Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. иа = , и складывая, получим величину нормаа ного напрявюнпя на )сз ' рассмагрпваемой нлщпадке в вале 1 Р» = (Рг+Рг-г Рх). 3 ( йййб) В таком сл)'чае касательное напряжение на агой плщдадке, вычисляемое по формуле (10.4), будет равно Р,. = УР,— Р„= 3 Г (Рт — Рз) +(Ра — Рх) +(Рв — Р,) . (1022) С другой стороны, второй инвариант девиатора напряжений (10.23) будет представляться через главные напряженна следующим образом: бр, '= (Р, — Ря)е 4 ( Рв — Рз)я+ (Р, — рх)".
(10.23) Сле овательно, ннгенспвность касательных напряжений и второй инвариант девнатора напряглешгй булуг связаны следующей завпснмостью; 3 Р = — р 2 (10.20) й !1. Обобщенная гипотеза Ньютона Если рассматрнвагь силу вязкости как касательное нанрюкенпе, а производи)чо ог скорости движения частицы по нормали к направлению скорое~и как удвоенную скорость деформации, сдвига, то г>нотеза Ньютона о силе вязкосги жидкости будет свалиться к тому заключенгно, чго касательное напрязкение пропорционально ссоростгг деформации сдвига. Такое заключение было сделано в 3 4 для случая прямолинейно-параллельного движения жидкости. Первое обобщение гипотезы Ньютона мы получим, если распространим это заключение и на общий случай движения жидкости, полагая, что каждая компонента касательного напряжения пропоряиональкп соответственной скорости дег)германии сдвига, т, е.
р, =2ре Ряз = 2Рет рвг — 2нет, где р — козффищкнт вязкости. Далее примем, что главные осн деформаций совппдают с главными осями нппряжвний в каждой точке областгг, занятой 60 скогости дяеоемлций члстицы. компоненты нкпгяжгний (гл. > жидкостью. Жидкость, для которой это положение буде~ справедливым, называется иоотропной. В изотропной жидкости нет каких-либо исключительных направлений по отношению к леформацням и напряжениям.
Выберем за оси координат трн направления главных осей деформаций и главных осей напряжений и применим формулы (! 1,1) к главным касательным напряжениям (й 10) и главным скоростям деформации сдвига Я 7); рг = 2ре> з, р> г — 2',ыз'з' рз > — 2раз и. Заменяя главные касательные напряжения через главные нормальные напряжения по формулам (!0.21) и главные скорости деформации сдвига через главные скорости удлинений по формулам (7.8), получим: р> — Р> Р.> Рз Рг р> з> — зг зз — зз зг — з> (11.2) Таким обрааом, лля изотропной жидкости отношения разностей главных нормальных напряженна к рааностям соответственных главных скоростей удлинений равны между собой и равны удвоенному значению коэффициента вязкости.
Из соотношения (11.2) можно определить разности компонент главных нормальных напрлжений, но не каждую компоншлу нормаль, ного напряжения в отдельности. Следовательно, первого обобщенна гипотезы Ньютона, представленного соотношениями (11.1), еща недостаточно для установления связи между состоянием напря>кении и состоянием скоростей деформаций в каждой то>ке области, запятой жидкостью. Из трех соотношений (11.2) независимыми явля>отса только два. Следовательно, для опрелеления трех компонент р„, р и рз недостает лишь одного соотношения, связывающего нормальные главные напряжения с главными скоростями удлинений.
Такое дополнительное соотношение мы получим, если в качестве второго обобщения гипотезы Ньютона примем, что среднее нормальное напряжение, в каждой точке состоит из давления, непосредственно не заеисшцего от скоростей деформаций, и дополнительного напряжения, пропорционального скорости обьемноа деформации т. е. З (Л + рг+ рз) р+ )' 1> Ф где й' — -второй козффацигнт вязкости. Первь>й коэффициент вязкости был непосредственно связан со скоростью деформации сдвига, второй >ке коэффициеш вязкости связан со скоростью объемной деформации частицы.
