Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пользуясь этими равенствами, динамическое условие (7.3) можно представить в виде Рнс. 21. Рп Рпп =1 (1"ч — 1") (7.4) Проектируя левую и правую части (7.4) на оси координат, вводя направляющие косинусы 6 т, и нормали и используя формулу (1О.З) главы 1, получим слелующие три соотношения, выражающие динамические условия на твердых стенках; р — (рл 1+рлпт +рл,п)! = ),(и, — п), Рле — (Р, 1+ Р, т+ Р„,н) и = А (Ш, — — Ш), В ранних работах по теории движения вязкой жидкости предполагалось, что коэффициент внешнего трения имеет конечную величину. Но прове>твнные в последующее время тщательные опыты и измерения скоростей час>нц вблизи стенок показали, что коэффициенту внешнего трении следует придавать весьма большие значения.
Нз этом основании значение этого коэффициента теоретически можно считать бесконечно большим. Так как леван часть равенства (7.4) является конечной, то, предполагая коэффициент бесконечно большим, мы должны второй множитель считать равным нулю. Таким образом, граничное условие на твердой стенке принимает следующую форму: У, =- К (7.6) Равенство (7.6) означает, что частицы жидкости, примыкающие к степкам, име>от те же скорости, какие имеют соответственные точки самой стенки.
Условие (7.6) по этой причине называется условием прилилания частиц вязкой жидкости к твврдой с>пенке. Это граничное условие можно было и не выводить из условия (7.4), а принять его как результат наблюдений. При решении конкретных задач в большинстве случаев используется именно условие прилипания (7.6). Обратимся к выяснению граничных условий на коперхности разлела двух непереме>нивающихся жидкостей.
Условие, что частицы первой жидкости не перемешиваются с ча- стицами второй жидкости, можно выразить равенством проекций 96 дичькгвнцилльнык хглвнания движиння вязкой жидкости (гл, и Условие (7.7) не исключает возможности разрыва касательных составляющих скоростей частиц первой и второй жидкости на поверхности раздела.
Для выяснения динамического условия возьмйм на поверхности раздела элементарную площадку (рис. 22). На одной стороне этой площадки будет развиваться на(р а л пряженне (р„)г, обусловленное деформацией примыкающих частиц первой жидкости, а на второй стороне будет развиваться напряжение (Р„)ц. Зти два вектора напряжений в общем ! а! случае по величине не булут равны между собой пе только по причине возможного наличия сил капиллярности, но и по причине образовация внешней силы трения. Силу внешнего трения ца поверхности раздела можно также полагать пропорциональной разности касательных скоростей частиц первой и второй жидРис. 22.
костей. Если силы капнллярности будут пренебрежимо малыми, то в силу требования непрерывности нормальных составляющих напряжений при переходе через поверхность раздела будем иметь: (Р, )! = (Рч,)н. (7. 8) Касательные составляющие напряжений могут претерпевать разрыв, величина которого должна быть равна силе внешнего трения, т. е. (Рч-.)! — (Рч,)ц =- Лд и [()'-.)! — ((',)п), (7 9) где Л! ц — коэффициент внешнего трения частиц первой и второй жидкости.
Таким образом, в общем случае на поверхности раздела должны выполняться кинематическое условие (7.7) и два динамических условия (1.8) н (7.9). Рассмотрим часто встречающийся случай, в котором вторая жидкость имеет сравнительно малую плотность н весьма малые скорости движения, как это имеет место, например, при движении воды в каналах н реках. Поверхность раздела, отделяющая воду от атмосферного воздуха, в этом случае называется гвлооднод позерхносглью. Так как в этом случае будем иметь, (Рчч)ц =- — Ра (Р ч)ц =0 Лап =0 то динамические условия (7.8) и (7. 9) должны принять следующую форму: Рая = 'Ра Р„,=0, ,.'.
10) на нормаль к поверхности раздела векторов скоростей этих частиц, т. е. (р'я)! =((г )н (7.7) $ 8) замечания ов озщсй злдлчв гидеодинаинки вязкой жидкости 97 где ра —.давление со стороны покоясцейся жидкости. Таким образом, на свободной поверхности раздела нормальная составляющая напряжения должна быть равна постоянному давлению, а касательная составляющая должна обращаться в нуль. Кинеьсатическое условие (7.7) заменяется в этом случае другим условием, выражающим собой то предположение, что частицы жидкости, находящиеся на свободной поверхности, не покидают этой поверхности во все время движения.
