Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 21
Текст из файла (страница 21)
д» дх дх д» дх ду ду дх!' (2.! 2) Из полученного равенства (2.7) следует, что на элементарное изменение кинетической энергии движения фиксированной массы расходуется вся элементарная работа внешних массовых сил и лишь часть элементарной работы внешних поверхностных сил, т. е. сил напряжений. Другая же часть элементарной работы внешних поверхностных сил не расходуется на изменение кинетической энергии, н поэтому можно полагать, что она расходуется на изменение формы, объвма и температуры элементарных частиц, т. е. идйт на изменение внутренней энергии, что и подтверждается уравнением (2.1).
Для случая несжимаемой жидкости внутренняя энергия может состоять лишь из одной тепловой энергии, поэтому та часть элементарной работы сил напряжений, которая не будет расходоваться на изменение кинетической энергии, будет .Расходоваться на изменение тепловой энергии, т. е. будет рассеиваться. Обозначил~ энергию рассеивания, приходящуюся на единицу обьел|а и на единицу времени, через Е, т. е. 106 теОРемА О РАссеянии энеРГии ~ О Г е)т = — 4)е Щ (аз + а,- '+ ае) г(т (2.!4) Пусть осн х, у, х будут совпадать с глазнычи осанн деформаций з рзс. сматрнзаемой точке, тогда энергия рассеяния (2.11) будет представляться через главные скорости деформаций з виде Е = 2Р (е" + е", + ее), (2.!6) 3 Умножая левую и правую части на — и вычитая пз левой и правой часгн 2 соответственно выражение 6=!,(м 4 ез4 ..)з, получим —.
Е = Р ((ет — )'+ ( з — з)з+ ( з — )') 3 2 -= (2.16) Выражение в квадратной скобке з правой части (2.16) представляет собой е точностью до множителя не что иное, как квадратичный инвариант девиа- тора скоростей деформаций, рассмотренного иаии з 6 7 главы 1, который з свою очередь пропорционален скорости деформации результирующего сдвига частицы ((7,!2) гл.
1). Таким образом, скорость рассеяния мехаинческок энергии для несжимаемой жидкости пропорциональна квадратичному инаарнанту девнатора скоростей деформаций илн пропорциональна квадрату Скорости деформации результирующего сдвига частицы, т. е.
Е = 4РЕ =бра'. 12,! 7) Умножая левую и правую части (2.12) на элемент Объема дс и проводя интегрирование по всему объйиу, получим количество иеханической энергии, рассеиваемой за единицу времени в конечном объйме т. ~ Ег)г= 4и ~ ( ~ (е'з +а,'-' ) аг),)т 4 ~' ~ ('(до да ди да ды ди да ди ди де ди дп) дг ду да дх дх дх дх ду ду дх) Если границы объема т будут представлять собой неподвижные твйрдые стенки, на которых в силу условия прилипания проеицни вектора скорости булут обращаться в нуль, то после интегрирования по частям булем иметь: 1 )да да [да ю — с05 (п, я) — й- с05 (п, а) е)5 — = О, и аналогично с другимн слагаемыми в правой части (2.13).
Следовательно, при движении несжимаемой жидкости, заключанной в неподвижном объеме, полное количество рассеиваемой механической энергии за секунду будет зависеть только от интенсивности вихрей внутри объема и будет представляться в виде )ое овщиз свойство движвния вязкой жидкости [гл. щ й 3. Подобие течений вязкой несжимаемой жидкости Лифференциальные уравнения (8.!) главы П движения вязкой несжимаемой жидкости преобразуем к безразмерным величинам. Для этого все входящие в эти уравнения величины выразим через величины той же размерности, но являюгциеся характерными для рассматриваемого те<ения. Так, например, прн движении жидкости в круглой цилиндрической трубе за характерный геометрический размер можно взять диаметр трубок а за характерную скорость — срелнюю скорость по течению.
При обтекании жидкостью шара за характерный размер можно взять диаметр шара, за характерную снорость — скорость потока на бесконечности и за характерное давление †давлен на бесконечности. Аналогично обстоит дело и в других случаях течений.
