Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 31
Текст из файла (страница 31)
функция Ф' (г) будет функцией однозначной. Таким образом, можно положить: Ф'(г) = Ф' (г) — — (п (г — "4), 2з (4.5) где Ф' (г) будет функцией, олнозначной и голоморфпой во всей области, занятой жидкостью. Выполняя ннтегрнропаипе, получим: Ф(г)=Ф (г)+(а+!8)1п(е — гз) — —,г(п(г — гз), (4.0) Вг 2и где Фх(г) представляет собой однозначную в голоморфиую функцию.
Положим х'(г)= Х ("а+!ба)г"!п(г-гз)+Х' (г) (4.7) а=ь 4) Я ! о Ь е з О., Тгапь Са ш Ь. РМ1. Я ос., т. ! Х, ! 851. з) 97!1!оп, РЬйоз. Майаз(пе, уй 175, 1915. а) Обцт!з1, Ма(Ь. Ее(!зейт., т. 32. 4) См. сноску на стр. 158. 4) Мих ли и С, Г., Плоская задача теории упругости, Труды Сейсн Нв-та, Уй 65, Изд. АН СССР, 1935, 166 движвиив паи малых числах авйиольдса. мвтод стокса (гл.
ч н потребуем, чтобы скорость, представляемая равенством (2.6), была одно- значной. Для этого необходимо подсчитать приращение правой части (2.6) с учйтом равенств (4.6) и (4.7) прн обходе замкнутого контура и приравнять это приращение нулю: — ![(а+ ф) 2я1 — — а(2яг) + Вя+ д„(оа — фа) я ( — 2в!)~ =О.
В1 'цт г т 2в а=о где Ф" и у" — функции, однозначные и голоиорфиые внутри рассматриваемой области. При представлении функций равенствами (4.9) как давление, так и скорость во всей области булут однозначными функциями. Если же область, простирающаяся до бесконечности, будет ограничена с внутренней стороны ие одним замкнутым контуром, а и замкнутымн контурами, то число логарифмических членов в выражениях (49) функций Ф(л) н у'(а) может быть равно числу контуров, т. е.
а=в Ф (л) = Ф" (л) + ~ (аа + фа) )и (х — ла), а"— г а а у'(г) = Х' (л) + ~ (оа — !Ра))и ( — ла). а=! (420) йозьмбм теперь окружность Г достаточно большого радиуса, охватывающую собой все рассматриваемые замкнутые контуры. Тогда для всякой точки л, находящейся вие этой окружности, будем иметь; яо 1 Яо 1 !лота 1и (л — за) =!п а+ 1п (1 — — !г = 1и л — — — — ! — ) — . я) а 2(л,) Слеловательно, для точек вне окружности Г равенства (4.19) представшая в виде Ф(Я)= Ф' (Я)+( о+!Ра)1пж '!г(л) = Х' (я)+(оо фа) )па, «О+1!а= ~З ~(оа+фа), а=т (4.11) где Фы и т' представлдют собой голоморфиые функции вне окружности, за ггсключеннем, быт! может, самой бесконечно удалбнной точки. По теореие Так как это равенство должно выполняться при любом значении независи- мого переменного а, то лолжиы обращаться в нуль отдельно как свободные члены, так н коэффициенты при степенях а и л.
Таким образом, будем иметь: 2В=О, а+ 16 — (ао — фа) = О, (4.8) щ-ф„=с (Д=!,2г ., и). Следовательно, функции Ф(я) и т'(з) при использовании равенств (46), (4,7) и (48) будут представляться в виде Ф (л) = Ф '(я) + (а + ф) )п (г — яа), ) (43) !'(з) = !' (я) ф ( — ф) ! ( — а), 1 167 ПАРАДОКС СТОКСА лорана этн функции вне окружности будут представляться следующими рядами; +го Аьг Ф'*(л) = ~ЧР~ а„л", )(г (л) = ~~~ а„л", (4.12) Потребуем теперь, чтобы давление было ограниченной функцией во всей области.
На основании (2,8), (4.11) и (4,12) для давления будем иметь: р= рь+2Р! — =+ р п(я.л"-' — явл -г)~~. Гвэ+ гбэ « -гйэ Сч л л Для ограниченности величины давлении для точек вне окружности необхо. лимо положить: а„=б, а„=б для п>2. (4.13) При выполнении этого условия первое равенство (4.!1) можно представить в виде Ф (г) = Фа (л) + (аз + грэ) !п л + (Ат -1- 1Вт) л, (4.14) где функция Фэ(л) является голоморфной вне окружности, включая и бесконечна удалбнную точку.
