Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Это значит, что если мы возьмйм слой, ограниченный двумя окружностями, то моменты сил вязкости, распределЕнных по этим окруююстям, булут равны по величине, но обратны по знаку (в силу разных направлений нормали), г. е. для моментов сил вязкости будет выполняться уравнение равновесия. Впервые задачу о движении жнлкости между двумя вращающимися круговыми цилиндрами решил Ньютон' ). Прн решении этой задачи он впервые формулирует свою гипотезу о вязкости жилкостн, но уравнение для скорости ии было составлено неправильно. Ньютон исходил нз равновесия самих сил вязкости, а не их моментов.
На зту ошибку указал Стокса), который дал правильное решение задачи. Более подробное решение рассматриваемой задачи с учетом граничных условий частичного торможения частиц зкндкости вдоль поверхностей цилиндров было дано в работе Н. П, Петрова з). ') Ньютон И., Математические начала натуральной философии, перев. А.
Н. Крылова, Собрание сочинений, т. ЧИ стр. 486. э) Я го вез О., Тгапз. Слане. РПП 8ос. 8, 28?, 1845. з) Петров Н. П., Трение з машинах н влияние на нега смазывающей жидкости, сборник «Гнлролннамвческая теория сназкнж изД. 1934. 136 точнов интвгеиеовкние тгьвнвний тстьновившвгося движения (гл. зч Рассмотрим частные случаи. Уменьшая значение радиуса внутреннего цилиндра Ь до нуля, получим из (8.5), (8.6), (8.7) и (8.8): от = маг 1 р = — ри-г-+ Сз, ь,а =. ь. Е = О. (8.9) Полученные формулы (8З) представляют решение задачи о вращении кругового цилиндра, наполненного вязкой жидкостью.
Таким образом, лри установившемся движении вязкая жидкость внутри цилиндра вращается как абсолютно львердое тело. Для поддержания равномерного вращения цилиндра с вязкой жидкостью не требуется момента внешних сил. Чтобы получить решение задачи о вращении круглого цилиндра в безграничной жидкости, необходимо в формулах (9.6), (8.6), (8.7) и (8,8) вначале положить; ьь =О, а затем радиус внешнего цилиндра а увеличивать до бесконечности. В результате мы получим: изЬ о а Ьа ь=с,— "., 24ьизьа (8.10) б = — 4криада 4) Г аз чек Э., Вязкость жидкостей, ГТТИ, 1932, сгр, 47. Первая формула (8.10) показывает, что скорость частиц изменяется с расстоянием от оси так же, как если бы на оси цилиндра располагалась вихревая нить и жидкость была бы идеальной. Следовательно, движение частиц вне цилиндра в этом случае, как уже было указано в 5 1 главы Ш, будет потенциальным.
Лля поддержанля равномерного движении цилиндра в неограниченной зкидкости необходимо приложить момент внешних сил, пропорциональный угловой скорости вращения цилиндра, коэффициенту вязкости и квадрату радиуса цилиндра. Полученное выражение (8.8) для момента сил вязкости используется в приборах с концентрическими цилиндрами '), предназначенных для экспериментального определения вязкости. Измеряя каким- либо способом момент сил вязкости, мы получаем возможность по этой формуле полсчитать значение коэффициента вязкости. 9 9) даижпнив жидкости мкжд! нскгиалйннымн сткиклми 137 9 9. Движение жидкости менгду искрнвлйниыми стенками Рассмотрим теперь случай, а котором частицы жидкости з своам даижении описывают не полные окружности, а лишь некоторые ил части. Один нз примеров такого рода движений вязкой несжимаемой жидкости был рас- Н Ряс.
