Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Следовательно, чтобы получить величину деформации, образованную за конечный промежуток времени, надо скорость этой деформации умножить па дифференциал времени и проинтегрировать, например, от нуля до произвольного момента времени г. Таким образом, величины объбмной деформации н девиатора самих дефоР- мзцпй потуг быль представлены в виде (12.4) (!2.5) Примем, что первый инвариант тензорз напряжений линейно зависит от первых пнвариакгов тензоров деформаций и скоростей деформаций, т.
е. с 1 —, ( р + рз + рз) = — р+ 1. 0 .+ ). ~ 6 31, (! 2.6) з Кроме того, положим, что и девиатор напряжений также линейно представляется через девнаторы деформаций и скоростей деформаций, т. е. (О г ) =- ())э) + 2Н (О,) + 20 ~ (Рг) ЛГ, (12.7) где (()э) — постоянный девнатор. Соотношения (126) и (!2.7) обоб;цают со. отношения (11.3) н (11.19) в сторону учета дополнительных слагаемых в правых частях, пропорциональных самки деформациям. Поэтому онн в себе будут содержать уже как частные случаи, и те соотношения, которые имеют место лля вязкой среды, для упругой среды н упруго-пластической среды.
Этн соотношения включают в себя гзкже и случай среды с последеастаигж. г) См. сноску на стр. 67. з) В 1п 6 й а ш, Г)нщйу апб Р1азнсцу, (4еж-хогй, 1922. з) Вола р он и ч М. П., Вязкость смазочных масел, Изд. АН СССР, 1944. г) И лью ш и н Л. Л., ученыс записки Мру, вып. 39, !940. 9 12! 69 РАЗЛИЧНЫН ВИДЫ СРЕД В самом деле, положим в последнем соотношении (12.7) постоянный девнатор равным нулю. Прнменяа зто соотношение к одной нз компонент сдвига, будем иметь.
Рта =2рвсз+ 2П ~ асал!. о Полагая напряжение равным нулю, а Р и П не ззвнсящнмп от врененн, после дифференцирования будем нмсть: ссзгз П вЂ” + — т,з =О. пе После Интегрирования зтого уравнения получим: н — г агл = (гсз)з е (12.9) ссра+Рз ~ рлпс-рсйг~ агап! =О, (12.1!) т) Ке)ч(п, Марш апб Рйуз, Рарегз, г. 3, Сашйгщйе, 1890.
з) Чо!81, Апп. Рйуз. Спенс (97(ебешап), т. 47, 1892. з) М а хтв е11 3. С., РМ(. Май. (4), 35, 1868. Скорость деформацпп сдвига будет убывать после обращения в нуль соот. ветственного напряжения по закону показательной функцлн, а как рзз стим свойством н характеризуется срела с простейшим видом последейстаня. Идея учета вязкости ддя твбрдых упругих тел была впервые выдвинуса Кельвином с) в 1878 г., но формальные соотношенпя вндз (12.8) были введены в рассмотрение позднее Фогтоьсз) а 1892 г, В соотношеннн П26) первый инвариант тснзора скоростей лсформацнй входит однц раз явно и второй раз под знаком интеграла, тогда как первын инвариант тензора напряжений входпг только явно, Аналогичное положение имеет место н в соотношеннн (12.7) по отношению к девизторам. Следовательно, соотношення (!2.6) н (127) можно н далее обобщить, ползгая, что напряжения будут в новых соотношениях представлены гак жс, кзк и скорости деформаций.
В таком случае полу шм: г Ч"„СЬЬ Ч С,-'т)и, се З - Аь*,( -,1 > (12.! О) с р и Ссьс Ь(с пс И сис сч(сис .=./ з а ! Соотношеннл (1230), солержащне !О коэффициентов, будут представлять среду, в которой состояння нзпряженпй н деформаций будут находиться в достаточно слоскноус завпснмости друг от друга. Частный случай среды е релаксацией напряжений, введенный Максвеллом ч) в !868 г., мы получим, еслц положим: йз = о, йз = О. В самом деле, применяя второе соотношенне (!2.10) к компоненте напряжения сдвига, получнм: ?О скогости дееотмлцнй частицы. компоненты нлпвяженнй (гл,г Положим, что коэффициенты йт и,эа не зависят от времени, тогда после дифференцирования (12.11) яолучнм: д~ — + йарш+ дрш = б дргь (12.12) Соотношение (12.12) как раз и представляет собой то соотношение, которое было принято Максвеллом.
Полагая скорость деформации сдвига е,в равной нулю в проводя интегрирование, получим: — т Рть = (Рть)ее т. е. вапряжение после обращения скорости деформации в нуль будет убывать по закону показательной функции. Отношение — называется нериодож ()1 (12 оелаксации напряжения, ГЛАВА !! ДИффВРВНЦИАЛЬНЫВ УРАВНВНИЯ ДВИжвния вязкой жидкости В 1.