Используя выражение (4.!4) и вторые равен. ства (4.11) и (412), получим для скорости (2.6) выражение и + го = — 7 (Фэ (л) + (во+ гро) 1п л + (Аг+ 1ВД л + + л ~ФЮ (л) + ~— '+ Ат — ГВт1 + (аэ+ тйэ) (п «+ ~~~~~ а„л"~ „(4.15) Для выполнения требования ограниченности скоростей ао всей области вне окружности необходимо положить: ь=в 2АА=О, яв — О (и >1), «а+1!э А' (аа+!Рь) = О. (4.16) ь=т При выполнении втнх условий формула (4.14) для Ф(л) и вторая формула (4.11) для х'(л) будут представяяться в виде Ф (л) Фэ(л) + !Вт, )( (я) — г а(л), (4.17) где функции Ф'(л) и у'ь(л) будут функциями, гоаоморфными вне рассматриваемой окружности Г достаточно большого радиуса, включая и бесконечно удаленную точку.
Переходя к непосредственному доказательству парэдокса Стокса, обратимся к уравнениям (22). Умножая первое уравнение на и, а второе на о и силадывая, получим: бр бр 7 ббф б бф'т и — +о — =и~и — о — ~, дд ду 1 оу дх /' К левой части этого равенства прибавим выражение !68 движаиик пги малых числах гкйиояьдсл, мвтод стокса [гл. т а в правой части вынесем знаки дифференцирования за скобки. Тогла получич: — (ри) + — (ро) = и ~ (и бф) — о (о Ьф)~ — р (бф)э, д д Гд д дх ду ~ду дх или д д и(зфр = — ( — ри — ! о а))-[- — ( — ро-[-! иааф). дх ду (4,18) г Ц (бф)эигхду = ч [( — ри — Во Ьф) сот(п,х)+(-ри- !эи Ьф) соэ(п,у[из = ъ г [ [ — Р(идУ вЂ” о Хх) — Ндф(идя 4-оду)], (4,!9) ь г где через ь ооозначена вся совокупность и внутренних контуров.
Мы отыс. киваем решение бигармонического уравнении для функции тока ф прн условии обращения скоростей и и о в нуль на бесконечности, поэтому интеграл по контуру Г окружностм безгранично увеличивающегося радиуса в правой части (4.19) можно положить равным нулю. На каждом внутреннем контуре совокупности 8 должно выполняться условие прилинаиия, т. е.
и=(у=сола!, о=0. Учитывая все эти условия, равенство (4.19) можно представить в виде 11(дф)эйлау=-(У 1(рду+рафд ). я г, (4.20) На основании (2.9) будем иметь: (р+ Граф)(их+!ду) 4И!Ф'(з)дз, рт(у+ р Ьфигх = 1а (4 р(д[Ф (з)]ф. Используя последнее равенство, из (4.20) получвмг О (аф)э дх ду = 1а ( — 4(Г!1 Ы [Ф (хЕ, (4.21) я Функция Ф(з), представляемая первым равенством (4.10), при полном облоле контура номера й получает приращение (ил+ грз) 2иг! При однонратном обкоде всех и контуров приращение этой функции будет равно ь=н ~ЧР~ (иа+ (чи) 2тй э=! Обе части равенства (4.!8) умножим на дхду и проинтегрируем по всей области 5, ограниченной с внешней стороны окружностью Г, а с внутренней стороны совокупностью и замкнутых контуров.
Тзк как в скобках в правой части (4.19) находятся однозначные функции, то можно использовать обмчиые формулы преобразования интеграла по площзди в нятеграл по всей еб границе. В результате всего этого получим; ГЛАВА!Х НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В !. Общая постановка задачи о прямолинейно-параллельном неустановившемся течении вязкой жидкости Будем считать жидкость несжимаемой, т. е. р = соп51, действием массовых сил будем пренебрегать и будем полагать траектории всех частиц прямолинейно-параллельными, т.