34. смотрен Н. Н. Жуковским !) а работе, посаящбнной гидро,тинамнчсскон теории трения. Н втой работе рассматривается аращающийся цилиндр, отазченный лишь частично пода!клинком, имеющим вырез Ьс, наполненный маслом (рнс. 34) Предполагалось, что траектории частиц а слое Ьс представляют собой дуги концентрических окружностей. Ь1ы же рассмотрим другой случай такого вида движений жидкости. Предположпм, что течение зязкон я несжимаемой жидкости происходит ' чу / между двумя неподаижиыми стенками, предстанляющими собой а сече., / нии дзе дуги окружностей с радяусами Ь н а и общим центром (рис.
35). Предполагая, что частицы жпдкостн перемещаются строго по дугам концентрических окружяостей, для скорости и булем иметь формулу (7.9). На осноззнии этой формулы лля расхода О через сечение рассматриваемого кризолннейного канала получим слелующее аыражеиие: а С Газ Ьз ч ! а О= ~ о,аз=; — ! — -Оп а-и — — ()пе — 1)1+ — С (аз — Ьз)+С !— ур'1 2 2 ~ 2 — з Ь ь Из условия прнлнпання имеем: (9.
1) С 7 11 Ст С l С вЂ” а~!па — — )+Ст а+ — =О, — Ь!йтЬ вЂ” — 7!+С Ь+ — з =О, (92) откуда зьз С 1 аз1па — Ьа!пЬ С азЬз !и— При подстзноаке значений (9.3) формула (9.!) для расхода примет следующий аид: С Г 4аЗЬЗ Г а хтй () = — — !(ал — Ьт — — (!П вЂ” у! )!, Вр '( з — Ьз!, ьу )' (9.4) т) Ж у конский Н. Е., О гидродинамической теория трения хорошо смазанных тел, Собрание сочинений, т, 1П, !949.
138 точнов интвгтиговлнив твлвнаний устяновившвгося движения [гл. ьч Входящее в зто выражение постоянное С представляет собой согласно (7.6) перепад давления, приходящийся нз один радиан угла Ч. Лля случая пряча. линейного движения вязкой жидкости между двумя неподвижными и параллельными стенками, огстояьцими друг от другана расстоянии д, из(8.8) можно получить следующую формулу для расхода; 1 дрд () = — — — л Ь". (9.5) 12р дх Полученное выражение (9.4) можно рассматривать как обобщение фор.
мулы (95) на случай искривлбниых по лугам окружностей стенок. Правую часть формулы (9.5) можно получить из правой части (9.4), если положить: С= — ль, др дх а=д(1+ Ь), 12и( Ь',) Рг Р'ь =- Зл(У -'- латах Г а ) аз — Ьт —, - — -1)п-- аз — Ьз '1 Ь 12 р(з О Рз Рь= (9.6) Складывая левые и правые части равенств (9.6), получим окончательную формулу для расхола в рассматриваемом нами случае составного канала р,— Рь 1 аз — Ьк — — )о — ~ аз Ьз г а затем провести разложение по степеняи Ь отношения —, сохранив члены не выше Ь' третьей степени. 27 Лзвленьье, определяемое по формуле (7.10), будет зависеть и от переменного г. Рис.
36. Но если предполагать скорость сравни- тельно малой, а радиус внутренней дуги Ь сравнительно большим, то слагаемым, содержащим интеграл от квадрата скорости, мольно булет пренебречь и считать прнближбнно давление неизменным по толщине слоя, Полученное выше решение может быть использовано для рассмотрения течения в канзле, границы которого составлены частично нз прямолинейных стенок, а частично из дуговых стенок, Например, канал, представленный нз рис. 36, состоит из прямолинейного учзстка АВ, дугового участка ВВ и прямолинойного горизонтального учзстка )ЗС, )(авлення у входа А и выхода из канала С считаются известными. Тогда, используя (9А) и (9.5), получим следующие формулы для Рззностей давлений в точках перехода от прямолинейных участков к криволинейным, при одном и том же расходе: 6 101 плоско-паваллальнон гадиальное течкник вязкой жидкости 130 Полученная формуаа для расхола являетса приближенной, так как прн напи- сании (ягй) не учитывалось изменение давления на криволинейном участке по радиусу.
