Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 35
Текст из файла (страница 35)
П. Петрова зта задача решалась при условии частич- г) Петров Н. Пь Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости, сборник хггглродииамнческая ~сория смаакиж ГТТИ, 1934. й 1! ТЕОРИЯ И, П. ПЕТРОВА ного скольжения жидкости вдоль стенок, т. е. Ори граничном условии (7.4) главы 11: рш —,П, = ' (р; — р).
Вкратце воспроизведьм это решение. Пусть мы имеем два соосных цилиндра, вращающихся с угловыми скоростями ш, и ая (рис. 51). Предполагая, что траектории всех частиц суть концентрические окружности и единственная компонента скорости о не зависит от продольной координзты з, получим следующее дифференциальное уравнение движения; 1гав ! до о (!.!) Общее решение уравнения (1.1) может быть представлено в виде СЕ+СЕ (1.2) Касательное напряжение, вычисленное по формуле до„в р„= й( — т — — т), будет в рассматриваемом случае (!.2) иметь вид 2РС, (1.3) Рис. 51. Обозначим коэффициенты внешнего трения через Л, и Ля.
Тогда условия частичного скольжения на поверхности рассматриваемых цилиндров, согласно которым произведение коэффициента внешнего трения на разность скоростей точек цилиндров н соприкасающихся частиц жидкости равно касательной компоненте напряжения, будут представляться в виде Л1 (ш1Ь (От)ь! (Р т)ь (!.4) Ля [шша — (от)и! (Ргт)а Подставляя значения О нз (1.2) и р„, нз (!.3), получим уравнения для определения постоянных С и С.! 1+'~(ьа — ~— .'ь'-) =-' откуда .Чаз(Ь ! 2!" ) ,Ьз(а — — Р) (1.5) СЛЬ1 (ш — ш1) а— г аа Ь11 аЬ(а — Ьз)+2 ! — "'-+ — ) ЛЛ, Ля) (92 (гл. ш ГИДЭОДИНАМИЧИСКАя тиотня СмАзки Так как на элемент поверхности внутреннего цилиндра действует сила (Р г)ьдет= — 21ь ь (1.6) момент которой относительно оси цилиндра равен (рт )АЬЯгЬЬ = — 2нС. 09 то полный момент сил вязкости, распределенных по всей поверхности внутреннего цилиндра с длиной Н, будет представляться в виде Е = — 4я Н Я1" гез аз с ' аЬ(аз Ьз)+2„~ — '+.— ) ( ) 1.7 ~>., 'Аз) Полагая внешний цилиндр неподвижным, ез — — О, и обозначая а — б=д, после разложения в правой части (1.7) по степеням Д и сохранения слагаемых лишь в первой степени, получим формулу для момента в виде .С,,ЧЬэ д4 Р(н (1.8) Хг Ха где 5 представляет собой величину площади поверхности внутреннего цилиндра.
Под силой трения г двух смазанных цилиндров в работе Н. П. Петрова подразумевается отношение момента 7., к радиусу цилиндра: р э з А Бе~ Ь Ь з+ — +— Лг Хз Формула (1.9) представляет собой окончательную формулу Н. П. Петрова для силы трения при смазке. Предполагая коэффициенты внешнего трения Лт и А достаточно большими, из (!.9) получим формулу для силы трения смазки в предположении полного прилипания частиц жидкости к стенкам (1НО) На основании этой формулы можно заключить, что сила трения обратно ппопоопиональна толщине смзаанного слоя, На основании экспериментов и последующего развития теории было установлено, что основные зависимости, полученные Н. П.
Петровым, соответствуют тому предельному случаю, при котором шип совершает большое число оборотов и несет на себе сравнительно й' 2! пгивлижйнныя гвлвнвния гвйнольдсл для смлэочного слоя 193 малую нагрузку,- В этом предельном случае ось шипа действительно мало отклоняется от Пси подшипника, и этим отклонением можно пренебречь. В обычных же условиях работы подшипников ось шипа ие совпадает с осью подшипника. Эксцентричное расположение шипа в подшипнике приводит к образованию той поддерживающей силы, которая уравновешивает нагрузку на вал, вращающийся в подшипниках.
Теория смазочного слоя при эксцентричном расположении шипа в подшипниках была развита Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. ф 2. Приближйнные уравнения Рейнольдса дли смазочного слоя Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости в тонком слое между приблизительно параллельными поверхностями, радиусы кривизн которых достаточно велики по сравнению со средней толщиной слоя 3 (рис. 32). Пренебрегая кривизной первой поверхности, обозначим: через к криволинейную координату, отсчитываемую вдоль пер- т вой поверхности в йаправлении ско- гй рости У точек этой поверхности, через л криволинейную координату, от- У считываемую также вдоль этой поверхности, но в направлении, перпендикулярном к указанной скорости 1/м и Рис.
32. через у координату, отсчитываемую по нормали к рассматриваемой поверхности. Проекции вектора скорости точек второй поверхности на касательную и на нормаль к этой поверхности обозначим через Уэ и )г. Чтобы средняя толщина слоя оставалась малой во все время движения, необходимо положить поперечную скорость Уэ весьма малой по сравнению со скоростью У,, Обозначим отношение этих двух скоростей через з, т е. (2,!) Пусть !обозначает среднее значение радиусов кривизн раэсматриваемых поверхностей.
