Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Длв вязкой же жидкости предположение о наличии потенциала скоростей, как это булет показано ниже, становится совершенно невозможным. Вследствие этого всякая конкретная залача о движении вязкой несжимаемой жидкости почти всегда нелинейна. Благодаря этому новые случаи течения вязкой несжимаемой жидкости нельзя получать с помощью простого наложения уже известных течений. Общего метода построении решений нелинейных дифференциа>н,- ных ураннений (8.1) не существует. По этой првчине при изучении отдельных лвижеиий ввзкай жидкости приходится идти лвумв путями; 1) либо заранее задавать виды траенторий всех отдельных частиц жидкости и устанавливать отвечающие этим траекториям частные решения уравнений (8.1), 2) либо прибегать к приближенным методам, позволяющим в той или иной мере упрощать уравнения (8.1) н приспосабливать их к характеру отдельных типов нонкретных задач.
Поскольку задавать заранее траектории всех частиц в конкретном виде можно лишь в ограниченном числе случаев, постольку первый указанный путь использовании уравнений (8.1) по своим возможноствм весьма ограничен. Что же касается второго пути — пути использования всякого рола упрощений самих уравнений, то возчо>кности его весьма широки. Большинство конкретных задач о движении вязкой жидкости, имеющих тот илн иной практический интерес, решено именно на основании приближенных уравнений движении вязкой жидкости, получаемых из полных уравнений (8.1) с помощью отдельных упрощений.
По этой причине при дальнейшем изложении основное внимание будет уделено приближенным методам интегрировании лифференциальных уравнений движении вязкой жидкости. ГЛАВА !!! ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В 1. О невозможности безвихревого движения вязкой жидкости Если предгюложить, что силы, отнесенные к единице массы жидкости, имеют силовую функцию (1, т, е.
д = я!ад и, н пронести преобразование левых частей дифференциальных уравнений (8.1) славы П, пользуясь выражениями (5.5) главы 1 для проекций вехтора-вихря частицы, то получим дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости я форме Громеки — Ламба 2 (а ю — аги) =- — ~ У вЂ” — '- — — Ъ"з) + ч Ьи, 1 дх! р 2 2иг.— >=- — (и — ---гэ)г.а, ~ д / л 1 дух р 2 2 (а о — ш и) = — — 1() -- — — — (г ) + ч Ью, ! Р Вх(, а 2 ди до да — ~- — + — = О. дх ду дг ди д! + -'-"-+ д! да — -Ф. де (1.1) Посмотрим, что произойдат с уравнениями (1.1), если предположить, что проекции вектора-вихря в некоторой конечной области обращаются я нуль, т.
е. шш — О, а„=О, а,= О. (! .2) При таком предположении движение жидкости я этой области будет потенциальным, т. е. проекции вектора скорости частиц жидкости будут представляться через потенциал скоростей в виде дт де дт (1,3) Подставляя выражения (1.3) а четвертое уравнение (1.1), получим для потенциала скоростей дифференциальное уравнение Лапласа йр= О. (!.4) ТЕОРЕМА 0 РАССЕЯНИИ ЭНЕРГИИ В силу соотношений (1.3) и (!.4) будем иметь; йи = й ( д ) = д (йг) = О, и аналогично для по и йш. Таким образом, слагаемые, обусловленные наличием в жидкости вязкости, нз уравнений (1.!) будут совершенно выпадать, а на основании оставшихся слагаемых получим интеграл Лагранжа — Коши, т, е.
де р 1 '+и —.р -ь' =у(!), дс Р 2 (1.5) 2 2. Теорема о рассеянии энергии В !! 5 главы П было установлено дифференциальное уравнение иаменения внутренней энергии фиксированной частицы с постоянной мессой, имеющее вид (де де де »2! др др ' др + — ~ — (х — )+ — (кд )+»в (е» )1, (2.1) Итак, принимая предположение (1,2) об отсутствии вихрей в какой- либо области, мы получаем соотношения (!.3), (1.4) и (1.5), которые имеют место как раз для движения идеальной несжимаемой жидкости в этой области при отсутствии вихрей, т. е.
распределение скоростей и давлений в той области, где движение вязкой и несжимаемой жидкости предполагается безвихревым, не будет зависеть от коэффициента вязкости. Если бы при этих условиях можно было удовлетворить граничному условию прилипания к твердым стенкам, то вопрос о возможности безвихревого движения вязкой несжимаемой жидкости решался бы положительно. Ио легко убедиться в том, что решения, отвечающие потенциальному движению идеальной жидкости, не удовлетворяют в то же время условию прилнпания частиц к границам, за исключением особых случаев. К таким особым случаям относится, например, чисто циркуляционное течение идеальной жидкости вокруг круглого цилиндра, в котором все линии тока будут окружностями, охватывающими заданный контур круга.
