Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 11
Текст из файла (страница 11)
и учтем, что приращения 3х; обусловлены приращением только одной координаты рм т. е. дхе 3хе= д 3чы вт 48 скотости двеоемаций частицы. компонвнты наптяжаний [гл. ! Тогда получим: т. е. (8П) Так как составляющие вектора скорости точки можно получать с помощью деления элементарных отрезков пути перемещения на элементарный промежуток времени, то эти составляю!цие вектора скорости в криволинейных координатах будут иметь вид (8.2) Квадрат произвольного линейного элемента в криволинейных ортогональных координатах будет представляться следующим образом: (8.3) Дифференцируя это равенство по времени, получим: а=! (8.4) Так как На зависит от времени только через координаты до то Ф=а !=а а=! Ч! !=! Обозначение одл представляет собой разность значений координаты Ч! в двух близких точках, т.
е. поэтому будем иметь: Подставляя полученные выражения в (8,4) и заменяя 8!га через оз„, получим следующую формулу для производной по времени от квадрата линейного элемента; а=а а=а 1=! а=! а=а йаа = ч' „Нл йуа'. ь=! й 8) твнзог скогоствй двьогмлции в кгиволинвйных коогдинатхх 49 В случае прямолинейных осей координат производная от квадрата линейного элемента представлялась через компоненты скоростей деформации равепствои (6.6). Сопоставляя формулы (6.6) и (8.6), мы можем прийти к тому заключению, что компоненты скоростей деформации частицы в криволинейных координатах можно получить из (8.6), собирая коэффициенты при квадратах и при произведениях линейных элементов координатных линий. Навример, скорость деформации относительного удлинения отрезка, направленного по касательной к координатной линии йы мы получим, если соберйм в правой части (8Л) коэффициенты при ба'-,'.
ыв (8.6) Скорость деформации сдвига в жюскости касательных к координат- ным линиям д, н д., будет представляться в виде (8.7) Остальные компоненты скоростей деформации частицы можно получить из (8.6) и (8.7), меняя индексы в круговом порядке. ((ля определения выражений компонент вихря в криволинейных координатах применим теорему Стокса к элементарной площадке Н,оу,Н,,6с(ы Согласно этой теореме удвоенный поток вектора вихря через площадку равен циркуляции вектора скорости но контуру, ограничивающему эту площадку. Обозначим компоненты вектора вихря через е о мз й мз.
Тогда удвоенный поток вектора вихря через рассматриваемую площадку будет представляться в виде омзНсНг ацт 8 Чз. Р = (птНт) с4ь+(ияНз)т ьч бг)з (п1Нс)д„ьчп (пгНз)», = д (РЯНз) д (п~гб)1 — — — — — едь бааз. ддь ддз Таким образом, компонента вихря ыз будет представляться в виде Гб а " =9Н,Н,,'(ад„(озН) баз(о Нт)1' (8.8) Выражения лля других компонент вихря могут быть получены из (8,8) изменением индексов в круговол1 порядке. ((иркуляььию по о~раничивающему площадку контуру будем подсчитывать как произведение проекции вектора скорости на касательную к контуру на элемент дуги и на косинус соответственного угла, т, е.
50 скОРОсти деФОРмАций частицы. кОмпоненты нАОРяжений [Гл, 3 Рассмотрим цилиндрические координаты г, А7 н - (рис. 8). Квадрат линейного элемента представляется в виде йее = иге+ г"-дри — [ — дее. Обозначая компоненты скорости движения через о, е и о„и используя д1ормулы (8.6) н (8.7), получим слелуюнсне выражения для скоростей деформации частицы в цилиндрических координагах: ди, дг (8.9) Рпс. 8. Компоненты вектора-вихря в цилинлрических координатах будут прелставляться в виде Квалрат линейного элемента в сферических координатах (рис.
9) й, й и 0 прелставляется в виде ейэя = ейе+ йеейе+ йэ е(пе 089Я. Следовательно, Рнс. 9. Н,=[, Н =й, Не=йа( 6. Если обозначить компоненты скорости движения через о„, оа и пт, то на основании формул (8.6) и (8.7) получим следуюньие выраже- Следовательно, параметры Ляме булут равны Н .=. К Ни==г, На=!. 1 ди иг ЕР„== — — + -— г де г ди д» ' 1 ди,.
д и де г де' дии дес 2ем — — — — '+ — '-. дг дл' ! (8ЛО) 1 компоненты нлпеяжений ния для скоростей деформации частицы в сферических координатах: 1 дев дщ ве )г дз+дР У' де 1 див в дР !Г з1п 0 дт 1 двв 1 дет вт = — —.+ — —— 1~э!и 0 дт У дэ дп,ч лл дт! ' ! с!8 О (8.1!) ди, вн вв с!я 0 — + — +, 2е,,л дт пн + —, Р ' 2е 0 т 1 РАНО двь зьь т до А' дО Компоненты вектора-вихря в сферических коорлинатах будут представляться в виде О ~ — (о,)с з)п О) — - — (его~)1, ! 1 (д . д 1 двл д 2Р з!и В дт дР ! (8.12) ы ф н. Компоненты напряжений Связи в механике заменяются действием особых сил, навываемых реакциями связей и прикладываемых в тех точках тела, в которых эти связи осуществляются.
