Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(2А) д 76 дифовганцилльныв эглвнвния движвния вязкой жидкости [гл. и рРИ,НэНздд,од. од ц(, (2.5) На грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии д,, действует импульс от вектора напряжения, равный Р дНэНв ода одэ оа = — (РгНэНзГ ода одэ п(. На противоположну16 грань с нормалью, направленной в положительную сторону координатной линни, будет действовать импульс, равнь1й (Р,Н,Н,),, йдаодви(+ЦнзНв), + — (Р,Н,Нв)дд,+...~ддзадвйд д Следовательно, результирующий импульс от этих двух импульсов будет равен — (р„Н Нэ)дд,од одэл(-[ д (2.6) дд, Проводя анзлогнчные рассуждения по отношению к граням, перпендикулярным к касательным к координатным линиям д. и д,, получим: д — (раН Нг) од, од„одзлг [-..., ~ д (2, 7) Складывая выражения (2.6) и (2,7), получим то приращение количества движения внутри фиксированного параллелепипеда, которое обусловлено действием векторов напряжений по граням: д д д — (рдг(эНз)+ — (раНэН,)+ — (р„Н,Нэ)[од, ода ода л(+...
(2,8) дд, дд, два Других источников изменения количеств движения внутри фиксированного параллелепипеда нет. Поэтому изменение количества движения, представленное выражением (2Д), мы должны приравнять сумме отдельных приращений (2А), (2.5) и (2.8): д (рУ) Н НзНаодг ддэддзйс+, .. =- оРг(гг( Нзод, ода одаб(†— [д — (Ро,[гНзгуа)+ (РоэьНаН,)-[-д— (РоаУНтНо)]од,ддэодвгг( — „+ Гд д д Гд д д .+ '[ (РтНаНз) + (Ра7(вНг) + (РзНтН )~ ддг одз ЙУа ЛГ+... (2.9) [дд, ода Подсчитаем изменение количества движения за с йт действия сил.
Приращение количества движения массы в параллелепипеде за счйт действия объймной силы Р будет рвано элементарному. импульсу этой силы, т. е. телвнание пкевносл количестве движения 71 Уравнение (2.9) представляет собой уравнение изменения количества движения в элементарном (биксирозанном параллелепипеде, Обе части равенства (2.9) разделим на Н,Н Н эц,'деог) бс и перейдем к пределу, стягивая параллелепипед в точку (э>7> -« О, ь>)в-+ О, 6>)з -« О), а пРомежУток вРемени бс УменьшаЯ до нУлЯ. Тогла невыписанные члены высшего порядка малости, отмеченные точками, обратятся в нуль, и мы получим уравнение изменения количества движения в фиксированной точке пространства д ,1 (РУ)+~~ НН ~д— (рп>Уг(аНзН-д (риаУ™а >Н вЂ” (Рт>аУН> я)~— 1 Гд д, д .— РР+ ННН ~д— (Р>НеН!)+ д) (РеНчН,)+д (Рзг(>На)~.
(2.10) и =рпаУ вЂ” р, ~ и .— рпУ вЂ” Р. (2.11) Эти три вектора образуют тензор, который называется тензором плотности потоки импульсов. Вводя три вектора в, и„а., г) Маха>е!1, Оп Ше дулею>са! Шесту о1 йазеъ РЫ! Тгапз СЕЧИ, !Збб. Сопоставим выражения (1.6) 9 1 с выражением (2.4). Если в выражении (1.6) $1 под знаки производных по обобщеннын координатам входили проекции вектора плотности потока самой массы, умноженные на произведения параметров Ляме, то в выражении (2.4) под знаки этих производных входит три вектора: рп>У, рп. У, рп. У, представляющие собой векторы количеств дни>кения, переносимые массой через площадки, перпендикулярные к координатным линиям. Эти три вектора образуют симметричный тензор, который можно назвать тензором плотности потока количеств движения частиц жидкости.
Уравнение (2.10) можно назвать также уравнением переноса количеств движения. Это уравнение было впервые введено в рассмотрение Максвеллом ') в созданной нм кинетической теории газов. Обращаясь к уравнению (2.10), мы видим, что локальное изменение вектора плотности потока самой массы обусловлено не только действием объемной силы р, но и действием векторов напряжения р„ Р., р и векторов переносимого количества движения ро>У, роаУ, родУ. При этом действие последних векторов проявляется с формальной стороны так же, как и действие векторов напряжений, ваятых с обратным знаком.