Это новое условие можно выразить равенством нормальной составляющей вектора скорости частиц скидкости скорости перемещения по нормали точек самой свободной поверхности, т. е. 1 ч — ( чч (7.11) где т'чл — скорость перемещения по нормали точен самой поверхности. Мы рассмотрели лишь те грзннчные условия, которые должны выполняться для скоростей и напряншний, Этих условий будет достаточно для изучения ряда случаев движения несжимаемой жидкости и некоторых случаев движения нязкой сжимаемой жидкости, в которых можно пренебрегать изменением температуры. При учЕте изменения температуры необходимо вводить в рассмотрение и граничные условия по отношению к температуре, которые могут быть весьма разнообразными, и поэтому об этих условиях целесообразно веста речь не в общем виде, а в каждом конкретном случае отдельно. 8 8, Замечания об общей задаче гидродинамики вязкой жидкости С математической точки зрения общая задача сидродинамики вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению следующей совместной системы четырех дифференциальных уравнений с частнылси производными второго порядка: (8.1) При этом искомое давление должно быть непрерывным, конечным и положительным, а искомые скорости должны быть также, вообще говоря, непрерывны и ограничены.
На неподвижных стенках искомые скорости должны обращаться в нуль: и=О, о=О, ш=О, (8.2) дл — + дс до дс — + дж — + дг дл ди дл 1 дР и —.+ о — + ш — = Š— — — + т Лсс, дх ду дг х я дх до до до 1 др и — + о — +ш — = г — — — +что, дх ду дх и Е ду да~ дос дж ! др и — +о — + ш — = Г,— — — +тдш, дх ду дх * Е дх ди до дш дх ' ду дх — + — + — =- О.
98 диьовгенцилльные зглвнания движгния вязкой жидкости [гл. и на подпижных стенках эти скорости должны совпадать со скоростяии точен стенок: П =их и — 'От Ш вЂ” шт (8.3) а на свободных границах нормальная составляющая напряжения должна быть равна постоянному давлению, а касательная составляющая должна обращаться в нуль, т. е. Р„„= — — РФ Лч, = б. (8.4) При неустановившемся движении искомые скорости должны к тому же удовлетворять и начальным условиям; при Г = 0 и =- ио (х„у, л), о = по (х, у, г), то = шо (х, у, л). (8.5) Вопрос о существовании решений системы дифференциальных уравнений (8.1) при граничных и начальных условиях (8.2), (8.3), (8.4) и (8.5) в своей обшей форме до сих пор не разрешен.
В таком же состоянии находится и общий вопрос о единственности возможных решений этой системы уравнений. Основное затруднение как в общем исследовании вопросов о существовании и единственности решений уравнений (8,1), так и в фактическом построении решений этих уравнений для конкретных простейших случаев движения вязкой жилкости заключается в наличии в левых частях первых трех уравнений нелинейных слагаемых, так пазываел1ых кзодратичимм членов инерции, Квадратичные члены инерции имеют место и в дифференциальных уравнениях движения идеальной жидкости, которые мы получим из (8.1)'путем зачеркивания в правых частях слагаемых, содержащих в качестве множителя кинематический коэффициент вязкости.
Этн нелинейные слагаемые и в этом случае весьма затрудняют проведение общих исследований о существовании и единственности решений уравнений, и, например, в большой монографии Н. 91. Гюнтера ') такого рола исследование о существовании решения проведено лишь для случая движения несжимаемой жидкости в безграничном пространстве без каких-либо границ и при условии, что силы имеют силовую функцию. Но все же для случая илеальной жидкости возможности фактического построения решений уравнений движения для отдельных случаев весьма широки и не идут в сравнение с возможностями фактического построения решений уравнений движения вязкой жидкости. Такое положение следует объяснить прежде всего тем, что для случая идеальной жидкости затруднения, вызываемые наличиелг квадратичных членов инерции, немедленно отпадают при предположении существования потенциала скоростей. При предположснии существования потенциала скоростей задача о движении идеальной и несжимаемой з) Г ю н те р Н.
М., Об основной задаче гилромеханики. Известия Физ.- мат. ип-та нм. Стеклова, г. 11, 1926. ь 81 замечания оз овщвй злллче гидгодинлмики вязкой в<и>ткости 99 жидкости во многих случаях становится линейной, благодаря чему предоставляется возможным получать новые, более сложные течении с помощью линейной комбинации простейших течений, отвечающих частным решениям лифференциального уравнении Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
