Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Подставляя это в (9.3) и используя равенство <9.2), после разделения на Ьз будем иметь; — дртз = — дрР+ Ря — ',~~Рл)л. 1 1 (9.4) ь-..1 54 скогости двеогмйцип частицы. компонкнты ийпгяжвнип (гл. ! ф !О. Главные напряжения Рассмотрим элементарную площадку с нормалью п (рис.
13). Вектор напряжения на атой площадке будет представляться в виде й=й Р» — Х Р*!й й=! (и! = 1, 2, 3). (10.1) Умножая леву!а и правую части на едини!нын вектор гй, и складывая, получим вектор напряжения на площадке с нормалью п в виде й =ай=:! Рз .=- ~~~~ ~ Рй,й!йг,й, (10,2) !з=! й=! Чтобы найти проекцию вектора напряжения рн на нормаль и, необходнио каждую Рнс. !3. проекцию его рйй, умножить на кось,!ус угла нормали (й, с осью хк, и слозкнть. С;щдивагельно, нормальное напра!кение на плопгадке с норзщльк! п будет представляться в виде ! й='! Рлк =- х.рй„,(л, = ~~'~ ~л~р,„,lй(м. (!0.3) !=!к=! Касательное же напряжение на этой площадке будет опре ге.жгься раненсгвом (! 0.4) Отложим !еперь вдоль нормали и отрезок ОК, относительные координаты конца которого обозначим через 3й.
Тогда будем ивет!и Ей = ОК!й. Определяя отсюда !» н подставляя в правую часть (10.3), получим; !з=з й=! (ОК) Р и Х ХРйт й( и »ь=! й=! (10.5) Выберем длинч отрезка ОК так, чтобы (ОК)з Р„„= 1. (! О.б) Обе части этого равенства спроектируем на ось хко тогда получим следУющие выРажениа длЯ пРоекций вектоРа напРЯжениЯ Рл на оси координат: й:=з Рюй = Х Рй„(й й=! 8 10) ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ Тогда уравнение геометрического места концов отрезка, квадрат длины которого обратно пропорционален величине нормального напряжения на площадке с нормалью, совпадающей с направлением самого отрезка, будет представляться в виде ы=вь=! ОР: Х Х РА>АЕЛЕА! — 1, (10.7) и>=! >'=! Полученная поверхность второго порядка мазь>вается повврхносщьх> налрлжгний в рассматриваемой точке, Направляющие косинусы нормали к поверхности напряжений будут пропорциональны частным производным левой части (10.7) по координатам, которые будут Р„ прелставляться в виде д —; = ~ы Ри,Е» = ОК ~РА»1л.
(10 8) г>Р %ч еи> А=! А.=! Направляющие косинусы вектора напряжения Р„будут в свою оче. рель пропорциональны проекциям этого вектора, представленным в виде (10.1). Сравнивая правые Рнс. 14. части (10,1) и (10.8), заключаем, что вектор напряжения на площадке с нормалью п буде! параллелен направлению нормали к поверхности напряжений в >ой точке, где нормаль п пересекает поверхность напряжений (рис.
14). Главные оси поверхности напряжсний называю>ся главными осялги напряжений в рассматриваемой точке. 7(ля п.ющзлок, перпендвкулярных к главным осям напряжений, вектор напря>кений буде!. направлен строго по нормали к этим площадкам. Таким образом, па главных площадках развива>отса голько одни нормальные напряжения, которые назь>ваются главнылш нормпльными нплригкениями в точке.
Касательнь>е напр»>кения на главных площадках обраща>отся в нуль. На основании соотношения (!О.б) заключаем, что экстремальные значения нормальных напряжениИ будут нахощжься среди трах главных нормальных напряжений. Обозначая главное напряжение через Р„б>дем иметь длв его проекций следующие выражения: Р н==Р(>ч Подставляя эти выражения в левую часть (!0.1) вместо р„ы и развбртывая сумму, получим следующую однородную систему уравнений: !Ры — -Р)1,+Р>з(в+Р>з)з--0 1 Ра>1>+ (Рщ Р,) 1з+РЫ(в = 0 (10.9) Рз>1! + Рзв(г+ (Рзг — Р,) 1з =- О бб скоеости дееогмлций члстины. компоненты нлпея»канин (гл, ! Так как направляющие косинусь! (г, йм 1» отличны от нуля, то опре- делитель этой системы должен обращаться в нуль, т.
е. Ры Р Рщ Рщ Р,,— Р, Рге Ргн (10. 10) Уравнением (10.10) определя!отса значения Р,, Рз и Рз трех главных напряжений в рассматриваемой точке. Раскрывая определитель в левой части (10.10), получим следу!он!ее кубическое уравнение: — Р',+Р,Р",+Ряр!„+Рз=-О, где коэффициенты Р,, Рз и Рз представляются в виде Р! = ай рая а=! ! = — РыРщ Р!. Рзз Рззры+ Рырм + РюРщ+ Рщры Ргэ Ргз~ )з= Рщ Рз! Рщ' Рщ Рзя Рзз ~ (1О. Рй) Полученные выра!кения Р„Рз и Р. называются плзариантажи темзора мллрллгениа на том основании, что коэффициенты уравнения (10,11) не будут изменяться прн замене одной системы координат через другую с помощью поворота.
