасывании всех квадратичных членов инерции, но прн полном сохранении всех слагаемых, обусловленных вязкостью.
Следующую ступень развития приближенных методов теории движения вязкой жидкости составили дифференциальные уравнения, получающиеся из полных при отбрасывании всех квадратичных членов инерции и при отбрасывании лишь отдельных слагаемых, обусловленных вязкостью. Толчком к развитию именно второго приближенного метода использования дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости послужила весьма важная техническая проблема смазки в машинах. Основателем так называемой гилродинамической теории смазки является известный русский ученый и инженер Н. П.
Петрова). В своей основной работе, посвященной вопросам смазки, Н. П. Петров много внимания уделил доказательству зозрожности использования самой гипотезы Ньютона о силе вязкости. В втой же работе он дал решение залачи для того случая, когда поверхности шипа и подшипника приняты за поверхности соосных круглых цилиндров. Для проверки своих теоретических ааключений Н. П.
Петров произвел большое количество опытов. Эти опыты не только подтвердили основные полоигепия его теории, но и много способствовали выяснению вопросов, которые возникли в то время в связи с использованием минеральных масел. Задача о круговом движении частиц вязкой жидкости между двумя вращающимися соосными цилинлрамн была рассмотрена нами в 9 8 главы ГП при условии полного прилипзния жидкости к стенкам. В работе же Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