й 10. Плоско-параллельное радиальное течение вязкой жидкости Предположим, что траектории всех частиц вязкой и несжимаемой жидкости при ев установившемся движении представляют собой прямые линии, расходящиеся от оси л, т. е. о — О, о,=0. (104) Прн зтом предполоькегьии дифференциальные уравнения (7.1) в цилин- дрических координатах принимают вид до„ и дг ! др = — — — + р дг ! дог ! данг дто„ог Х + г+ г+'у г г дг 'га дта дха га)' др , 29 до„ дт (10.2) дя — (го,) = О. д гдг На основании последнего уравнения (10.2) мы заключаем, что произведение радиальной скорости ог на радиус г не будет зависеть от г.
Положилп го„= и. (10,3) Будем предподагать движение плоско-параллельным, т. е, дог ~~ — — О. (!0.4) После интегрирования по аь второго уравнения (10,2) получим: р = — а+у(г), (10.3) Так как левая часть (10.6) не зависит от г, а правая часть зависит только от г, то обе части должны быть равны одной и той же Подставляя значения ог из (! О 3) и р из(10 5) в первое уравнение (10 2), получим: на+ 4ьи+ т — = — га — . дал ! аУ дта — р д ' (10.6) 140 точнов интвгриэованив травнзний тстлновившвгося движения (гл.
1ч постоянной величине, т. е. гэ иг — — =А, р иг Отсюда находим выражение для функции 7: Ар 2 э+ 2гэ Таким образом, давление в рассматриваемом радиальном течении будет представляться в зиле (1 0.7) Дифференциальное уравнение для функции и будет иметь вид а"зи э — + 4тц+цз = А, итэ ии Умвожнм обе части этого уравнения на — и проинтегрируем; пои! лучнм; (10,8) 2 и +2 иэ+ 3 цэ 4и+Сг 2 хиту нли — ) = — — иэ — 4иэ+ — и+С = — — Р(и), (10.9) (,)= ии'1э 2 э 2А 2 где Р(и) представляет собой многочлен третьей степени Р(и) = из+ бэиэ — 3Аи + С. (10.10) Извлекая квадратный корень из левой и правой части (10.9) и разлеляя переменные, получим формальное решение уравнения в виде эллиптического интеграла ~р= ~ +Е>.
/ 2 3 =" фl — — с (и) (! 0.11) О=2 ~ оггНу= 2 ~ иду. (!0А3) Решение (10.11) будет содержать три произвольных постоянных А, Си О, для определения которых необходимо задать граничные условия. Рассмотрим теперь конкретный случай радиального течения между плоскими сходящимися неподвижными стенками (рис. 37). Обозначий половину угла раствора через ре. В силу условия Рнс. 37. прилипания: при й = -.Те и —— О. (10.12) )хля расхода О будем иметь следующее выражение: то т $10] плоско-пАРАллальнов Ралилльнов тачянии вязкой жидкости 141 Булем различать два случая радиального течения: расходящееся и сходящееся. Для расходящегося течения радиальная скорость положительна, а величина и убывает от оси к верхней стенке, т. е.
о >О Г<0 0<9<90 а для сходящегося течения, наоборот, о,(0, — )О, 0(ф('Ре. Обозначим корни многочлена (10.10) через е, ея и е, т. е. положим: г'(и) = (и — е,)(и — ея)(и — е„). Сумма этих корней равна коэффициенту при квадрате в (!О.!0) с обратным знаком е,+ея+е„= — б, (10.14) Пусть все эти корни действительны и пусть е, ) ея ) ез. Тогда примерный график этого многочлена будет представляться кривой, подходящей к оси абсцисс и с отрицательной стороны оси ординат н пересекающей ось абсцисс три раза (рис. 38). Так как много- Рнс. 38, член входит в правую часть (10.9) с отрицательным иножителем, а левая часть существенно положительна, то области графика, где многочлен будет положительным, должны исключаться из рассмотрения (этн области покрыты штриховкой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
