Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(('и)п (Ро)п (Ело)» (Рх)! (Ри)! Пил)! (Ро)! (3.10) (3.11) (Р и Р)п (Роо гР)н (Рол т Р)п (Рии+ Р)! (Рви+ Р)! (Р +Р)! (Рии)п (Рио)ц (Рли)п (Рии)! (Рио)! (Р )! При выполнении всех условий (3.7), (3.8), (3,9), (3.10),(3.! 1) и (3.12) два сравниваемых течения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости будут по самому определению механически подобными. Подставляя в равенства (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.!1) и (3.12) значения соответственных величин из (3.!) для первого и второго 9 3! подовив твчвиий вязкой кясжимлзмой жидкости 109 течения вязкой и несжимаемой жидкости, получим: (хг)п (х,), ( г)п (Уг)п (М! (Уг)г ((г)п (гг)~ (вг) п (вг)~ (гк )и ("жг )~ оп (пА ("г)п (из)~ (р,) (Сп)1 (ыг)п (Ю~ (р*)п (Сч)( (3.13) Зп=8г, ~ Еп= Еы Гц= Гы йп= Яы (3.14) Таким образом, характеристические числа играют роль необходимых критериев подобия двух течений вязкой несжимаемой жилкости.
Если рассматривать установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости, то первый критерий подобия — равенство чисел Струхаля — будет отпадать. Если в качестве характерного давления выбрать так называемый скоростной напор, т. е, положить (3.15) то числа Эйлера для всех течений станут равными единице, и позтому критерий Эйлера выпадет из числа необходимых критериев подобия. Основными критериями подобия двух течеиий вявкой несжимаемой жилкости без учета изменения температуры служат, таким образом, два критерия: критерий Фруг)а и критерий Рейнольдса.
Таким образом, для двух подобных течений вязкой несжимаемой жидкости все безразмерные величины длин, времени, скоростей, л~зссовых сил и давлений будут совпадать. Как уже было указано, решения дифференциальных уравнений (3.2) для каждого течения будут зависеть от своих четырЕх характеристических чисел. Следовательно, чтобы решения безразмерных уравнений (3.2), отвечающие двум подобным течениям вязкой несжимаемой жидкости, совпадали, необходимо, чтобы характеристические числа двух рассматриваемых течений были соответственно равны между собой: а 4! фогмьлы лля евзультитюощкго воздвйотвия жидкости 111 й 4.
Интегральные формулы для результирующего воздействия жидкости иа поступательно движущееся в ией тело Рассмотрим случай поступательного движения тела в вязкой жидкости (рис. 23). Напряжение на площалке д5 поверхности рассматриваемого тела представляется в виде Рч = Рх(+Рят+Ргл (4!) где 1, т, и суть направляющие косинусы внешней нормали к площалке д5. Следовательно, главный вектор и главный момент сил аозлействия окружающей жилкости на рас- л сматриваемое тело представятся в виде )7= — О(Рх1+рят+Р,п)дФ (4.2) 1. = Ц гЯРх1+Р т+Р„п) д8. (4.3) Проекция вектора напряжения Р„на ось х на основании (4.1) будет представлена в виде Р„=Р 1+Р„„л +Р, и.
(4.4) Рис. 23, Подставляя в правую часть (4.4) значения р „, р„и Р, из равенств (б.1) главы П, получим: Р -= ~-~~("-'д) Ф+р(~х~+д-;-+д-х )+ + 1ь (дх 1+ дх + д— и) . (4.5) Второе слагаемое в правой части (4.5) есть произволная по нормали от скорости и: ди ди ди ди дх ду дх дп' — 1+ — т+ — и = —, (4.б) а так как ди ди дм — =0 — — —— дх ду дх' то послелнее слагаемое в скобках в правой части (4.5) можно прел- ставить в Виде ди дп дм дп ди дм дж дх дх дх дх ду дх дх — 1+ — т+ — и = 15+ — т — — 1+ — л — — 1.
(4.7) Перейдем теперь к новым осям координат (рис. 23), состоящим из нормали о в рассматриваемой точке поверхности тела и из лвух !12 овшие свойства движения вязкой жидкости [гл. ш касательных т, и т.. Производная от скорости о по координате х будет равна до до дп до дгч до дтз †= ††+ ††+ ††. дх дя дх дгчдх дтядх ' Аналогично запишутся и другие произволные, входящие в правую часть (4.7). Так как тело перемещается поступательно и в качестве граничного условия принимается условие прилипания, то вдоль всей поверхности тела компоненты скорости частиц жидкости будут постоянными величинами. Следовательно, производные от сиоростей частиц по направлениям касательных к поверхности тела будут обращаться в нуль, т.
е. до до ды дэ д — О, дт О, д — О, д — — О. (4. 8) Выражения дп дя дл дх ' дт ' д ,4.9) — направляющие косинусы нормали Используя (4.8) и (4.9), будем иметь: ди до „ дгл — 7+ — гл+ — л =- й!. дх дх +дх (4.10) — р+ (* + —,) О~ +, —, р+ (л'+ — ) О~ л+ р —. Ргм = [ (4.1 2) Умножая левые и правые части (4.11) и (4.!2) на единичные векторы осей координат соответственно и складывая, получим вектор напряжения на плошалие поверхности поступательно движущегося тела [ +( +3) 2(+ ~+ )+!д Таким образом, на основании (4.6) и (4.!0) напряжение р„иа поверхности поступательно движущегося тела в вязкой жидкости будет представляться в виде '.=[- +( )Ф По аналогии с (4.11) для других проекций вектора напряжения будем иметь: й 4) еогмхлы для еезтльтитяющвго воздействия жидкости 113 Подставляя аначение )з„из (4.13) в правые части (4.2) и (4.3), получим выражения для главного вектора и главного момента сил воздействия на тело, поступательно движущееся в вязкой жидкости: Ю = Я вЂ” р+(л'+ — ) 8) (74+ аз(+ пй)гтрк+ р у~ ~ 3 — г(5, (4.14) =-Б1 ~~- +("'+3)Ф!!+.+ )1'.+ з +р ~ ~ гХ а л'с.