Введам следующие обозначения для характерных величин: )э в линейный РазмеР, )г — скоРость, Ро — лавленне, То — вРемЯ, Ло — сила, приходящаяся на единицу массы. Эти характерные величины можно рассматривать как своего рода масштабы соответственных величин рассматриваемого течения. Все переменные размерные величины будут представляться в виде пронзвелений характерных масштабов на безразмерные величины. Таким образом, мы будем иметь: х — йох» и = 1'ол», Гх = зарх, У'=тоУ» с= Тот * о= !»ооы Р =йорг го=»Тогу ~ !8 !) х =. ход,; ш = )гож,; Т» -- КО"ч Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения движения вязкой и несжимаемой жидкости и разделяя первые три полученные "о уравнения на множитель —, стоящий при квадратичных членах ьо инерции, получим следующие уравнения; ьо ди» ди, ди~ ди» вЂ” — + л — + о — + тв — =- То!Го дГ» ' дх, ' ду, ' дх, Го до, до, дп, дш — — — — +и,— +о — +ш То!го дт» т дх»» ду» т дх» ро г о ьо доо, дм» дш» дш» — — +л — +о — +ш —.
= Тот»о дтт» дх, ' ду» т дх, И»Е»» ро др» Ь'„у!1оз дог й»о» о ди» до» дш~ — + — + — =О, дхт ду, дх, й 31 подавив ташний вязкой насжимлемой жидкости 107 — ' —., =Е. Рь Ьь" ь (3,3) Число, содержащее ускорение силы тяжести, называется числом гдруда (1870 г.) 1г — ' — Е. (3.4) аль Число, содержащее характерное время, именуется числом Струхаля (1878 г.) — == 8 (3.5) Наконец, число, содержащее кинематический коэффициент вязкосги, называется числом Реапольдги (1883 г.) — =й.
1. У ч (3.6) Решения лифферепциальных уравнений (3.2) для безразмерных скоростей и,, о, и ш, и давления р, будут зависеть от четырех характеристических чисел Е, Г, 8 и (с. Следовательно, некоторые качественные особенности течений вязкой несжимаемой жидкости будут предопределяться знзчениями этих характеркстических чисел.
Особенное значение приобретают эти характеристические числа при рассмотрении вопроса о подобии течений вязкой несжимаемой жидкости. Многие вопросы гидромеханики, необходимые для техники, решаются при помощи экспериментоз с уменьшенными моделями. При проведении таких эксперииелтов возникает вопрос о выборе размеров моделей, значений характерных скоростей и прочих характерных величин. Возникает также вопрос о возможности перенесения результатов экспериментов на натуру.
На все эти вопросы даат ответ теория подобия течений жидкости. Условия механического подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости включают в себя условия: а) геометрического подобия, б) кикематичгского подобия и в) динамического подобия. Лля выполнения условий геометрического подобия двух сравниваемых течений необходимо не только подобие самих границ, но и подобие их взаимного расположения.
При выполнении этого условия можно Все слагаемые в уравнениях (3.2) будут безразмерными величинами, поэтому будут безразмерными и входящие в эти уравнения множители, составленные из характерных размерных величин, Этн безразмерные множители называются характеристическими числамл течений вязкой несжимаельой жилкости. Каждое из этих чисел принято называть по имени того автора, который впервые ввйл его в рассмотрение, и обозначать его начальной буквой фамилии этого автора, Число, содержащее давление, есть число Эйлера (1745 г.) 108 овщив свойства движения вязкой жидкости (гл. ш говорить о соответственных точках рассматриваемых двух течений и соответственных отрезках, причем отношение двух любых соответственных отрезков будет равно постоянному числу, т. е.
(х)п (у)п (л)п (Ео)и (х), (у), (а)! (Ео) (3.7) где )лл — коэффициент геометричесного подобия двух рассллатриваемых течений. При выполнении условия геометрического подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости можно говорить о кннематическом подобии этих течений. Если выбран коэффициент пересчета времени, т, е. гп (То)ц (То)! (3.8) то кинеллатическое подобие булет иметь место тогда, когла отношение проекций векторов скоростей в любых соответственных точках будет постоянным, т. е. (и)п (и)п (ил)н ((со)п (и)! (и)! (ил)! (Ло)! (3.9) гдле )лг — коэффициент кинеллатического подобия. Наконец, о динамическом подобии двух течений вязкой несжимаемой жидкости можно говорить лишь тогда, когда отношении: а) проекций векторов массовых сил, б) величин давления и в) компонент вязких напряжений з любых соответственных точках будут постоянными, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
