Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В силу граничного условия (10.12) начало абсцисс (и = 0) должно вхолнть в области, где Г(и)(0. Но левее точки и = ля начало осн абсцисс не может быть, ибо тогда все корни оказались бы положительными, а это исключено соотношением (10.!4). Следовательно, начало оси абсцисс должно располагаться где-то межлу г, и ез и оно будет разбивать область возможного радиального течения на две отдельные области. Для области справа от начала мы будем иметь: 0 (и (е,, еэеэ) О. (10.15) 142 точнов интвгвитовлнив хтлвнвний хстлновившвгося лвижвния [гл. ш (10. РУ) 0 (и (ео евез)О.
Таким образом, длв чисто расходящегося течения ив (!0.9) н (10.13) имеелн ии Г» 2 3 — = — 1/ — у'(е — и) [ив — (е + ез) и+ е,ез), 3» и ии »Ц = — 2и»(в = — 2 — ~Г 2 )г(гч — и) [ед — (а, + ел) и + е,ез[ (10.18) (10.19) Проводя интегрирование по переменному и в пределах от ел до нуля, а по в от нуля до вз и используя (10.!4), получим: ч, ~/2, ( 3» З У~(ел — и) [ил+(6»+ел) и+лез) ~ У(ел — и) [ил+ (6»+ ел) и+ елее) езез ) О, е,+ез+езив — бч. (10.22) Полученные соотношения (10.20), (!0.2!) и (10.22) позволяют определить значения трах корней е,, е., ез по заданным значениям вз, С~ и .
Практически же, конечно, удобнее поступать в обратном Этой области будет отвечать чисто расходящееся радиальное течение. Для области же слева от начала будут иметь место неравенства ев ( и ( О, елез О, (10.16) т. е. этой области будет отвечать чисто сходящееся течение. Так как корни многочлена г'(и) отвечают экстремальным вначеняям функции и (в), то в первом случае величина ел будет представлять собой максимальное значение и, имеющее ггцх место на линии симметрии (в =0), Л а во втором случае ея будет представлять минимальное значение и, ц имевшее место также при в=О.
Если же многочлен Р(и) будет l иметь только олин лействительный корень е,, то графин этого много- члена будет примерно представлятьсв кривой на рис. 39. Область, располоРнс. 39. жениав справа от е,, где г" (и) ) О, дол>хна исключаться из рассмотрения.
Начало оси абсцисс лолжво располагаться тогда слева от е,. Области, расположенной межлу началом и е,, будет отиечать чисто расходящееся течение, для которого имеют место неравенства 10) плоско-паг*ллвльнов гади*льнов твчвние вязкой жидкости 143 правая часть (10,20) с множителем е, будет больше правой части (!0.21). Следовательно, будем иметь неравенство 1 Ре'г) 2!С (10.28) Смысл этого неравенства очевилен: произведение половины угла раствора плоского диффуэора на радиус и на максимальную скорость, имеющую место на линии симметрии, конечно, будет превышать значение половины общего расхода. Далее, так как е >О и все слагаемые в квадратной скобке под знаком корня в (10.20) положительны, то, отбрасывая в этой скобке слагаемые из и е.е, мы уменьшим знаменатель под интегралом и, следовательно, увеличим всз подинтегральное выражение, т.
е. будем иметь: ч, (' 2 ( чаи —;,<( 3" ' ч' г'(бч -)- е )и (е, — и) (10.29) порядке, т. е. эалазать два значения из трах е,, е, ез и определять отвечающие им эначениз ч7з и 1;). Дла чисто схолЯщегоса течениЯ из (10 9) будем нметвп ии Г2 „— = 17 — р'(ез — и)(иа+(6ч+ез) и+е,ез), (10.23) ла — У 3. Ф;ч = 2и с(т = 2 . (10.24) 2 у'(еэ — и) [из+(бч+еа) и+егеэ) Для определения же значений е, ея и ез должны быть использованы следующие соотношения: е 2 ац (10.25) I )'(ее — и) (из+(вч+ез) и+еаеа) о 1 / 2 1 иди — — ) — — — —, (10.26) 2 г Зч ) У.( ц)(цзЧ (6, !,а)и+, „) ' ч, еаеэ<0, е +е +ез= — бч. (10.27) На основании соотношений (10.20), (10.21) и (10.22) можно пока- зать, что чисто расходящееся течение будет возможно только при сравнительно малых углах раствора плоского диффузора. Чтобы показать это, установим два неравенства.
