Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 36
Текст из файла (страница 36)
С. Лейбензоном с) лли вычисления первой попрэвкн на учат квадратичных членов инерции. ф 3. Дифференциальное уравнение для давления в слое Дифференциальные уравнения (2.16) разрешаются весьма просто относительно скоростей. Так как давление не зависит от у, то в перлом и третьем уравнениях можно провести интегрирование по переменному у.
Интегрирование по переменному у можно провести н в уравнении несжимаемости. В результате этих интегрирований ') Л ей бе н во н Л. С., Второе приближение з теории О. Рейнольдса, сборник «Гидродннамическзя теория смвзкнь, ГТТИ, 1934, стр. 557; Слб з к ни Н. А., К воврасу об уточнении решейнй уравнений Рейнольхса, ДАН СССР, т. (.(Ч, )а 2, 1946. Полученные дифференциальные уравнения (2.16) носят название дифференциальных уравнений Рейнольдса для смазочного слоя.
Сопо. ставляя зти уравнения с полными дифференциальными уравнениями устанознвшегосн движения несжимаемой вязкой жидкости, мы видим, что для перехода от полных уравнениИ к уравнениям (2.!6) должны быть отброшены не только все квадратичные члены инерции, но и часть слагаемых, обусловленных вязкостью. Таким образом, диффе'ренциальные УРавнения Рейнольдса совершенно не учнтываз1 квадратичных членов инерции и лишь частично учитывают слагаемые от вязкости. (гл. чъ гидгодинлмичвскья твогия смазки ны получим следующие равенства для скоростей: и = — д — уз+ С,у+ Са, 1 др = )- —,у'+С у+Си 1 др о = — ~ ( — +-~-) Ыу+ Сь.
д (ЗП) Входящие в этн равенства С,, Сз, Сз, С и С в общем случае могут считаться функциями переменных х и х. Установим граничные условия для скоростей. По нашему предположению точки первой поверхности имеют скорость У, только в направлении оси х, т. е. граничные условия на первой поверхности будут представляться в виде и=.У,, о=О, ш.=б. (3.2) при у=О Точки второй поверхности имеют скорости У по касательной н Уя по нормали.
Проектируя этн скорости на оси х и у и обозначая переменную толщину слоя через й, получим: прн у=и(х, л) и Узсоя(т, х) — Узз(п(т, х), о=У,зш(т, х)+Уясня(с, х), ш=О. Тангенс угла наклона касательной т ко второй поверхности к оси х будет представляться в виде ди 18(т. х) — дх. В силу предположения о сравнительно малом искривлении второй поверхности можно положить: да 51п (т, х) 1и(т, х)= —, соя (с, х) 1.. При таком предположении граничные условия на второй поверхности будут представляться.
в виде дз дл при у=и(х, з) и=Уз — У л-, о=Уях--+Ую ш=б. В предшествующем параграфе указывалось, что величяна скорости Уа ди должна быть малой величиной. Следовательно, произведение Уят- будет малой величиной второго порядка н им можно пренебречь. 31 диееаганпнальнов ггавивннв для ллвлзния в слов 199 при у = Ь (х, х) и = иа, о = $'я+ и~ 3-, те = О. (3,3) дл Используя граничные условна (3.2) и (З.З), получим: Са —— иы С =О, Са — О, С,= — —, хЬ+ — (и,— и), С,= — — —,Ь;1 1 ар 1 1 ар, (3,4) ь ияй+ г'з= — ~ Й+ а ) йу. (З,б) о Подставляя в (3.1) значения С„, См Сз, С~ н Сз нз (3.4), получим следующие выражения для скоростей: + — (и,— и) — — — (уь — у), У ! др Ь 2н дх — — (УЬ вЂ” у ) 1 др 2н дх и = и„ (З.б) Обратимся теперь к еше неиспользованному соотношению (3.5).
Вынесем за знак интеграла в правой части произволные по х н х, но при этом учтйм, что верхний предел является переменным. Учигывая условия (3,3), будем иметь; дн д Г дЬ д Г дл ох дх Ну = — и с(у — — (и)„= — ~ ис1У вЂ” и —, дх дх .! адх ' ды д Г да д Г 3 — пу= — ~ тп "У вЂ” у-(ш)ь= — 1 тл'(У о е Таким образом, соотношение (3.5) будет представляться в виде д Г д Г К =...— — ~ иду — — ) иду. дх Л ах д е о (л.у) Таким образом, граничные условие на второй поверхности будут Вйончательно представляться в виде 200 (гл.
ю гидгодинлиичвская таогия смазки На основании равенств (З.б) булеи ииетэп 1 лэ др и пу=--,ул(ц+ ит) — —, о шву=в да лр 121х Зл ' 1 (з,а) Подставляя зти выражения в правую часть (3.7), получим следующее лифференциальное уравнение для давления: — '„(йф)+,~ (йа — ',~) = бр ~2К,+ —,'„" ((Г,+ и,)~. (3.9) В это диюференциальное уравнение (3.9) входит величина д, которая представляет собой толщину слоя и является заданной функцией от переменных к и з, Таким образом, в дифференциальном уравнении лля давления коэффициенты будут, как правило, не постоянными, а переменными. Для определенности решения этого уравнения необходимо задать граничные условия для давления по той, вообще говоря, замкнутой кривой, которая ограничивает рассматриваемый смазочный слой в плане нз плоскости хОл. Простейшим граничным условием будет условие, при котором давление считается на втой кривой известным и постоянным, т.