На этом основании этн векторы можно объединить, полагая 78 диеевевнцилльныв зезвнания движения вязкой жидкости Ггл. уравнение (2.10) ио>кно представить в виде д(рр) 1 Г д . д, . д Р~+ НгнгНг'Гдоч(~ г)+дуг(~г' з )+до„('гН Нг)! (2.12) Для случая обычных прямолинейных координат х, у, з уравнение переноса количества яви>кения (2.10) представится следующим образом: д (зУ) д — дг — — — рр+д— (Рз — ри1)+д Грз — роЪ)+ д — (Рг — рчоУ).
(2.13) р 3. Дифференциальные уравнения движения среды в напряжениях Левую част>, уравнения (2.10) можно представить в виде дг 1 Гд (Гт, НгНг) . д д У(дт+Н>Нгнг'Г дй, Г де (РогНа)1)+де,(Р зНГ) ф+ Гс>У о, с)У, ог дУ и> др! ' ( дг Н> да> ' Нз дйг Пг дяг! Выражение в фигурных скобках представляет собоп левую часть уравнения неразрывности (!.7), т.
е. оно обращается в нуль. Следовате.чьно, уравнение (2.10) можно представить следующим образом: л=г дУ %ч ои дУ Р вЂ” +Г Х вЂ”.— = ' дс 'Лйнидез з=> Уравнение (3.1) есть дифференциильнов уравнение движения снлоа ной среды в векторной форме в криволинейных ортогональных координатах, представленное через напряжения. Это уравнение можно получить и иным путем, применяя закон Ньютона к фиксированной массе внутри параллелепипеда с ребрами бч, ьзз и езг, Левая часть уравнения (3.1) представляет собой вектор ускорения, т. е. изменение вектора скорости фиксированной частицы с постоянной массой. Первое слагаемое левой части представляет собой лишь местное (локальное) изменение вектора скорости, а остальные трн слагаемых — >сонвектизное изменение вектора скорости частицы с постоянной массой, связанное с переходои этой частицы из одного положения в пространстве в другое.
Сумма всех слагаемых представляет собой индивидуальную производную от вектора скорости фиксированной частицы с постоянной массой. Аналогично будет выражаться индивидуальная производная от любой другой величины, связанной с фиксированной частицей постоянной массы. Так, напри- й 31 дизевавнцилльныа тглвнвния движения сгвды в нлпгяжиниях 79 мер, индивидуальная производная от температуры фиксированной частицы постоянной массы будет представляться в виде ь=з Л7 д7' ~ч пь д7' Л! Л! Йтта дчь ' л ! а-! т'= Хо!7!, л —.! ь=! Рж= Ермо.
а-! (3.2) При подстановке зтпх выражений (3.2) в уравнение (3,1) следует учитывать, что единичные векторы а,, 1я и 1з меняют свое направление. Подсчет частных производных от единичных векторов по координатам проведем для частных случаев. Для случая обычных декартовых координат будем иметь: Ч,=л, Ч!у У Ч! — з; На 1' ~з 7! — сопя!, (а —. соп51, а! — —. сопз1; пг.= и, па= т' Заметим, что уравнение, выражающее закон Ньютона для фиксированной частицы с постоянной массой, мы получили из уравнения (2.10). Если исходить нз уравнения (3.1), выражающего закон Ньютона, то, прибавляя к левой части произведение вектора скорости тг на левую часть уравнения нераарывности (1.7), мы получим уравнение (2.10), выражающее изменение количества движения в фиксированной точке пространства.
Следовате.чьно, используемая в й' 2 теорема об изменении вектора количества лвижения в фиксированном элементарном параллелепипеде для случая среды частиц с постояннымн массами полностью зквивалентна закону Ньютона. Однако прнвоаимая в $ 2 формулировка теоремы об изменении количества движения имеет преимущество по сравнению с обычной формулировкой закона Ньютона. Это преимущество заключается не только в том, что для вывода уравнения (2.10) не потребовалось понятия ускорения фиксированной частицы, но н в том, что рассуждения по выводу уравнения (2.10) оказались весьма простыми и сходными с рассуждениями по выводу уравнения (1.7) изменения масс.
