Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для случая так называемого совершенного (идеального) газа внутренняя энергия единицы массы равна с зт е А ' (5.6) Принимая теплоемкость с„ постоянной и подставляя значение е в уравнение (5.5), получим следующее уравнение притока теала для совершенного вязкого газа: + — (л — )~ — рй+()У вЂ” ~~) ба+ 2р ~( — ) +( — ) +( — ) + й 6. Дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости В 6 3 были установлены лнфференциальные урзвнения лвижения жидкости в напряжениях. Чтобы написать эти уравнения через проекции вектора скорости, необходимо воспользоваться соотношениями, представляющими компоненты тензора напряжения через компоненты тензора скоростей деформации.
Такое преобразование мы проведем лишь для случая вязкой жидкости, для которой принимается обобщвнная гипотеза Ньютона, связывающая компоненты напряжения с компонентами скоростей деформаций линейными соотношениями П1.1) и (11.16) главы 1, 6 6) хялвнения движения вязиой несжимаемой жидкости 91 В декартовых иоорднпатах соотношения (11,!8) главы 1, представляющие обобщенную гипотезу Ньютона, имеют вид р = — р+29 — +(1 — — ) 6, ди /,, 2я! хх ° дх 1 3/ до /,, 2И> р = — р+21с — +(с/ — — /1/!, ив ду 1 3/ р. = — р+ 2и — +(1 — — ) Г!, дт >.
> 2Н> дх ( 3/ (6.!) Будем считать жидкость несжимаемой, т. е. 6 = — + — + — = О. ди до дм дх ду де (6.2) Кроме того, положим коэффициент вязхостн р постоянным: >с =- соп51. (6.3) Подставляя при этих предположениях выражения (6.1) в правые части уравнения (З.З), получим следующие дифференяиальнме ура- внения двилсения вязкой и несзки.иаеяой лсид/гости, представлен- ные через составляющие вектора скорости в декартовых коорди- натах; ди ди , ди 1 др дС ' дх ду де и я дх ' =->-и — +и — +то — = à — — — +>Ьи, до до до до 1 др — +и — +о - — +ш — = Р -- — — + >Ьп, (6.4) д/ дх ду де В Г ду дт дм, дм дм ! др — -+ и — + и — + со — = г" — — — + ч Ьш, дг дх ду де ' я дх 1 до, дот о„ д„ /+ ! дг' ог 1 до„ вЂ” р+21с(г г д ) дое, р+ 2Р да ' ргг = (6.5) Ргг Подставляя (6.5) в правые части уравнения (3.7) и используя уравнение несжимаемости (6.2), представленное в виде до, ог 1 дов дое — + — + — — + — =О, дг г г дт дх (6.6) где й — дифференциальный оператор Лапласа, а > --иннематическия коэффициент вязкости.
Пользуясь выражениями (8.9) главы ! для скоростей деформаций, мо>ино представить обобщенную гипотезу Ньютона для несжимаемой вязиоя жидкости в цилиндрических координатах следующими соотношениями; получим дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости з цилиндрических координатах до« о до« до„ " дг ' г дт « д» г 1 др ! о„ 2 до„т т) 0 дг ( " г«г«дт)' до„о до дот о,о„ т — + — — +- о« вЂ” + — — = «дг г дя "д» г 1 др г о„2 до,« = р — — — -+ «(Ьо — — "-+ — — '), яг дя (, т г»1 гг дт) до«о до, до, 1др +о — + — — +о — '=- р — — — + Ьо, «д» г дт «д» *,. д» до« вЂ” «+ д» до„ д! — -+ (6.7) до, дт где оператор Лапласа Л имеет вид д«1 д ! д«д« !6.8) дга+ г дг+ г«дт«+д»« Обобсценная гипотеза Ньютона в сферических координатах прн использовании равенств (8.11) главы ! представляется в виде доя — р+ 2и— д!7 ' ол 1 до, о с!90 !ол 1 до«! — р+ 2!«! — + — — ); '1 гс ' 27 д0 ) ! 71 дол до ос! !до ! дол о 1 — — -),Р ' )20 дз + дтЗ Л«)' тв ' (дА' + Д«з!и 0 дт Р0)' 1 до„! до о с!20 (6.9) Р«« = Подставляя выражения (6.9) в правые части уравнений (3.11) и используя уравнение несжимаемосгн доч 2оч ! до 1 доч о с!90 д!7+ Р ' 27 00+7»з!пз дя + ' !7 — О, (6.10) получим дифференциальные уравнения движения несжимаемой жидности с постоянным коэффициентом вязкости в сферических коордн- 92 диеаяоянцилльныа толвнения движения вязкой жидкости (гл.