е. о==О, ш= — О. При этих трех предположениях из уравнения несжимаемости будем иметь: д '(1.1) а дифференциальные уравнения движения (10.1) главы 1! предста- вятся в виде (1.2) На основании двух последних уравнений заключаем, что давление не зависит от переменных у и з. Если при этом у ~есть (1.1), то в первом уравнении (1.2) слагаемые, содержащие и, будут зависеть от переменных у, з и г, тогда как слагаемое с давлением будет зависеть от переменных х и С а это возможно только в том !70 движение пти малых числах аайнольдсл. метод стокса (гл.
ч простирается до бесконечности. Откав хотя бы от одного нз этих предположений приводит к ликвидации парадокса Стокса, т. е. к возможности решения соответственной плоской задачи. Так, например, отказ от предположения стационариости движения самой жидкости при сохранении двух других предположений позволил Бассе т) к Оаеену з) построить решение задачи о лвиженни круглого цилиндра в безграничной жидкости при разных начальных условиях. При частичном учете квадратичных членов инерции по методу Озеена и прк сохранении первого и третьего предположений Ламб а) построил решение той же аадачи о движении круглого цилиндра в безграничной жидкости. При отказе от третьего предположения область, занятая жидкостью, перестает быть односвязной.
Возможность решения задачи о движении круглого цилиндра в ограниченной области при сохранении двух первых предположений была показана в ряде случаев. Один из простейших случаев рассмотрен выше, в б 3, лругой случая †движен цилиндра между параллельными стенками — подробно исследован в работе Бэрстоу 4), а третий случай — поступательное движение шипа в подшипнике — рассмотрен в работе М. В.'Коровчинского а). Таким образом, на основании бнгармоннческого уравнения для функции тока можно реггать следующие задачи: 1) о вращении плоского контура в неограниченной жидкости, 2) внутренние задачи о течениях в односвявной области и 3) задачи о поступательном движении плоского контура в ограниченной области. Для этих аадач и могут быть использованы методы теории функций комплексного переменного. ф б.
Общее формулы для ре. ультнруюшего воздействия жндкостк нв ируглый цилиндр Установим ° общие формулы для результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости прн установившемся еа движении нз бесконечно длинный круглый цилиндр, имеющий поступательное двнженке н вращательное вокруг своей осн. Относительно вида и расположения других возможных границ жидкости никаких предползжений делать пока пе будем. Вектор скорости центра сечения цнзпндрз плоскостью, параллельной пзоскостн движения жидкости, обозначим через (Г, а угловую скорость враще. ння — через и.
В рассматриваемый момент времена г выберем полярную ось Ох в направлении вектора скорзсти (Г н полярный угол т будем отсчитывать против хода часовой стрелки (рис. 44). В полярных координатах граничные условна прплнпаная частиц жидкости з поверхности расСмагрнвземого цилиндра будут представляться в виде: при г в п„=(усозт, в = (у мит+йз. (5.1) так как равенства (5.1) будут выполняться прн любом значении угла т и ь) В авве 1, А 1геа1ме Нулгодупаюыз, т. Н. з) Оз ее и, Нудгопупзщ(К, 1.е1рз(це 1927. з) Лаиб Г., Гнлродинамнка, Гвстехнзлзт, 1947, стр. 772. 4) В а! г з1о вп Ргос. Воу. Вес.
сер. А, т. С, стр. 394, 19зз. ь) К о р о в ч и й с к н й М. В., Трение н износ в машинах, сб. У!, АН СССР, 1951, 5) овщин еогмулы для гизтльтигвющнго воздпйствня на цилиндг !71 при неизменном значении полярного радиуса, то нх можно лифференцировагь частным образом по у, после чего будем иметь: (. ).= ( ).= до,й Удое 1 — = — Уз~ну, — = — Усову.
(5.2) ду .). = (, ду ). Уравнение иесжимаемости жидкости (6.6) главы П в полярных координатах представляется в виде д „ о„ 1 до, — + — + — — = О. (5.3) дг г г ду Применяя уравнение несжимаемости (5.3) к частицам, непосредственно при- мыкающим к поверхности цилиндра, получим: и тт Используя условие (5.1) и вытекающие из него равенства (5.2), будем иметь: Ху ( д") = О. (54) Смысл равенства (5Л) заключается а том, что радиальная скорость деформации частиц вязкой несжимаемой жидкости, примыкающих к самой поверхности цилиндра, равна нулю. Компоненты вектора-вихря на основании (8.!О) главы 1 будут представляться в виде 1 удо о„! дог! .„-О, -О,,- — ( — + — — ), (5,5) 2( дг г г де у' Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