Следовательно, способ Эйлера изучения движения только в окрестности фиксированной точки пространства проведен последовательно не только при выводе уравнения неразрывности, но и при выводе основного уравнения движения среды. Входящие в уравнение (3.1) векторы )г, Р,, ра и Ра можно представить в виде суммы произведений проекций зтих векторов на касательные к координатным линиям на единичные векторы зти. касательных !',, !'., 1.„т.
е. 80 лиаявтянцилльныв ттлвнвния движения вязкой жилкости (гл. и Следовательно, уравнение (3.1) в проекциях на декартовы оси коор- динат представится в виде ди дл Возьмем теперь случай цилиндрических координат. Лля этого слу чая булем иметь (рис. 19) Ча = л и =! лх — Г, Н =1, Чэ = р Н.,= г, Фг = о, (3А) Ры Р1 Рга=Рт Ры Рж Раз =Р а Рэз = Р а Ры =Рте Р =Р= Рж=Р ~ Рвг =-Рм Рис.
!9. Иэ единичных векторов гы юз, 1„последний будет постоянным, а первые лва будут меняться по углу у. Из теоретической механики известно, что дтг д!г —,' =вэХ1, — =-еаХ '., дав В данном случае вектор угловой скорости поворота направлен по дт оси Е и по величине равен †, т, е. иг ' ы= „— ю', а поэтому будем иметь: (3.5) Учитывая эти равенства, получим: др д два дт — = — (о г,+и 1а+о,дз) = до, дэ до, дт ' дт Я ' дт = — 1 + — т1 + — 1з+о,дэ — - о„1,, д диэ в г - 'дà — (НвН,Рв) =,— (РтА+ Рттдэ+ Рт:гэ) = дртг дртт дРт . дт дт 1х+ гэ+ д э+Рг ха Ртт а (3.6) ди ди — +и— дг дл дэ до — +и— дг дх дгл дге + и дг дх ди + о — + те ду де +о — +~ ду дге + о — +.те ду $ 31 диеевранцнлльные хглвнвния лвижкния сраны в напряжениях 81 дог дог н диг двг и', +о +-- +ив дт "дг г др "дл г ! удр, дргт, др„р„,-р.', =Р+ — 1 — + — -+- — + — ), р (,дг где дл г )' дет дв е дов дцт я„св — + о.— + -'-'+о — + — = дт гдг г др 'дл г де„дез о, дв, дн, — +р — + — ' — + дт ''дг гдт гдз =-Р*+ (д + д.'+ д'+ ) (3.2) Возьмем теперь случай сферических коорлинат (рис, 20).
Для этого случая будем иметь: л =гт, Н =1, уч == 0, На = й, дэ — сц На- — ге 51п 0; ) (3.8) Ры Рлл' Ры Рл~' Ры Рл ! Рю Р~л Рээ — )Риг Рэз — Р г Рм ='= Ртл Ры =' Р„.~ Ры = Р, . В дзнном случае все елиничные векторы изменяют своь направление при переходе нз Рнс. 20. одной точки в лружую, если этот перехол связан с изменением двух координат 0 и 2.
Вектор угловой ско- рости поворота с изменением угла 0 будет направлен по касатель- ной к коорлипатной линии у, т, е. Вектор жс угловой скорости поворота с изменением угла ф будет направлен по оси Е, и поэтому булем иметь: ы = — (соэ0г — э!п оюя). дт Подставляя в уравнение (3.1) выражения (3.2), (3.4) и (3.6) и собирая коэффициенты слева и справа при одинаковых единичных векторах, получим слелующие лифференциальиые уравнения лвиження сплошной среды в цилинлрических координатах в коипоненгах напряжений: 82 лиеевгвнцилльные твлвнения лвижвння вязкой жидкости ьгл. и Учитывая эти равенства и равенства для производных от единичных векторов по времени, получим: дЮ„ дв =ЮзХ(з= — '=(соз Ою,— з(п 01з) Хю, = з)п 0)з, дЮ, з дт — ю', — ' = (соз Мю — зюп 01) Х1я= соя 0(з, дю, т О, д - — — (соз ОЯ,— з)п ОЩ(ю~= — соз 0)з — ~1пОКы двз в дЮ дз = юзХ~г = з (3.9) дюз дз =ююХ"ю= На основании этих равенств булем иметь: до' д д— ,„= дз (ол(в+оввз+ отюз) =- дол доь до„ дз з+ дз з+ дз з+ из дР д д д (олью+пью' ~ о Ч— Чз т т дол дов .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
