Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Так как правая часть первого уравнения (1.7) аависит от у и л, а левая часть может зависеть только от х, то левая и правая чзсти етого уравнения должны быть равны одной и той же постоянной величине, т, е, дрл — = сопа1, дх Таким образом, лля прямолинейно-параллельного установившегося движения вяакой несжимаемой жидкости перепад давления на единицу длины в направлении движения постоянен, Задача об изучении прямолинейно-параллельного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости сводится н решению дифференциального уравнении Пуассона дзи дги 1 дрд дуз дез и дх ' —.+ — = — — ', (1.8) правая часть которого представляет собой постоянную величину.
Если движение частиц жидкости считается прямолинейно-параллельиыи, то границы жидкости должны быть строго цилиндрическими поверхностями, образующие которых параллельны траекториям частиц. Так как скорость и частиц не зависит от координаты х, то достаточно рассмотреть лишь одно сечение границ течения в плоскости уОл. В простейших случаях границы течения в плоскости уОз могут состоять либо из одного, контура, либо из двух контуров, из которых один будет находиться внутри второго (рис.
24). В первом случае область будет односвязной, а во втором — двусвяаной, Чтобы удовлетворять условиям прямо- Рис. 24. линейности траекторий частиц и стз ционариости движения, границы теченкя должны 1) либо быть неподвижными, 2) либо перемещаться параллельно самим себе с постоянной скоростью. Принимая в качестве граничного условия условие прилипания, будем иметь в первом случае на неподвижной границе и=0, (1. 9) а во втором случае на подвижной границе и = У = сопя1.
(1.1О) Таким образом, задача изучения прямолинейно-параллельных установившихся течений вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению уравнения Пуассона (1.8Р пои гоаничных условиях (1.9) и (1.10), 118 точнов инткгвитовлник тзлвнкний тстлиовившкгося движкния [гл. ш Так как правая часть уравнения (1.8) является постоянной, то его можно свести к уравнению Лапласа следующей заменой: 1 дРл и = ф+ — — '(уз+аз). 4Н дх (!.11) При такой аамене рассматриваемая задача о прямолинейно-параллельном движении вязкой несжимаемой жидкости будет сводиться к решению уравнения Лапласа для функции ф дьт два ,—,,+ д„=б при граничных условиях: на неподвижной стенке 1 дРл Ф=- — — "(у +за), 4н дх на подвижной стенке (1.!3) 1 др (у л(з! 4Н дх (1.14) й 2. Аналогия задачи о прямолинейно-параллельном движении вязкой жидкости с задачами вращения идеальной жидкости и с задачей кручения призматического бруса при граничном условии 1 дрд ф = — — — "(у'+") (2.2) 4р дх 1 дрд где коэффициент ††" является постоянным.
дх Представим себе, что цилиндрический сосуд, сечение которого совпадает с сечением трубы (рис. 25), наполненный идеальной и Поставленная в предшествующем параграфе задача об установившемся прямолинейно-параллельном течении вяакой несжимаемой жидкости в математическом отношении сходна с некоторыми задачами о движенки идеальной жидкости и с задачей о кручении приаматнческого бруса. ,~' Рассмотрим случай односзязной области ,Г в плоскости уОя в предположении, что ограничивающий контур представляет собой неподвижную тверлую стенку.
Задача об Рнс. 25. изучении установившегося прямолинейно- параллельного течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе постбянного сечения с произвольным очертанием (рнс. 25) сводится к решению уравнения Лапласа (2,1) дуз 8 2) аналогия задачи о пвямолииайно-плялллвльиом двнжвнии 119 яесжимаемой жидкостью, вращается с угловой скоростью и зси к. Предполагая движение идеальной жидкости внутри беззнхревым, задачу можно свести для функции тока ф к кирилле ') вокруг сосуда задаче д~+дь) О.
дуз дкз (2.3) на контуре Ф= — 2м(у'+ ')+С 1 (2,4) Таким образом, от решения рассмотренной задачи вращения идеальзой жидкости можно перейти к решению соответственной аадачи з прямолинейно-параллельном движении вязкой жидкости с помощью адней только замены угловой скорости через перепад давления 1 ~Рл 2и дк Постоянное С в (2.4) следует тогда положить равным нулю.
Предаоложим теперь, что неподвижный цилинлрическнй сосуд с сечением, представленным на рнс. 25, заполнен илеальной несжимаемой жидкостью, но находящейся в вихревом движении. Если частицы идеальной жидкости перемещаются только в плоскости уОг, то уравнение несжимаемости будет представляться з виде дп дм — + — =О, ду дк а вихрь вектора скорости будет равен дуз дка — + — = — 2м при граничном условии (2.5) (2.6) ф = с.
Сопоставляя эту задачу с аадачей (1.8), (1.9), мы приходим к тому заключению, что для формального перехода от решения аадачи о вихревом плоско-параллельном лвижении идеальной несжимаемой жилкости с постоянной интенсивностью вихря к решению задачи об г) См. Кочин, К ив ель к Розе, Теоретическая гндромеханика, а. 1, 1948, сгр. 288. Так как граничный контур является линией тока, то на границе функция тока будет равна постоянной величине. Если положить интенсивность вихря во всей области постоянной, то тогда задача изучения движения идеальной несжимаемой жидкости сведйтся к решению уравнения Пуассона 120 точнов интзггнговлнив ттлвнвниИ тстлновившвгося двнжвния (гл. ш установившемся прямолинейно-параллельном движении вязкой несжи- маемой жидкости в цилиндрическо8 трубе той же формы надо лишь положить! рл 1 др 2пдх' ~ (2 7) Рассмотрим теперь задачу о кручении призматического бруса, сечение которого представлено на рис.
