Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 17
Текст из файла (страница 17)
до = — г + — ю(+- — тю(+ дт ' дт з ду + ов 5!и юююз+ов соя 01з — о, соз юьюз о зьп Оюь д д д— „,Жив) = дз 1Ю зььь 0(Рвлюв+ Рььюэ+ Рвь(з)1 = (3ПО) = ьь соз 0 (Рввюз+ Рввюз+ ЮзвтЮз) + дль дльз . дль, . +)~"" 0(дз ' + дз ' + дз'"юз+Р ' — Р4) д д дй ()зь)тьРз) = д. М(Ртл)ю+Рььюю+Р юЛ = Юдоьв .
ОРьь дР +Р всозОЮж — Юэ сов бюз — Р„„эьп Ою ), Подставляя в уравнение (3.1) выражения (3,2), (3.8) и (3.10) и приравнивая коэффициенты при одинаковых елиничных векторах слева ь и справа, получим следующие дифференциальные уравнения вижеь ия сплошной среды в сферических кооодинатах в компонентах л гвлвнкнив пеевносл полной знеегии напряжений: дерк дек е д'рк г дпк ее -(- ез дт дк( А' дз РерпО дт р — к+од — + — ' — + — т — — — т = 1 гдркв 1 дРьк 1 'др в = рл+ — ~ — + — — + — — ь Г !( дв0 я, дз рзрпО д 1 + ~ (2рлк+ 0!К Орьн — р„— р де, деь е де„е де+в е ц~ дт дЛ' ' А' д0 )серп О дэ Аь др — +ел — -'- — ="+ — т — —,+ — ' — — ес)сО = 1 МИко 1 дкм 1 д.е, Рь+ 1 + + — — те+ Р д0 10е1п 0 дт 1 + —,(рмссаб+Зр,„— р с)ЕО)1, де еь дет е'т де е ев — '+ — -+ — — + — — + + — ' дг дЙ д дв де1пО дт рз лр 1 гдркр ! дрьр 1 ь ( д)0 )О дв ' 10 зря О дт + — (2р 01к О+ Зр л)~, (зп !) й 4. Уравненне переноса полной энергии Переходя к выводу уравнения изменения энергии в фиксированном элементарном объеме, заметим, что в термодинамике под внутренней энергией системы полразумевается та часть полной энергии, которая зависит от температуры, объдма и химического состава системы, при этом, если пренебрегать энергией взаимодействия частиц системы друг с другом, то внутренняя энергия обладает свойством аддитивности, н поэтому можно ввести понятие удельной внугвренней энергии е, представрряюшей внутреннюю энергию единицы массы.
Если мы будем рассматривать фиксированный объем, не изменяюрцийся во времени, то полная удельная энергия елиницы массы будет 1 состоять из кинетической энергии — (ря и внутренней энергии е. 2 Изменение полной энергии массы в фиксированном малом объеме за малый промежуток времени Ы будет составляться из о~дельных изменений за счет: !) входа и выхода масс через границы обьвма, 2) элементарной работы объвмной силы Р, 3) элементарной работы векторов напряжений р,, ре, рз и 4) притока тепла благодаря теплопроводности, г(ругие источники изменения полной энергии (излученне и пр.) мы учитывать не будем.
Подсчитаем отдельные изменения полйой энергии в фиксированном параллелепипеде с ребраии Оэо еэа, Оэв. 34 диФФеРенциАльные УРАвнениЯ дВижениЯ ВЯзкОЙ инакости Ггл. и В момент Г масса, содержащаяся В фиксированном объвме Ьгеазйзз, бУлем иметь полпУю энеРгию, РавнУю [( —, + а) р] Н,Н Нлйд, йд ед,, а в момент Г-+ЬГ булет иметь: р( —,+з)] Н Н Няйд,йдаьда= = ~ [р( — +-а)] + — [р ( — +а)] бт+... ) Н НЕН Зд,йдаЗда. [Гох ( 2 + В)НВНА] едэ еда йт.
Через противоположную грань, проходящую через точку с коорлинатами д +эд,, д, дз, выходящая масса вынесет количество полной энергии, равное [ГО,НАНА ( — + В)] едя ьдз — ( [зп, ( — + е) Н.,НА] + + — [Ро ( — + е) НЯНЯ]йд,+ ... ~едэйдзМ. Следовательно, внутри параллелепипеда задержится следующее коли- чество полной энергии: — — [ро ( — +з) Н.