е. )(х, у)=0, р=,зе — — сопя1. (3.10) ф 4. Сдавливанне слоя параллельными плоскостями Простейшим примером, в котором может быть использовзно дифференциальное уравнение (3.9) Рейнольдса для давления, служит эалача о сдавливании слоя параллельными плоскостями. Пусть мы имеем две параллельные пластинки, имеющие в плане одну и ту же, но произвольную форму(рис. 53). )(опустим, что между пластинками находится кзкое-то вязкое вещество. Нианяя пластинка пусть будет неподвижной, а верхняя пусть перемещается Рис. 53 поступательно в направлении к ниж- ней; тогда находящееся между пластинками вязкое вещество буает выдавливаться в стороны.
х)ля применения к рассматриваемой аадаче дифференциального уравнения (3.9) необходимо: 1) считать толщину л не зависящей от координат х, л, 2) положить У, и Уэ равными нулю и 3) изменить $4! од*вливание слоя плвлллвльными плоскостяии хй) знак скорости Ъ; иа обратный. В результате этих предположений получим для давления следующее дифференциальное уравнение Пуассона: дйр дзр 12НУ, длз + лая — лз На контуре Т, ограничивающем рассматриваемые пластинки в плоскости хОл, давление необхолнмо считать постоянным, т. е.
(4.2) на т р=рз. Сопоставляя постановку рассматриваемой задачи о славливании тонкого слоя вязкого вещества с постановкой задачи о прямолинейно- параллельном течении вязкой несжимаемой жидкости, изложенной в й 1 главы 1Ч, мы видим их полное формальное схолстзо. Следовательно, к для решения задачи о сдавливании слоя вязкого вещества в порялке аналогии можно привлекать те методы, которые используются для решения аадачи о вращении идеальной жидкости и кручении' призматического бруса. В качестве примера рассмотрим пластинки эллиптической формы.
Уравнение ограничивающего контура т будет, слелозательно, представляться в виде ля ла — + —,=. 1. а' ся (4.2) Булем искать решение уравнения Пуасс~~ч '4.1) в виде р=д~ — ", + — ', — 1)+В, где А, -  — произвольные постоянные. Подставляя это выражение дль давления в уравнение (4,1), получим: Таким образом, решение рассматриваемой залачи о сдавливании слоя вязкого вещества эллиптическими пластинками булет прелставляться в внле б, У, леся Гля ле р=р — — ' — ( — + — — 1). Лз лз+ ~ ~лз ся (4.4) Полагая в этои решении ля+ля = гз, с=а, Используя граничное условие (4.2) н уравнение (4.3) контура, получим: В =- ро гидзодин*мичкскля ткотия смлакп (гл.
ч! получим решение задачи о славливзнии слоя вязкого вещества круговыми пластинками р — ро= —,, (а — гз). ЗнУ, лз (4.3) 'г(а основании (4.5) заключаем, что давление в слое под круговой пластинкой булет распрелеляться по параболическому закону. Умножая левую и правую части (4,5) на плошаль элементарного кольца 2ягг(г и проводя интегрирование по всей площади круга, получим следующую формулу лля результирующего сопротивления сжатию кптговой пластинкой слоя вязкого вещества: 3 аз 2 ! заз (4.6) Таким образом, сопротивление слоя вязкого вещества пропорционально коэффициенту вязкости, скорости сжатия в первой степени, радиусу пластинки в четвбртой степени н обратно пропорционально кубу толщины слоя.
Допустим, что перемещение еерхыеы горизонтальной пластинки происходит под действием веса неготорого груза ы веса самой пластинки. Обо. знзчая общий вес через (;! и полагая ад Уз ш ' будем иметь следующее диффереыциальиое урааыеыне прямолинейного двп. жеыия нагруженной пластинки: () ЛУз 3 аз г(л — — ()+-2 ч — —. ас 2 Дз Ж ' (4. 7) Интегрируя уравнение (4.7) один рзз, получим; 3 аз — УЗ=О! — — ен — +СЬ 4 аз С, определим из начального условия: при Г=О Уз=О, 3=аз. Тогда для скорости перемещения нагруженной пластиныи получим выра- жение Ззнй Г! !Х Уз = а! аз ~,")' Зеп г ! ! Г = — аз ( 4(2 ( Лз Л,'Р Если предполагать скорость перемещения нагруженной пластыыып малой, то пз последнего уравнения (4.3) получим следую.ыую формулу зависимости времени сжатия слоя от ыеремеыной его толщины: й б1 слой смАзки между нлклониыми плАстинкАми 203 б 5.
Слой смазки меищу наклоннымн пластинками Пусть плоскость хОЛ перемещается в направлении оси х со скоростью и. На некотором расстоянии от этой плоскости поместим пластинку ограниченной длины, наклонанную под углом а ~У к. плоскости (рис. 54). Предполагаем, что область межлу плоскостью и пластинкой во ф все время движения плоскости х ааполнена змааочным, маслом. Ось у проведам через левый край пластинки, Обозначая Рнс. 54.
толщину слоя у левого края пластинки через й,, у правого †чер й., а расстояние по оси х между этими краями через и, булем иметь лля толщины слоя й следующее уравнение: й = йт — Х 15 и = йд — - -А — х = й, — щх. й — йл а (5.1) Будем считать, что в направлении оси х пластинка простирается в обе стороны до бесконечности, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