11! Озозцганнья Гипотеза ньютОнА 61 Решая совместно соотношения (11.2) и (11.3), получим следующие равенства для главных нормальных напряжений. р = — р+2йе +1Л 3 ) 6 2Р1 р., == — р+2ие. + ! Л вЂ” —,) !1, 2ит д) р! =' р+ййег+ ~Л з ) 6' /., 2н1 (1 ! .4) р, = — р+ а,е, + авва+ агеа. (11.5) Рнс. 16. Покажем, что из трех коэффициентов а,, аг и ав независимыми будут только два. гз)ля этого перейдем к новым осям к<кърдииат х', х,'„х', получаемых из первых с помощью поворота вокруг оси х, (рис. 16) на угол в 90'. По отношению к этим осям (!1.5) представится в виде г р, = — р + аге! + аяе, + авег. (11.6) Но вследствие х, ==х,, ! х =- ! х!ч, хь = — — хе будем иметь: ! до, ! дх, до, — =г,, дх ! е! о, =О,, д,' дх., диг = г дхг ! ое = г/г, до. дхе оч = — оеч ! ее = Таким образои, глввныс нормальимв нипряженик составляются из дивления, из иипряжскин, пропорционального соотвстсгпвснной гливиой скорости удлинения, и кшцгнжеиил, пропорционального скорости о!!единой деформации.
Соотношения !11.4) могут быть по- .т лучены и иным путЕм, а именно: внача.че принимаем, что главные оси напряжений совпадают с осями главных скоростей деформаций. Затем полагаем, что алгебраические разности между главными нормальными напряженияии и давлением будут линейными функциями главных скоростей удлинений, т, е. Следовательно, равенство (11.6) примет вил р, =- — р+ а,з, + аззз+ аззз. (11.7) Приравнивая правые части (11.5) и (1!.7), получим; Б таком случае (!1.5) представится в виде р, =- — р+(а,-- аз) з, + аз(з, -+ за+ з,). Обозначая а,— аз=28, аз=)., из (11.8) получим; р, = — р+ 2йз, + ).!ь (1!.8) (!!сй) Правая часть (11.0) будет совладать с правой частью первого соотношения (! 1,4), если положить: (1!.
!О) Уравнения (11.4) связывают главные нормальные напряжения с главными скоростями уллинений. Чтобы получить соответственные соотношения для нормальнь|х напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам с произвольной их ориентацией по отношению к главным осям, вослольауемся формулой П0.14), имеющей зил з=з Рл = Х )гз)ззз г — 1 Подставляя в правую часть значения рл из (11.4), получим г,=з л=з р„=- гу — р+(), — — )0~ д„)зал+20 ~~~~~ зз!Д. (11.11) 2/ 3 ) /с=.1 г' =1 Сумма, вхолящая множителем в первое слагаемое в правой части, представляет собой единичный вектор нормали к рассматриваемой площадке, т.
е. г —.з ~Р~ (л)л = з, л=г вторая же сумма согласно формуле (7.14), а затем формуле (6.10) может быть представлена в виде ь=з з~.=з а=з Х. '-, =Х (ром)лзе %ч за!лза =, =,~а,,~~ ° ь)ьз ... =г л=г где !» — направляющие косинусы нормали по отношению к осям коорлинат, не совпадающим с направлениями главных осей напряжений и деформаций в рассматриваемой точке. 62 скогости двеогмтций частицы. компоненты нлпгяжений )гл. з $ 11] осовщвннлн гипотаэл ньютона Таким образом, вектор напряжения на площадке с нормалью и будет представляться в виде ~ =За=э Р мв~ Р+(' З )6)1+ 2р,~ ~~~~1 ежл)азж П1 12) л-1 11 =1 Проектируя левую н правую части (1!.12) на нормаль, т.