и нАчАльные н грАннчные головня натах дил дол оч дил оз дол оэ+т>', — + т л — -'- — — - + — —.' дг дУГ ' й дб ' УГзшб др УГ 1 др У 2о>т 2о„2 ди„2 доят — +,!'Д~, ", —,",1д 0 р дУГ ! УГз УГз й УГзмп0 дт УГА д0)' ди до и ди,, о, ди оло ~ с!20 дг дй> ' УГ дб ' УГА>па др ' УГ УГ ! др о 2 соя 0 до 2 дол> =-,из — —,— + !лот —, . „—, . — + —, — !. рд!!дб 1, Р-'з>пэб УГзз>пзб дт УГз дб У' ди„ди о, ди„о, ди оли„, оаор стй 0 — -+ол — + — --+ —. — + — "+- дг дУГ УГ дб УГА!па др УГ ' Д> 1 др у о, 2соз0 до„2 дол> — — о ч рурзтпбдт '), ч урка>пзб ' ГГзз>пзб др >Газ>пб от)' (6.1 где оз 2 д 1 дз с>йб д 1 дз .! = — —,+ — — + — —.+ — — +, .
—... (6.!2) дУГА УГ дУГ УГэ дбэ УГа дб >Газ!паз дра' дналогичнь>ь> путем можно получить дифференциальные уравнения лини<ения вязкой сжимаемой жидкости с переменными коэффициентами вязкости. Что касается других сред, рэссмо>ренных в й 12 главы !, то дифференциальньш уравнения движения таких сред можно выразить через состэваяющис вектора скорости лип>ь в тех случаях, когда соотношения, связывающие напряженное состояние с состоянием деформаций, могут быть разрешены отнес>цельно всех компонент напряжении, Бо всех других случаях необходимо соотношения связи напряжсни,". с дсформациями рассматривать совместно с дифференциальными уравненивми движения среды в напряжениях.
й 7. Г)ачальиые и граничные условия для вязкой несжимаемой жидкости Для изучения движения вязкой несжимаемой жидкости с посто. янным коэффнциентом вязкости необхоличо решать совместно систему дифференциальных уравнений (6.2) и (6.4) с частными производными второго порядка. Решения этой системы дифференциальных уравнений будут содержать произвольные функции, для определения которых необхолимо задавать начальные и граничные условия. Задание начальных условий необходимо лишь в том случае, когда изучается неустановившееся движение жидкости.
В этом случае должно считаться изнестным все движение жидкости для накого-либо финсированного момента времени, например для начаяьного момента У = О. 94 дияьягкнцилльныя зилвняния движения вязкой жидкости [гл. и йля этого момента времени должно быть задано распределение скоростей и давлений, т. е. прн 1=0 и=из(х, у, г), п=пя(х, у, г), р=ря(х, у, г), те = сир(х, у, л), (7.1) Этого условия было достаточно для изучения движения идеальной жидкости, для которой дифференциальные уравнения содержали ляшь частные производные от скоростей а, и и тз первого порядка.
Для изучения же движения вязкой жидкости одного услояия (7.2) будет недостаточно не только с физической точки зрения, но и с формальной, так как порядок дифференциальных уравнений повысился. К кипематнческому условию (7.2) необходимо присоединить еще и дикллшческое условие. Коль скоро мы допустили, что частицы яязкой жидкости взаимодействуют друг с другом не только давлением, но и с поиошью внутреннего трения, то с тем же основанием л1ы должны предположить и наличие касательного взаимодействия частиц жидкости с точками стенки. Это касательное взаимодействие частиц жидкости с точками степки булез представлять собой внешнее трение жидкости, Силу внешнего трения, приходящуюся на единицу площади, принято считать пропорциональной разности касательных скоростей частиц жидкости и точек стенки, т. е. ря,=Л(К„- К,), (7.3) где Л вЂ” коэффициент внешнего трения, р„., — касательное напряжение, вычисляемое через скорости деформации согласно обобщенной где ие, пя, шя и ря — заданные функции координат.
Во многих случаях на искомые функции и, и, ш и р накладываются ограничения, вытекающие из су~цества самих задач, не только в отношении однозначности, цо и в отношении ограниченности их значений. Эти требования однозначности и ограниченности искомых функций играют роль своего рода краевых условий, так как они позволяют исключать из решений произвольные функции, вносящие неоднозначность в распределение скоростей и давлений либо обращающие их в бесконечность. К простейшим граничным условиям относятся: 1) условия на твердых нелеформируемых стенках, вообще гонора, цодяижных и 2) условия на деформирующихся поверхностях раздела, отлеляющих две несмешивающиеся жидкости. При обтекании вязкой несжимаемой жидкостью твярдых стенок должно выполняться следующее кинелгавическое условие: частицы не могут проникать через твердые стенки и отрываться от ннх.
Это кинематическое условие будет вьполнено, если существует равенство проекций на нормаль к поверхности стенки векторов скоростей частиц жидкости и соответственных точек твердой стенки, т. е. = — )г „. (7.2) НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 95 гипотезе Ньютона. Возьмйм элементарную площадку оз на поверхности стенки с нормалью, направленной внутрь жидкости (рис. 21). ВектоР касательного напРЯжениЯ Рл, можно представить в виде Рл> =Рл Рпл С другой стороны, в силу условия (7.2) будем иметь: У вЂ” Ъ',= Уч — У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