Н ~йд едчедаМà — .. г4. 2) Повторяя такие же рассуждения по отношению к граням, перпе~гдикулярным к касзтельным к координатным линиям дя и д, получим: — — ) РВ, )--+ а~ Н НЯ1 йд 'дяйдя бт —... 44.3) Складывая выражения (4.'2) и 44.3), получим приращение полной энергии в фиксированном объеме за счет Входа и выхода масс через Следовательно, приращение полной энергии в фиксированном объеие за промежуток времени ОГ представится в виде Л вЂ” )Р~ — +яд ЬГНЕНВНаедгьдяйдз г Через грань, перпенликулярную к касательной к координатной линни д, и прохолящую через точку О с координатами ди дю дз входящая масса ро,НЯНзодяйдт внесет с собой в параллелепипел следующее количество полной энергии; 86 диеевтянцилльныв ягавняння лвижяния низкой жидкости (гл.
и Через перелнюю грань, перпендикулярную к касательной к координатной, линии д,, за промежуток времени Ы будет передано по закону Фурье следующее количество тепла: — (х — Нзйз) йд, йда Ьд дТ Над, з в з а Через противоположную грань за тот же промежуток времени будет передано количество тепла, равное — (х — — — а) ОдзВдадт = / дТ НаНа~ ддг Нг )я,чля, Следовательно, внутри параллелепипела задержится следующее коли чество тепла: д I дТ НаНя' — (х — а ' ) йд„йд.
бдяща+... (4.9) вдг'х дд, Н, Т Повторяя такие же рассуждения по отношению к остальныи граням параллелепипела, получим: д ~ дТНН' — — 3 1)3д Од од, ба+..., 1 (х — ' а) йд,йд йдзбт+... д дТ НчНа ада ада Н, (4.10) Складывая выражения (4.9) н (4.10) н деля на термический эквивалент А, получим то приращение полной энергии в фиксированном объйме, которое обусловлено процессом теплопроволностн: дда Х дда На ) Других источников изиепения полной энергии в рассматриваемом объйме яет, поэтому приращение энергии, представленное выражением (4.1), мы должны приравнять сумме отдельных приращений, представленных формулами (4.4), (4.5), (4.8) и (4.11).
Обе части получешюго равенства разделим на НгНлНдбд,одайдабт и перейддм к пределу, стягивая параллелепипед в точку и уменьшая промежуток времени бс до нуля. В результате получим 9 41 УРАВНЕНИИ ПЕРЕНОСА ПОЛНОЙ ЗНЕРГИИ следующее уравнение изменения полной энергии в фиксированной точке области, занятой средой: + — '['(-;-'+2) ° .|+[Роз(2-+ ) Ч.)+ г Н2НВНА'Где х ' е г ' двг (4.12) Уравнение (4.12) можно также называть уравнением переноса полной энергии. Оно в своей простейшей форме было ввелено впервые в рассмотрение Н. А.
Умовым ') в 18?3 г. Группируя слагаемые в правой части (4,12), пояучим: =Рр' )г ННРН ( д? [(Рох 2 +рог — Рх ' 1' — АН до ) НВНА)+ +дог[(р 2 2 +р г ре АН д ) г 21+ дГ/ Уг х дТА + — [(ро —;+р *- —,о. У вЂ” — — ) НН1). (4,13) дог)1 2 2 2 Ангдов) Вырагкение в фигурной скобке в правой части (4.!3) представляет собой ливергенцию особого вектора, который можно назвать вектором плотности потока переноса полной энергии.