Уравнение неразрывности Положение фиксированной точки пространства в области, занятой жидкостью, будем определять с помощью криволинейвых ортогональных координат д,, д, и да, Череа зту точку провалам три линейных элемента координатных линий Ьо ьл, еаз, равные йаь = Н, йдн Вая = На ада, ьха =. На еда. (1.1) Рассмотрим параллелепипед, построенный на зтих трех линейных элементах !рис. 17). Компоненты вектора скорости частиц булут представляться в зиле о, = Н, —,, оа =-. На — ', иа = ̈́—. !1.2) Рис. 17. Проконтролируем изменение массы в фиксированном параллелепипеде двуия способами: 1) способом непосредственного подсчЕта изменения масс и 2) способом учета входа и выхода масс через границы.
В момент Г масса в фиксированном параллелепипеде !!),Н,Н,Н, йд! 3д,йда. В момент Г+Ь1 лг (р)гчюН,НяНаьд, Вдаьда = ~®,+А! Л г+ ~ НьНтНайдтйдзйдз. Следовательно, приращение массы в рассматриваемом параллелепипеде за промемсуток времени АГ будет равно $Н,Н Н бтьд,йд 3да+... (1.3) Точками в правой части (1.3) отмечены слагаемые, имеющие более высокий порядок малости за сит лишнего множителя АГ в разных степенях. 72 диооагвнцнгльные хглвнення движения вязкой жидкости [гл. и Теперь проконтролируем вход н выход массы через грани, перпендикулярные к касательным к координатной линии д,. Через переднюю грань, проходящую через точку О с координатами д,, дг и дв, войдат за промежуток времени б( масса, равная (ро ЛгЛг) о>7 о>)абб Череа противоположную грань, проходящую через точку с координатачи д>+Ьд>, д, д, из параллелепипеда выйдет за тот же промежуток времени масса, равная (Рог>ЛгЛД ьг йдз одг бт = д = '[(ри>НгНг) + — (ро>НгЛз) од>+...
~ одг ода Ы. Следовательно, внутри параллелепипеда задержится масса, равная (ро>НгЛ ) одг од од> Ы— д (1.4) дд, ' Точками в правой части отмечены те слагаемые, которые имеют, по'крайней мере, один лишний множитель од,. Если мы возьмем две грани, перпендикулярные к касательным к коорлннатной линии дг, а затеи и перпендикулярные к касательным линиям дв, и проводам аналогичные рассуждения, то для количеств массы. задержавшихся внутри параллелепипеда, получим следующие выра>кения> д — — (Р гнгН>) д>6дгодгб( —...,1 ддг д — — (РовН>Л)од, од, одаб( —... Складывая выражения (1.4) и (1.5), получим то приращение массы внутри параллелепипеда, которое будет иметь место за счет входа и выхола массы через его границы за промежуток времени бт> — ~ — (Ро>ЛгНг)+ — ((о ЛзН>)+ — — (РпаН> Лг))Рд>одгод>Ь( — —...
(1.6) [дд> ' г дд, - а Ь), Предполагаем, что внутри параллелепипеда источников нет; тогда изменение массы за счЕт изменения плотности, представленное выражением (1.3), и изменение массы (1.6) за счет входа и выхода ед через границы лолжны быть равны между собой, т. е. др Г д дг Н>НгНвбтдд> ода о>уз+... = — [ ~ (ди>НвНг)+ 'с д д д + (рогНгН>) + (ровН>Нв) од> одг одз бт ' ( 1 7) ддг дд„ т8 тгавнзнив нвтлзрывности Это уравнение представляет собой уравнение изменения массы в эле- ментарном фиксированном параллелепипеде.
Делим обе части равен. ства (!.7) на произведение Н>НзНз ир щ > 0(>з й>гз и переходим к пределу, стягивая параллелепипед в точку (о>)> -> О, 3>)з -ь О, 8>)а -т 0), а промежуток времени ЛГ к нулю. Тогда все бесконечно палые слагаемые высшего порядка обратятся в нуль, и иы получим уравнение изменения масс в фиксированной точке пространства в криволинеиных координатах — + — (Рп>НэН>)+д— (РозНзН>)+ д ((РюзН,На)Э = О, (1.8) Ч! =х, Ча=-у, >)з=л' г>> ==- и, тх =.и, па=-.сш Н,=1, Н,=-1, На=1, и >равнение неразрывности (1.8) примет вид — — — = о.