В идеальной жидкости все точки контура неподвижны, и имеет место скольжение частиц жидкости вдоль контура с одной и той же скоростью. Для случая вязкой несжимаемой жидкости надо предположить, что цилинлр вращается. Если исключить нз рассмотрения указанные выше особые случаи, то мы должны придти к тому выводу, что предположение о потенциальности движения вязкой несжимаемой жидкости несовместимо с самим явлением вязкости.
Иначе говоря, еснкое движение вязкой несжимаемой жидкости будет движением еилрееым. (О2 озщив свойства движения вязкой жидкости (гл. ш где а представляет собой внутреннюю энергию единицы массы, а à — температуру. Группа первых трех слагаемых в правой части представляет собой ту часть работы напряжений, которая идат на приращение внутренней энергии единицы массы. Эта часть работы напряжений, приходящаяся на единицу объема и единицу времени, для случая несжимаемой жидкости называется энергией рассеянии, Чтобы оправдать это название, подсчитаем полную работу всех снл, лействующих на массу жидкости в конечном объеме, и выясним, какая часть этой работы идет на изменение кинетической энергии рассматриваемой массы, а какая часть переходит в тепловую энергию, т.
е. рассеивается. Элементарная работа массовых снл, действующих на массу в объеме т, на элементарном перемещении Уйг будет представляться в виде (2,2) Элементарная работа напряжений, распределенных по всей поверхности 5, ограничивающей объем с, будет равна Ая йг —. Ц рл УйБ г(1. (2.3) Так как вектор напряжения на площадке с нормалью п прелставляется в виде рл —.р„(+ря т+рчп, Авй(=- ( ~ ~~ —,(,в, У)+ — '(ря У)-) + — (ре . У)~ йт йг. (2.4) Выражение в квадратной скобке представляет собой полную элементарную работу напряжений, распределенных по поверхности элементарного объема (см.
(4.8) гл. П). Векторное дифференциальное уравнение движения фиксированной частицы представляется в виде йр др дрв др, о —,=рр+ — „+ — + —, (2.8) то после подстановки в (2.3) и применения формулы Гаусса — Остроградского преобразования поверхностного интеграла в объемный получим: тяогзмл о глссзянии эисвгии умножая скалярно левую и правую части (2 б) на )гпГЖ и интегрируя по всему объему т, получим; ~ у(г СЕРЖ=Ж ~ ~ ~ рР Уй+ Так кзк рассматривается фиксированная постоянная масса, т. е. Ц ) р с(т = сопзГ (2)' то анак дифференциала в левой части можно вынести за знаки интегралов.
Заменяя слагаемые в правой части (2.6) через (2.2) и (2А), получии: "(()'( 7 т)= =Азг(Г~Азс(Г г(Г ~ ! ~~ Ря' д +Ря' ~ +Рг' л ) гГт (27) Левая часть полученного равенства (2.7) представляет собой элементарное приращение кинетической энергии конечной массы жидкости в объеме -..
В теоретической механике доказывается, что элементарное приращение кинетической энергии произвольнои изменяемой механнческои системы равно сумме элементарных работ всех внешних и внутренних снл, т. е. г)т= г('Аз+ гГА», (2.8) где Т представляет собой кинетическую энергию механической системы, г('А" — элементарную работу всех внешних сил и д'А' — элементарную работу всех внутренних сил. В рассматриваемом нами случае элементарная работа всех внешних сил по отношению к массе, заключанной в объеме т, будет представляться первыми двумя слагаемыми в правов части (2.7), т. е. г)'Аз = А, гй+ АзЖ.
А тогда элементарная работа всех внутренних сия деформируемой среды булет представляться последним слагаемым в правой части (2Л), т, е. скА'.=- — Ж ) ! ~ (Є— -)-р — -(-Р ° — )г(т. (2,9) др др дуз ! ~("" дх з ду ' дз) !оч озщнз свойства движзния вязной жидкости [гл. и дУ дУ дУ Зх+~ в ду+~ - д»' (2,10) Раскрывая скалярные произведения в левой части (2.10) и подставляя значения напряжений по обобгпйнной гипотезе Ньютона для несжимаемая жидности, получим; Е = р '[ 2 1 д ) + 2 '1 д — ) + 2 '1 д ) + ( д — + д— ) + Выражение в правой части (2.11) всегда положительно, за нскяючением случая, когда все производные от скоростей по координатам обращаются в нуль.
Следовательно, движение вязкой несжимаемой жидкости будет происходить без рассеяния механической энергии лишь в твм случае, когда не будет происходить деформаций частиц, т. е. когда жидкость будет перемещаться как твердое тело. Во всех других случаях движения вязкой несжимаемой жидкости будет происходить потеря механической энергии. Вычитая из правой и левой части (2.! 1) соответственно выражение и вводя компоненты вихря, получим; Е = 4н (мл + ма + м~) — 4н ~ — — — — — + гди дт ди дт в ' [ду д» д» ду дт ди дш ди ди ди ди ди! + — — — — — + — — — — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