На основании указанного выше предположения толщина слоя 3 должна считаться малой по сравнению со средним радиусом кривизн !. Отношение этих величин также обозначим через е: (2,2) Если предполагать движение вязкой несжимаелюй жидкости установившимся и пренебрегать действием массовых сил, то дифференциальные уравнения переноса количества движения (2,13) главы !! гидводйнамнчяская твовия смазки (гл. ш 194 в проекциях на введенные прямолинейные осн координат предста- вятся в виде — (Ри рия)+ Г(Р р )+д — (Р— р ) = О а д д д д д о- (Р— р им)+ — (Р— роз) + — (Р,„— ршо) — О, — (),— р )+ — (Р„,— ро~)+ а ()»„— р ) = О. а д а (2.3) К зтим уравнениям присоединим уравнение несжимаемости — + — + — =О ди до дм дх ду д* и соотношения, выражающие обобщенную гипотезу Ньютона: ди Гдо дит Рах= Р+21" а Рго=1 ~д + д до Гдм аот Ров — — — Р+ 2р 3 — ~ Роз — — р 1 д + дз ), Р+ 1 ах ' Р™ Р(ах + дх)' (2.4) (2.5) (2,7) — — = 1.
Уз Г и, е Полученное равенство оправдывает наше предположение (2.2) о том, что порядок отношения скоростей — совпадает с порядком отноУз и, щения толщины слоя к величине среднего радиуса кривизны рас- сматриваем ых поверхностей. Характерное число Рейнольдса введем следующим образом; гг11 я= — „° (2.8) Вместо размерных коорлпнат и скоростей введем безразмерные с учвтом того, что порядок копрдинаты и скорости в направлении нормали к первей поверхности мал по сравнению с порядком координат н' скоростей в других направлениях; х=гхы у=суп я=)ям и = У,иг о = Узоы ш =У шо ) (2.6) Подставляя зги выражения координат и скоростей в уравнение (2.4) несжимаемости, получим: ди, Уз Г до, дюг — + — — — +- — =О.
дх, и, Е ду, ал, = Если предполагать, что все слагаемые в полученном уравнении несжимаемости будут иметь один и тот же порядок величины, то необходимо положитьч пвивлижвнныв ввлвнвния ввинольдсь лля смазочного слоя 196 (2.9) Соотношения (2.5), выражающие обобщенную гипотезу Ньютона, в беаразмерных величинах будут представляться в виде (2,10) Подставляя в уравнения движения (2.3) значения координат и ско- ростей (2,6) н напряжений (2.10), получим: д г б-~ — р +йее — — Йееие)+9 — ~ — +еа — — Клея о )+ де~ е ет д удиг дщ д ~ (д + Л т т)~+д ( р"+ д "е)+ ~1 (2.1 1) При рассмотрении движения вязкой несжимаемой жидкости между параллельными стенками в $3 главы 1Ч было установлено, что соеднгя скооость частиц жидкости прямо поопооцнональна перепаду давления и квадоату расстояния между стенками н ооратно пропорциональна коэффьнееегу вязкости.
Следовательно, величина самого лаваення будет находиться в обратной зависимости от квадрата толщины слоя жидкости между стенками. Чтобы зто учесть, заменим размерное давление р через безраамерное р, следующим образом: гидРОДЕИАмическАя теОРия смАзки !гл, ч! 196 1 й — — ° е (2.12) При этом предположении сохраним в соотношениях (2.10) и в уравнениях (2.11) лишь слагаемые, имеющие наибольший порядок величины. Тогда соотношения, выражающие гипотеау Ньютона, предста. вятся в виде ~~а 'е ри,' Рии = РЫ е Р()з, рт,= — —,ры (2.13) а ди, р,„=рП, д', з Гдиг дге,! г 'чдщ+ дкг!' е дмг Рви= Р()г3 —, У На основании полученных равенств (2.13) заключаем, что в тонком смазочном слое наибольшим по своему порядку нипряжением будет напряжение давления.
Из касательных напряжений наибольшими по своему порядку будут те компоненты напряжений, которые развиваются на площадках, перпендикулярных к оси у, т. е, на площадках, приблизительно параллельных ограничивающим поверхностям. Дифференциальные уравнения (2.!1) при использовании (2.12) и сохранении слагаемых, не содержащих в качестве множителя параметр -, принимают следующий вид: (2.14) На основания второго уравнения (2.14) мы заключаем, что е тонком смазочном слое давление не изменяется по толщине слоя. Возвращаясь в соотношениях (2.!3) и уравнениях (2.14) к размерным величинам и присоединяя к ннм уравнение несжимаемости, Полученные дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в тонком слое содержат два безраамерных параметра в и гч.
Параметр е, представляющий собой отношение толщины слоя к среднему радиусу кривизны поверхностей, считается заведомо малой величиной, а 1ч мовкет и не быть малой. Теперь примем, что число Рейнольдса по своему порядку обратно пропорционально значению параметра г в первой степени, т. е. 3) диежвтвнцилльнои ттхвнвнив для давления в слоя 197 получим: Р = — Р дж /ди дсе( (2.16) ' Е' 1 ду ' Рев 1 (,де+ дх,)' ) Р =Ряв= да Рие 1 ду' др дхи д-.= Г1 =О, др У др дэи ое Р 63' да до дсе — + — + — = О. дх ду де (2.16) Дифференциальные уравнения (2.11) при подстановке (2.12) будут содержать только один малый параметр е.
Решения втой системы дифференциальных уравнений можно представить в виде рядов по степеням этого параметра. Тогла этв система уравнений вместе с уравнением несжнмаемостн разобьвтся иа последовательность отпепьных систем уравнений. Первой системой этой последовательности будут уравнения Рейнольдсэ (2.14), второй же системой будут те уравнения, которые были использованы Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