др, д (ри) д (ри) д (рю) дг дх ду да (1.9) Если жидкость нес>кимаема (р = сопя(), то уравнение неразрывности (1.9) примет вид (1.!О) Уравнение (1.!0) обычно называется уравнением несжимаемости, Левая часть этого уравнения представляет собой дизергекаию вен>лора ско)юсюи (1.!1) — + — + — =д!ч У ди ди дз> дх ду дх Так как ливергенция вектора скорости прелставляет собой прелел отношения потока несжимаемой жидкости через бесконечно малую аамкнутую поверхность к величине объвма, охватываемого втой поверхностью, то в криволинейных координатах эта дивергенция булет представляться выражением (1.6) с обрзтным знаком, полелан- которое называется также уравнением неразрывное>пи. Уравнение неразрывности связывзет локальное н конвективное изменения плотности жидкости с изменениями скоростей при перехоле от одноб фиксированной ~очки к другая.
рассмотрим случай, когда положение фиксировапнон точки пространства опрелеляется с помощью обычных декартовых координат х, у и г. В этом случае мы будем иметь: 74 дня ьятенциальные теавнення дан>кения вязкой жидкости [гл. и ным на об.ьем и сокращенным на плотность. Таким образом, для дивергенция вектора скорости в криволинейных координатах получим следующее выражение: 41ч У = >у О >т д (о>Оз)тз)'+ д (оэ>ьгзгт>) + д (озгт>гтг)1. ( 2) Если существует потенциал скоростей >э, то 1 с>Ч 1 дт 1 дт В этом случае дивергенция вектора скорости будет равна дифференциальному оператору Лапласа от потенциала скоростей, т.
е. дэу д Ч , дгт д>э Ъ' —. — — ь+ — + — —, = Ьр, дкэ дуг дег по аналогии Формула (1.!4) предстзвляет оператор Лапласа в криволинейных координатах. Произведение плотности р на вектор скорости частиц называется вектором плотности потока массы. В таком случае уравнение неразрывности (1.8) связывает локальное изменение плотности с дивергенцией вектора плотности потока массы. В 2. Уравнение переноса количества движения Теорему об изменении количества дан>кения в фиксированном обьеме можно сформулировать следующим образом: Количество движения в фиксированном объеме изменяется за счет: 1) входа и выхода масс через гранины объема, 2) действия импульса внешних массова>х сил и 3) действия импульса поверхностных сил напряжений.
Провезем подсчет изь>енеций количества дви- жения в фиксированном параллелепипеде с дли- )'о нами ребер аз>, эвэ и озз (рис. 18). да," ---.даг Обозначим через Р вектор силы, отнесЕнный к единице массы жидкости, а чеРез Р,, Р ., Р з— векторы напряжений на площадках, перпендикулярных к касзтельным к коорлинатным линиям >)>, Рпс. 1В. и дан проходящих через точку О(ро >уг,>)а).Вязки минусы в индексах означают, что нормали к этим площадкам направлены против положительных направлений координатных линий. В этом случае можно положить; Р.= — )з />-э = Рэ 75 о 2) гелвнение паеаносл количкствл движения В момент Г л>асса, заключенная в параллелепипеде, имеет вектор количества движения, равный (рЪг) Н Н Нэ од Ъд одл, в момент же (+Же вектор количества лвижения в рассматриваемом параллелепипеде булет равен д(>у) (ЧЮс,лл Н>ИеНэод>одеддэ+Ъг)г+ д> бт+.
~ Н>Н>НлоЧ, одоЗдэ. Слеловательно, приращение вектора количества движения в фиксированном параллелепипеде будет равно д(рь) дт Н>И Нэа г>дл од од + (2.1) (2.2) Теперь проконтролируем изменение количества движения аа счет входа и выхола масс. Через грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии дл,' входащаа масса Ро>НэйэбдеЪдэ бт внесет с собой в паРал. лелепипед вектор количеств движения (рол ЪгНеН,) Ъдз одэ Ы. Через противоположную грань иэ параллелепипеда выйдет масса со слелующим вектором количеств движения: (рт> УН Нэ) > од,. од Ь( = д ;...= (р,ЪИ,Нл), + — ((. ~)УНлИэ)од,-(-.. ~) дд,дд,~. дд, Следовательно, внутри параллелепипеда задержится вектор количеств движения, равный д — — (оо )гнэнэ)ОЧ>одльдэм— Проводя аналогичные рассуждения по отно>нению к граням, перпенликулярным к касательным к координатным линиям д и дэ получим: д — — — (рт>лЪ'НэН,) од, ддэод,.))в (ррзЪ Н>Нэ) о>1> одэ од дг дд, ' ' ' э Складывая выражения (2.2) н (2.3), получим приращение вектора количеств дан>кения за счЕт входа и 'выхода массы через границы параллелепипеда д д — — (Ри УНаН,)+ д — ((РвэЪ'НэН>)+ + — (ро,)ГН>Нэ)) Ъдл одэ одэб( —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