Аналогично обстоит дело и в механике деформируемоя среды. Если- мы хотин рассмотреть какую-либо часть среды, ограниченную некоторой замкнутой поверхностью а (рис. 10), то мы должны заменить действие остальной массы среды реакциями связея. Так как свчзь рассматриваемой части с остальной пассов срелы осущест- б вляется по всей поверхности :, то реакции связей доля<им быть распределены по всей поверхности з. Таким образом, силы возлеяствня на рассматриваемую часть среды со стороны асей остальной массы суть силы но- Ряс.
1О. еерхноетные. Сила воздействия на рассматриваемую часть среды со стороны окружающей массы, отнесенная к единице площади поверхности соприкосновения а, называется нипрнжениеле р. Напряжение представляет собой вектор, зависящип также н от ориентации рассматриваемой элементарной площадки. Последнее обстоятельство отмечается тем, что к обозначению вектора напряжения присоединяется внизу индекс, указывающий направление нормали к рассматриваелшй площадке (рис. 11). Если мы эту элементарную площадку Ьт будем поворачивать так, чтобы нормаль п последовательно совпала с положительными направлениями прямолинейных осей координат, то получим три вектора напряжений: Р> Ра Р:>.
Проектируя этн три вектора напряжений на оси, получим следующую таблицу компонент напряжений в рассматриваемой точке; !ы !1> рп> Рю Рш Ри ('! 1) !(> !>> Рпс. !!. По диагонали будут располагаться те компоненты напряжени!1, направления которых совпадут с направлениями нормалей трЕх взаимно перпендииулярных площадок. Эти компоненты напряжений называются нармлльныма нллряженилми. Направления остальных компонент папря>кении будут располагаться в плоскостях самих эле- Ю ментарных площадок и поэтому эти компоненты напряжений и называются пасите:гьим.яи налряжелаяма.
Рассмотрим теперь тетя(ь с' лл раэдр АВСМ (рис. 12), боковые грани которого дз>, дзв, Ьзз соответственно перпендйкулярны к осям х,, х, хз, а грань основания Ьа имеет произволыюе направление с Рпс. 12. нормалью п. Так как внешние нормали к площадкам бяо дзв, Ьтз параллельны отрицательным направлениям я,, хэ, хз, то векторы напряжений по этим площадкам буден обозначать через Р > Р е Р т Знак иинус в индексе означает, что рассматривается напряжение на той стороне площадки, которая обращена наружу тетраэдра, т. е.
берем внешнюю нормаль. В силу закона деиствия и противодепствия векторы напряжений, приложенные к обеим сторонам одной и тои же элементарной площадки, должны быть равны между собой по веяичине, но иметь прямо противоположные направления, т. е. (9.2) Р-я = — Рз Р-з = Ра Р-д = Р! б2 сковости двеогмлций частицы. компоненты нлпеяжвний [гл. ! 53 компоненты нлпгяжвний На тетРаэзгР, помимо напРЯжений Рл, Р,, Р я и Р ., бУл)т действовать ещб массовые силы, вектор которых, отнесенный к единице массы, мы обозначим через Р. Следовательно, по закону Ньютона имеем: 1 1 3 ' '" = '," '+Ря" +Р г з+Р-з я+1 -з где тв — вектор ускорения, о — плотность и й — высота тетраэлра.
Обозначни направляющие косинусы нормали с осямн ли ж, хз через (н 7а и 7.„ тогда Ьзз = Ьз(а ()е = 1, 2, 3). Булем теперь переходить к пределу, приближая площадку Ьз к точке М, т. е.. уменьшая 5 да нуля, В результате получим: ь=з ъю Ря='. РА, а=! Рй 5) Таким образом, вектор напрязкения на площадке с произвольным направлением нормали полностью определяется тремя вектораии напряжений на трах взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку, через которую проходит н данная площадка.
Следовательно, зги тРи вектоРа Р„, Рз и Рз полностью хаРактеРизУют напряженное состояние н точке. На этом основании этн три вектора, представленные также таблицей (9.!), называются тензором налрялсенид. Заметим, что равенство (9.5) после умноженяя на Ьз и замены пронаведения дт)» через Дт. н Рх через Р з представится в виде Ряб +ХР б .— О (9,6) Зто соотношение означает, что для самих снл напряжений, распределенных по сторонам элементарного тетраэдра, выполняется векторное уравнение равновесия. Такии образом, равенство (9.5) можно рассматрнвать как следствие того положения, что силы напряжений, распределенных по граням элементарного тетраэдра, образуют систему взаимно уравновешенных сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