Обозначая этот вектор через Е, для его компонент будем иметь следующие выражения; (4.14) В Умов Н. А„ Избранные сочинения, Гостехнздат, 1950. ! )гг "="' (-+з)— г Уг "вг2 ! ) Ее — — Роз ( 2 + ) х дТ У вЂ” — —, АН, двх ' А дТ АН2 д?2 ' дт АНгдвг При этих обозначениях уравнение переноса полной энергии (4.13) представится в виде д ~Р( — + )] =-РЕ. — ~ — (ЕзНгНг)+ В декартовых координатах уравнение переноса полной энергии (4,15) будет иметь вид д дГ дбз дЕ, дг(Р(2 + )) Р (дх+ду+д ) где нооекции Е , Е„ и Е вектора плотности потока полной энергии равны /Уз х хдТ Е =Ри( — +з) — р У вЂ” — —, (,2 ) з А дх' 7У .ду Е =Резь-+зз — -р У вЂ” — ' —, з ~2 *) з А ду' грг Х гду Е = Рсз( — + з)1 -- тз У вЂ” — —.
1,2,) " "А дз' (4.17) ф 5. Уравнение изменения внутренней энергии Преобразуем полученное уравнение (4.12) переноса полной энер- гии, Так как — = — У ° У, 2 то уравнение (4,!2) можно предстанить в виде ~дУ и, дУ егдУ оздУ „~ з ( г ) з 1 дг Нзддз Нгддз Нз ддз + — (Р.ННг)))+Р~-'+ — — + — — + — =) = ддз з ' з ) ) 'ьдг Нзддз Нзддг ' Нзддз! дУ дУ, др 1 (д / дХНгН„'~ Нзддз з Нзддз ' з Нзсдз ' АНзНзНз(ддз( ддз Нз 7 „д ( ду НаНз) д ~ ду 77,Нз)~ 88 диеевввнцилльныв ттлвнвпия движения вязкой жидкости (гл.
и 89 й 5! гелвнение изменания внттгеннвй энаггии Первая фигурная скобка в силу уравнения (3.!), вторая — на основании уравнения (1,8) обращаются в нуль. В результате, получим уравнение др дУ ! др 1 Гд /дТН»Н»! Ндд +' е Н.деа ' Рэ Ндаз + ЛИНН Где ( до П )+ Тзк как выражение в скобке в левой части (5.1) представляет собой индивидуальную произнодную от внутренней энергии фиксированной частицы, то полученное уравнение есть уривнение изменения внутренней энергии фиксированной чистииы с аостоянной массой.
В декартовых координатах уравнение (5.1) изменения внутренней энергии представится в зиле Гд» де д» д»т д У д У д У р( —.+и — +о — +ш — )=р .— +Р . — +р .— + (,дс дх ду дх,) х дх в ду ' де +.-~д( -)-.-(Я.-)+-. (х-.-)1 Раскрывая скалярные произведения трах первых слагаемых в праной части (5.2), получим; дУ дУ, ддр ди да дш дх ! е ду+' " д» Р™дх+Р»едх+~х» дх ди, до дш ди да дж + ду~~Р»ед +Ре д +! хд +~ш! +~»» Учитывая соотношения взаимности касательных напряжений (10.17) главы 1 и обозначения компонент скоростей деформаций (5.5) главы 1, будем иметь: др дУ, дУ Рх ' дх+Р» ' ду ~ Р» д.
=р .л +ревене+р е, +2р „е, + 2р»»„»+2р е, . (5.3) С помощью соотношений (11.!), (11.16) главы 1, представляющих обобщенную гипотезу Ньютона лля вязкой жидкости, равенство (5.3) можно записать; дУ дУ дУ Р . — +.а — +Р» ° — — = дх ' в ду д" 2и = — Рй — '(к' — — ~) бз+ 2!» (=-'з +ее +»е -1-2(ее +»з +»'„)).
(5.4) 90 дифеееенцилльныв еелвнения движения вязкой жидкости (гл. и Таким образом, уравнение (5.2) изменения внутренней энергии фиксировинной частицы вязкой ясидкости представится в виле /де де де дез р( — +и — +о — +ш — )= 'Хдг дх ду дгг' +(х' — --")У+29(ег +ез +ге +2(гг -+ез +ег )). (5.5) Уравнение (5.5) можно рассматривать как уравнение притока внутренней энергии зо единицу времени в фиксированной частице вязкой жидкости. Источниками изменения внутренней энергии частицы вязкой жидкости, таким образом, будут: 1) теплота, поступающая благодаря процессу теплопроводности, 2) работа сил давлений, связанная с изменением плотности частиц, и 3) некоторая часть работы вязких напряжений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