25. Принимая по Сен-Венану г) компоненты упругих смещений в виде и = тр(у, г), тз = — тхр, где с — степень кручения, е — функция кручения Сен-Венана, на основании уравнений равновесия получим для р уравнение Лапласа — + — =о. дат дат дуз длз Вводя сопряженную с р гармоническую функцию ф и удовлетворяя условию отсутствия поверхностных снл на боковой поверхности бруса, приходим к задаче Днрихле д— '~+Я=о; дуз на границе (2,8) (Р' ) ь»(Р' ) 2(Р + 1 умножить на постоянный множитель, равный 1 дрл 2р дх' Следует обратить особое внимание на последнюю аналогию рассматриваемой нами аздачи о прямолинейно-параллельном установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости с задачей круче- г) Л ей бе неон Л.
С., Курс теории упругости, 1947, стр, 240. Сопоставляя задачу (2.8) с задачей (2,1) н (2,2) мы заключаем„ что для перехода к соответственной задаче о прямолинеИио-параллельном установившемся движении вяакоп нвшкнмаемой жидкости надо постоянное С в (2.8) считать равным нулю, а функцию ф, связанную с функцией напряжений кручения соотношением я 3) дзижаввз жидкости мюкдт двтмв пагаллзльнымн ставками 121 иия призматического бруса. Задачи о кручении призматического бруса решены к настоящему моменту для весьма разнообразных случаев поперечных сечений.
Пользуясь указаииой аналогией, можно весьиа просто получить и решения соответствеивых задач о движении вязкой несжимаемой жидкости. ф 3, Прямолинейно-параллельиое движение жидкости между двумя параллельными стенками Рзс. 26 при граничных условиях при у= — в и=0,, (3.3) при у=я п=()в. Так как правая часть (3.2) постояина, то общее решение дифферея- циальиого уравнения будет представляться в виде 1 др, в = — — у +С,у+С. (3.4) С и Сз определяются из граничных условий (3.3): 1 С = — „(У вЂ” У,), Сз =-,(и,+иИ вЂ” „," Д.
Таким образом, решение рассматриваемой задачи, удовлетворяющее граничным условиям (3.3), будет иметь вид 1 дрх 1 у 1 2„д (йз — ут)+ 2 д ((l~ — ()~)+ 2 (У~+У~). (3.6) В качестве простейшего примера задачи (1.8) прямолинейно- параллельного движения рассмотрим установившееся движение вязкой несжимаемой жилкости между двумя параллельными стенками, простирающимися в направлении осей х и з до бесконечности (рис.
26). Обоаначим расстояние между стен- У кани через 2Ь. Начало оспу возьмем на средней линии между стенками. Из предположения о плоско-параллельности движе- .т ел ния следует: †" = О, (3.1) дз Пусть нижняя стенка перемещается с постоянной скоростью Пм а верхняя — со скоростью Уз. Тогда рассматриваемая задача (1.8) сведется к решению обыквовеииого дифференциального уравнения дзз 1 др„ (3.2) дуз я дх 122 тон~он нитнгвнтовлннв твлвианнй нстановнвщягооя движаиня [гл, гм Первое слагаемое правой части (3.5) представляет собой то параболическое распределение скоростей в сечении, которое обусловлено наличием одного лишь перепада данлений.
Остальные слагаемые представляют собой линейное раскределекие скоростей, обусловленное движением самих стенок. Пользуясь гипотезой Ньютона ди 'С )В ду для силы вязкости будем иметш дрд 1 = — „"у+ — — (и,— и). дх 2,Л (3.6) (3,7) Подставляя в правую часть (3,7) значение и нз (3.5) и выполняя интегрирование, получим следующее выражение для расхода: .2дрл а д= — '— „"- йз+й(и,+и). (3.8) Таким образом, прн течении, обусловленном одним перепадом давлений, расход пропорционален перепаду давлений и кубу расстояния между стенками и обратно пропорционален коэффициенту вязкости.
Прн течении же, обусловленном движением стенок, расход пропорционален алгебраической сумме скоростей и половине расстояния между стенками. Деля расход на расстояние между стенками 2Ь, получим выражение для средней скорости О 1 дрд 1 и = — = — — — лаз[ (и [ и) 24 Зн дх 2 (3 З) Рассмотрим случай неподвижных стенок и,=о, из=о. Максимальная скорость в этом случае будет иметь место на средней линни, т. е.
прн у = О 1 дрд 3 и = — — — аз= — и, 2н дх 2 (3. 10) Таким образом, параболическому распределению скоростей в сечении будет отвечзть линейное распределение силы вязкости, а линейному распределению скоростей †постоянн аначение силы вязкости. Обоаначни через О расход, т. е. тот объем жидкости, который проходит через каждое сечение за секунду: 'й 3) двнжвнии жидкости мкждт дврмя плвлллвльными станками !23 Максимальная скорость будет в полтора раза больше средней скорости. Максимального значения сила трения будет постигать на стенках; дл„ = — "й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