Если правую и левую части (10.20) умножить на е,, то в силу того, что и <е, 144 точное интагеиеовлнив теавввний зстановившагося движения (гл, гв Интеграл, вхолящий в правую часть (10.29), имеет следующее значение: = агс з)п ~ — — я. ,~ ) (.,— ) е, а ееа — — (и — — ) ~ь Следовательно, неравенство (10.29) представляется в виде 7а < 21г 1+ — ' (10.30) Таким образом, расходящееся течение в плоском диффузоре возможно при половинном угле раствора оа, удовлетворяющем неравенству (10.30), С увеличением расхода, т. е. увеличением е,, и с уменьшением кинематического коэффициента вязкости ч предельный угол раствора диффузора для чисто расходящегося течения будет уменьшаться. Из неравенства (10.30) будем иметь: а из неравенства (10.28) получим: — ) —.
е, ч 2 та' Следовательно, правая часть второго неравенства булет завеломо меньше правой части первого неравенства ~ < (' †" †- 12Т,). (10,31) Так как расход () имеет размерность произведения скорости на ллину, то отношение расхола к кинематическому коэффициенту вязкости можно взять за число Рейпольдса плоского диффузора, т. е. Таким образом, чисто росходяиаееея течение в плоском диффузоре возможно только при тех значениях числа Репнольдси, которые удовлетворяют неривенству К < ( — — 12ча) к Например, при Т = — '=10' должно быть: (ч < 1б8.
й !01 плоско-плглллвльнов елдилльнов тешник вязкой жилкости 145 Если число Рейнольдса немного превзойдвт предел, лопускаемый неравенством (1О 32), то в ядре вблизи линии симметрии течение будет расходящимся, а вблизи стенок теоретически оно должно было бы стать сходящимся, а практически будет происходить отрыв жидкости от стенок. Таким обрааом, рассмотренная задача о радиальном течении в плоском диффузоре поучительна в том отношении, что решение еа указывает теоретически на возможность отрыва жидкости от стенок в расходящемся течении, что в действительности часто и происходит. Обратимся теперь к чисто сходвщемуся течению. Соотношение (10.25) мс кно также представить в виде н фо = 2,, )Г(е и)(и р,)(а е,) (10,33) Легко показать, что чисто сходящееся тещяие возможно при любых значениях числа Рейяольдса.
Для это~о будем уменынать значение коэффициента вязкости до нуля. Так как левая часть (10.33) имеет конечное значение, то уменьшение ч ло нуля лолжно сопровождаться увеличением до бесконечностя интеграла в правой части, что вполне возможно прл приближении значения ез к значению ез. Этим собственно и показывается то, что чисто сходящееся течение а конфуэоре возможно и при очень большлх числах Рейнольдса (при очень малых значениях ч). Учитывая это, и считая ч очень малым, можно положить в (10.23).
э в е, ж — 2ез; тогда получим; а'и . Г2 — = у 3 (е — и)У вЂ” и — 2е. де эч Проводя ннтегрированке, получим: 2 ии ('Р 'Рв)— д (и — еа) у — (и+ 2ее) 1 () 2+ т'3)()с — (2еа+и)+ У вЂ” 3ее) 1' — Зез (У 2 — 1'3) ()с — (йе, + и) — )с':Зез) ' или '" " = (5+ 2 У'б) '-;--- ..'+ )' .. ='='-"й~: и). (10.34) 1' — эе„— )' — ("еа+ и) Если кинематический коэффициент вязкости очень мал, то левая часть бУлет достаточно велика пРи любом з;ычении Угла чР, отличном от ч)в. 146 точнов интзггиговлнив хвлвнвний гстлновившвгося двнжвння (гл.
ш Чтобы при этом и правая часть (10.34) была также велика, необходимо и считать близким к ев Это означает, что в сходящемся течении в плоском конфузоре при больших числах Рейнольдса распределение скоростей по углу 3в будет почти равномерным, и лишь вблизи степки эта скорость будет быстро убывать до нуля (рнс. 40). Если бы жидкость считалась идеальной, то в случае стока на плоскости радиальнвя скорость представлялась бы в виде гг 24..
н, следовательно, и = го„= — — = сопа1 . (10.35) 2вв Ркс. 49. Сопоставляя этот результат с предше- ствующим заключением, мы приходим к выводу, что прн больших числах Рейнольдса вязкость проявляется лишь в тонком слое вблизи стенки. Рассматриваемое в этом параграфе плоское радиальное течение является простейшим частным случаем того точного решения дафференциальных уравнении лвижения вязкой жидкости, которое было впервые установлено Гамелем ') и затем обобщепо Озееном э) н Розенблаттоы с). ф 11. Вращение безграничной плоскости В предшествующем параграфе данной главы рассматривались такие случаи движений, лля которых дифференциальные уравнения установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости решались точно благодаря упрощающим предположениям о характере траекторий частиц жидкости, Но к использованию полных дифференциальных уравнений движения вязкой хгидкости можно подойти и с другой стороны, а именно лелать заранее предпол))женив не о характере траекторий частиц, а о характере тех функций, через которые представляются проекции вектора скорости и лавление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