Первый из этих инвариантов представляет собой сумму нормальных напряжений, Одна треть от этой суммы называется средним нормальныл напрялсениел в точке. Если мы за оси коорлинат возьмвы направления, совпадающие с направлениями главных осей напра!кении в рассиатриваемой точке, то инварианты напрюкений будут представляться в вщье г ! =- Р ! + Рз + Р! Ря = Р»Рз Рзрз Р»Р! 3 ) !Р2Рз. П0.13) з=з Ря Х Ри)А е=! (1О.
14) Возьмем теперь вторую площадку, проходящую через ту же точку и имеющую нормаль и' с направляющими косинусами 1а (рис, 15), Применяя формулу (10.2) к тому случаю, когда за оси координат выбраны направления главных осей напряжений, получим: й !01 гл*яные н*пеяжения Проектируя вектор напряжения рп на напрзвление нормали и' ко второй площадке, получим: е=ь Рпп' = Хрь(ь(ь. е=т (10. 15) (10.!0) Рте =Рп и. Применяя это равенство к трем вааимно Рпс.
1Е. перпендикулярным площадкам, нормали к которым совпадают с направлениями произвольных осей координат, получим следующие соотношения взаимности или сопряженности касательных напряжений: (10.! 7) Ры =Рвы Рее = Рт Рт =Рщ. Возьмем элементарную площалку, нормаль к которой совпадает с направлением биссектрисы угла между двумя главными направлениями напряжений, т. е. имеет слелующие направляюиьие косинусы: у/2 у ь 2 '-' 2 ч Вектор напряькения нз этой площадке на основании (!О.!4) будет представляться в виде Р,= 2 (РА+Рэ(е). )Р2 (!0.18) Проектируя этот вектор на нормаль т получим нормальное напря- жение 1 2 (Рь+Ря)' (10.! 9) Касательное же напряжение на этой площадке булет равно Р = )с Р, — Р'„„= 2 (Рь — Ре). 1 (10.20) Таким образом, разность двух главных нориальных напряжений равна улвоенному касательному напряжению на той площадке, нормаль к которой является биссектрисой угла между рассматриваемыми главными осями напряжений.
Касательные напряжения на площадках, нормалями к которым служат биссектрисы углов межлу направлениями Если же взять вектор напряжения р„, на второй площадке с нормалью п' и спроектировать его на на- Р правление нормали и к первой площадке, то получим то же выражение (10.15) в правой части. Таким образом, получаем теоРему Коши о езпимности напряжений на двух площадках, наклонЕнных друг к другу пол произвольным углои 58 скогости диеогмлций частицы. компонинты нлпгяжкний [гл.
» славных осей иапряи<еинй, навываются глааныжи касатлельиыжи напряжениями. Таким образом, для главнь>х касательных напряжений будем иметь: з 2Р», =Р. 2Р»'»' = Рз — — Р„ (!0.21) где (1'), (2') и (3') обозначают направления указанных биссектрис. Так как из трлх главных нормальных напряжений одно будет иметь наименьшее значение, а другое — наибольшее значение, то разность этих двух будет представлять лтакгимпльное значение кпсптельиого иат»Рялсеиия в рассматриваемой точке. Иначе говоря, из трех главных касательных напра»кении одно будет представлять максимальное касательное напряжение.
Девиа»порол» напряжений называется тепзор, составленный из теизора напряжений с помощью вычитания из диаго»»альйь»х его членов величины среднего нормального напряжения Р»т 1 ,»зз — — Р, 3 (10.22) Р* ! 1 3 11срвый линейный инвариант давид»ора напряжении 0»лет равен нулю. Э»о обстоятельство будет означать, что девиашр напряжений своим действиеч нЕ может измен»пь объйм, а мо»кет изменить лишь внешнюю форму объема, занимаечого часпщачи.
Второй квадратичный инвариант девиатора напряжений будет представляп,ся в виде 0Р.', = (Рц — р,„)» --(!».„— Рз,>т — !Р», — р, >е+ +0(Р,".,+вз+Р.'-„',). (!02»3) Иаидсч рс»»льтпр>т»»»»сс каы»»ельиое напряжение, т. е. то касательное »»зираженне, которое имеет место на ило»палке, нормаль к ко»арон» составляет равные углы со всеми главнымп осями напряжений. Это резулыирующее касательное напряжение называется так»ке аилшнсавиос»иью иасашельных напряжен»»й. Йаправзяющ»»е косин>сы нормали к рассматриваемой площадке будут равны 1 )Р3 Рз=-= Рс==. Рз Рз У3 т'3 (10.24) 1!з основании (10.1) проекции представляться в виде Р» Р»= —; )г:! ' вектора напряжения на зтай площадке будут 59 ововщвнная гипотеза ньютона Следовательно, модуль вектора напряжения будет равен Р = Г 3 (Р +Р-'+Р»' /1 (10.25) Умнгпкан левые и правые части (10.24) ва нвправляющпе косинусы нормали, 1 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