(4.13) л Для случая несжимаемой жидкости 8 = 0 и 77= — ~ ~ р(Ы+жу'+ий)~78+и ~ ~ — гЖ (4.!6) д, = сопя!. Граничное условие прилипания в этом случае (и 0) представится в виде при ~ух — — и н = О, оя = О. Так как условия (4.18) выполняются при постоянном значении координаты йы то их можно частным обрззом дифференпировать по второй координате дв, т. е. дЧа ' ддз Используя (4.18) и (4.19), из уравнения иесжимаемости (4,17) получим: при д = а — ' =- О. 34г (4.1 9) (4,20) Первое слагаемое представляет собой реаультирующее воздействие жидкости иа тело, обусловленное давлением, а второе — результирующее воздействие на тело сил вязкости.
( др двв Для плоско-параллельного течения 1н = О, — = О, — = 0) и дв ' да до„ лв для осесимметричного (н = О, ф = О, — * = 0) уравнение несжидт ' дг маемости (1.8) главы !! в кРиволинейных кооРдинатах дм дв, 4з бУ- дет представляться одинаково: — — (п,Н Нз)+ — ( И 7(х) = О, (4.!7) дег г Я з дев Допустим, что в потоке вязкой несжимаемой жидкости помещено неподвижное тело с поверхностью 5 и криволинейные координаты выбраны таким образом, что эта поверхность входит в семейство координатных поверхностей 1(4 овгдив свойства движвния вяакои жидкости [гл.
гн Ндй(!з, можно напнсатзс дгг 1 д дп Нздйг( з з+ Используя (4.18) и (4.20), будем иметь; (4,21) Главный вектор воздействия вязкой несжимаемой жилкости на неподвижное тело из (4.16) будет равен (4.22) Компонента из вектора вихря в криволинейных координатах на основании (8.8) главы ! представляется в виде 1 1д д мз —— — 1! — (о,Н) — — (о Н )1. 2НзНз |.доз з доз (4.23) Учитывая равенства (4.18) и (4.19), будем иметгк 1 д, (мз) 2Н, дйз' Подставляя значение — из (4.24) в (4.22), получим: доз де, (4.24) )ч =- ~ ~ ( — р! +2рмзгз)сЮ, (4,25).
Таким образом, при плоско-параллеленом и при осесимметриеном обтеканиях неподвижного тела воздействие вязкой несжимаемой жидкости на зто тело зависит от распределения по его поверх. ности давления и вихря. Обоаначая череа !з, 1з, и ! единичные векторы касательных к координатным линиям в рассматриваемой точке на поверхности 5 и учитываи, что линейный элемент нормали к этой поверхности будет равен ГЛАВА!у СЛУЧАИ ТОЧНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ .ЖИДКОСТИ 1. Общая 'постановка задачи о прямолинейно-параллельном установившемся движении жидкости р = сопз! и движение предполагать установившимся дэ' !) главы Н будут представляться то дифференциальные уравнения (8. в виде ди ди ди и — +и — +ш — = дх ду дх ди ди ди и — +о — +ю — = дх ду дг дш дш дм и — +о — +тл — -= дх ду дх ди ди дм дх+ ду+ дх г" — — — +тби, 1 др р дх Р— — — +ибо, 1 др р ду (!.1) г",— — — +ч бю, 1 др О.
Рассмотрим случай, в котором траектории всех частиц будут строго прямолинейными н параллельными между собой, т. е. озмО, твемО. (1.2) В конце главы Н было укааано, что наиболее простым способом решения дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости является способ, в основе которого лежит заранее принимаемое пред* положение о форме траекторий всех частиц жидкости. В данной главе, следуя этому способу, рассмотрим отдельные примеры установившихся движений вязкой и несжимаемой жидкости.
Если жидкость считать несжииаемой 116 точнов ннтяггиговлнив тглвняний ястлновившвгося движения !гл. нг При этом предположении из уравнения несжимаемости будем иметь: (1.3) Таким обрааом, единственная проекция вектора скорости и вдоль всей траектории будет оставаться постоянной и может иаменяться только в поперечном к траекториям направлении.. При использовании (1.2) и (!.3) дифференциальные уравнения (1.!) еще более упростятся: — О, ду — О.
дл (1.4) Обратим внимание на то обстоятельство, что благодаря предположениям (1,2) и следствию из них (1.3) квадратичные члены инерции совершенно выпали из полных уравнений (1.2). Представим давление в аиде суммы двух сяагаемых, из которых одно будет представлять стаглическое давление, обусловленное действием массовых сял, а второе — динамическое давление, непосредственно свяаанное с движением жидкости, т, е.
Р = Рс+ Рл. (1 Л) Статическое давление определяется из уравнений равновесия (1.6) Подставляя (1.5) в уравнениа (1.4) и используя уравнения (!.6) и выражение для кинематического коэффициента вязкости 8 Р (1."г) Р е 1 гч я р 1 Р Ф г получим следушщие уравнения: др„ ду дрл — = О. дл 1 др„. г дх 1 др, г ду 1 дрь р дл ф 11 пгямолинвйно-пьтллляльиов установившаяся движвнив 117 Ка основании последних двух уравнений (1,7) заключаем, что динамическое давление не булет зависеть от у и х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