е, умножая скалярно на слиничный вектор норма.ти ч=з 1'= ~~2~ 1„,1„„ » —. 1 получим вырз1кение длн нормального напряжения в виде Ф=з ч= рнл =-.= — р+ (л' — — '") 6+ 2и ~) ~~1 зля/11„,. 111.13) 1=1ж=1 Скорость относительного удлинения отрезка, совпадаю1него с нормалью п, мы получим из формулы (6.5), если поделим левую и правую части этой формулы на Ь и заменим эхь — = 11 зз за Итак, нормальное напряжение на площадке с произвольным направ- лением нормали и представляется слелуюшим образом: 211 1 Рч = — Р+(' э ) 6+ 2йзьчн (11,15) Применяя эту формулу к площадкам, нормали к которым будут совпадать с положительными направлениями осей коорлинат х,, хз и хж пол)'чим: Ры — Р+ л — — ) О+ 261,1, /,, 2111 р = — р+11 — н)6+21 2н (11.16) Полученные соотношения (!!.1) и (11.!6) связывают между собой все шесть компонент напряжений и все шесть компонент скоростей Следовательно, скорость зн„ относительного удлинения отрезка будет представляться я виде м=з л=з (! 1.14) м=1 Л=1 64 скотости дкеотмлций частицы.
компоненты нлпеяжвний [гл, г деформации частицы. Их можно объединить в виде следующей зави- симости тензора напряжений от тензора скоростей деформаций: ..~-- ( —,) Рг г Ры Ргз1 1 О 01 е е еьз[ /., 2н! Рзт Рзе Раз~[=~[ Р+(л — и ~0~10 ! 0[+28 еш ет езз~ [Рш Р.„Р.„[ [О О ! 1 (11.! 7) Тензор, у которого элементы по диагонали равны елинице, а все остальные равны нулю, называется единичным тентором.
Это соотношение показывает, что теизор напряжений является линейной неоднородной функцией от, тентора скоростей деформаций частицы, Если мы учтйм выражения компонент скоростей леформзцип частицы через компоненты скоростей движения ей центра, то соотношения (11.!) и (11.16) прелставятся в зиле р = — р+2о +[2' — — [О, до, /., 2п!, гг— доз Г, 2н1 р == — р+2р — "+~а — — '[01, зз р.
= — р -[ — 28 — з+. [ Д' — —,' ! О; (11.18) Дезиатор напряжений (10.22) через глазные нормальные нзпряження представляется в виде 1 [ Рь Рз — (Рз — Рз) 0 о (!)л) = — О рз — р, — (р, — рз) О з~ О 0 Рз — Рг (Рз — Рз) Девнатор скоростей деформаций (7.9), представленный через главные ско. рости удлинений, имеет зид О 0 ьз — ез — (ц ьз) 0 0 ез — еь — (ьз — ьз) 1 М вЂ” 'з — ('ь и) (с),) = — О з Равенства (11.18) представляют собой в окончательном виде обоби!йнную гипотезу Ньютона, устинаеливаюигую дифференциальную связь между компонентами напрнжений и скоростями движений частиц жидкости.
ф 11) ОБОЯЦЕННАЯ ГИПОТЕЗА НЬЮТОНА 05 Если значения разностей главных нор»»альных напряжэний в (()я) заменим согласно (11 2) через разности главных скоростей удлинений, то мы получим: (Тз ) =2н(В,). (11.19) Таким образом, обобщение гипотезы Ньютона, прелставлеиное соотношениями (1!.1) или (11.2), по своему существу означает, что девиатар напряжений пропорционален девиатару скоростей деформации, причем козффицнеит пропорционзльности равен удвоенному козффициенгу вязкости. Заметим, что соотношение (!1Л) есть не что нное, как линейное соотношение между линейным инвариантом тензора напряжений (РН и линейным инзарпантом тензора скоростей деформаций (Е,), т.
е. Р, —.— — Зр+ ЗА'Еи (! 1.20) Аналогично обстоит дело н с соотношениями (11.2). Если мы возьмбм квадратичный инвариант девиатора напряжений (10.28), заменим в пбм разности напряжений нз (11.2) и учтем выражение (7.!2) для квадратичного ннвариаита тепзора скоростей деформации, то получим: (11.21) Таким образом, обобщенная гипотеза Ньютона сводится к линейному соотношению (11.20) аинейных инвариантов тензоров напряжений и скоростей деформации и к линейно»»у соотношению (1!.21) квадратичных инварпаитов девнаторов напряжюшй и скоростей деформаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
