Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 38
Текст из файла (страница 38)
При зтнх предположениях задача сводится к решению бигармонического уравнения для функции тока 2!О [гл. ч! ГИДРОДИИАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ На основании (6.6) и (6.7) будем иметь: о = г 5Й 5!5, ь= "' (565! — зйт,), а зй т)! =.= (!+ в) 51! 5)е, (6.8) Используя обозначение:, по!учим: 5" (тю+ 5) =('+. й) зн ' зн ми 56 (5) — а) = — ', о 1 -- л — 5155 сро т .=. — '— '5 5П5 (6.9) (1 + л) с!5 5 — 1 срп т, =- — ' ч (1+Л)АН5 зп5 Аь т, — 5ЬЧА ) (Ге!О) Полагая 05 (д!) +(д5) ' получим из (6.3): !т =- — (сн т, — соз.").
5 (6.1 1) Тогда компоненты вектора скорости, параллельные касательным к коорлинатным линиям .. "и т„через функцию тока будут представляться в зиле д' дф ч д";' ' дт,' Граничные условна прилипанзя и задания значений функций тока на границах будут иметь вид дь при г = то е =- О, )т' — ' = О, дч дф ПРИ 5; = 51, Е = — 5,1, Π— ' = — (), де! (6.! 2) где 5;) — секундный расход, 5 У вЂ” скорость точек окружности шипа при его вращении по часозеа стрелке. На основании предпослелнего равенства (6.9) можно установить, что параметр 5 изменяется от О ао 1п(1-+Л). Обознзчая через е эксцентриситет шипа и подшипника и через з отношение — ', получим нз (6.6), (6.7), (6.8) и (6.9): Ь' Ь! теотия н.
к. жаковского и с. л. чаплыгина 211 Так как оператор Лапласа от функции тона ф записывается в зиле ,(дзф+дзф) (сЬ Ч вЂ” соз()з(дзф+Фф) то бигармоническое уравнение (6.!) свалится к уравнению ( да ! дз) ~(сп ч — соз Е)з(дзф ! дафЯ == О. (6.121 х зЬЧ а спт — соз,'' 2) .г, ха-1-уе 1 сЬ Л '1) — — — -г- — -— фаз ' 2 сЬ Ч вЂ” сов 1' ' уа 2аз 2 сЬ Ч вЂ” гоз: ' 5) хл — Чзв'Ч а сЬч — соз(' а свч — созе ха+уа 1 +2хсоз,'зЬЧ сЬ2Ч созе 2аа 2 а сЬ т~ — соз(' (6.1() Сумму частных решений, умноженных на произвольные постоянные, можно преаставить в ниле 1 ф=()(т,- Ь)+ — —,УС сЬ т — соз с Х (А й(г,— ти]-)-В(~ — ге) й т)+С сов ((й(ч — 2ч)) — йа!) (16 6) илн М сЬ Ч вЂ” соз + (6,16) М = А зЬ (т< — йе)+В(т~ — »е) зЬ т+ СсЬ т~[аЬ(т — 2т) — зЬ а), ьд — Е) (т, — т(0) — - С (56 (т — «) — 5Ь а), (6.17) т = т, +»н.
Введенные функции А1 и И обращаются в нуль при т~ = т)а, поэтоиу для удовлетворения граничных условий (6.12) достаточно потребо- Проверкой можно убедиться, чго частными решенними уравнения (6.131 будут слелуюшие функции: [гл. ч! 212 гидеодинлмическля теовия смазки зать выполнения следующих равенств: (дл ) =О, (д() == О, ( дч ) (д ) =О, (М)и = — Ф (д ) =-О. (6.18) () + 2С с )г ь = — О, ! Па+ 2Ся)! з+(~ = О А+ Вяп т!е — 2Сси тщеси з = О, Д яи ".
-- Вз я1! т — 2С с!! тп я)! -. = О, А сне+В(я)! то+а с)г т)).. 2Ссб(тп ( — с) .== — иУ. (6.19) 1>ешая зги уравнения и используя обозначения (6.7), мы получим значения для постоянных В, С и расхода () ЕГП (1 + Я) ~1~ ч — 2 (1+ /г) зь т + (! + й)я.- ' В , !! + а) [: (! + «) — вь .[ зя ч [ч — 2 (! + й) ян г + ( ! + Я)х ч) ' !' ) ~П(ч~"-Ю~:)[ч(!л а) — ~~ч!(!+ ) [- — 2 (! + Л) яй а + ( ! + Л)з в [ яп . Так как давление и операчор Лапласа от функпии тона будут связаны соотношениями Коши — Римана ! др д (ЬР) д( дч ! др д (ЬР) ь дч дЕ то, используя (6.15), получим: изйф =- 2В сне г!е — 2С(я)! е+я1! 2т!е об с) — 2В соя ( он т, + + 4 С соя Е я!! (ч — т] — 2С соя 2Е я!! (ч — 2 г), ~ (6 2 1) а' Р = — 2Всбп ЕЯК.Π— 4СЯ)п Есй(т — т))+2СЯ)п 2Есн(т — 2т)). ~ н Умножая первое равенство (6.21) на ! и складывая со вторым, получим: ия ( — + ! Ь~) = 2В! сбя т)е — 2С((яд з+ я)г 2т, с(г а) -— — 2В! соя (Е+ !ч)) — 4С я)п (с+ !т) — (ч) + 2С я(п (2Е+ 2(т! — (т).
(6.22) Подставляя в (6.18) значения М и !ч' из (6.17), получим следующие уравнения: 3 6) теоеия н. Г. жукОВскОГО и с. А. '!АплыГКНА 213 Правую часть полученного равенства (6.22) выразим через комплексное переменное л основной плоскости, т. е. воспользуемся формулой преобразования (6.2). На основании этой формулы будем иметь: ":+!» г с!и — ' 2 „а+!ч с!37 — — ! С05 ((+!7)) =- 2 ьа+ аа , с+ !»! Уе — аа ' с!35 — + 1 2 2 с!й — ' + 1Ч 2 2!ла 5!П ((+ !7<) = А+ !и Аа — аа с!65 + 1 Используя эти равенства и провали преобразования в правой части (6,22), получил!: Р+1)АДФ = 4РГФ'(л) = —., ! 2В! СН57)е — 262(55 т+ 5)727; сй а)— — 2Вà — -(-16С!азов Г,, + 2С! 56 т !(1 — 4аэ га+ аз лэ аг (лз аэ)А ' ' ( (лз аАР (6.23) На основании формулы (5.!3) главы А»' результирующий вектор воздействия вязкой несисимаемой жидкости на круглый цилинлр представляется через вычеты функции Ф'(л), Внутри контура окружности шипа содержится лишь олин полюс правой части (6.23) второго порядка в точке л= а.
Вычисляя этот вычет с помощью умножения левой и правой частей на (л — и)э, оанократиого дифференцировании правой части и устремления г к а, получим лля вектора результирующего воздействия следующее выражение: »(а+11»у= — 43 ) Ф'(л)Г(г= ~ ( — 2В!и)2к!.==- ~ 1. ! Таким образом, результирующее давление на шип будет направлено по оси у, т.
е. перпендикулярно к линии наименьшего зазора, н будет представляться после замены В и а следующей формулой: й— 4ин() ТГ(1+ л)а+ 1 — 2(1+ л) с!7 а а ((1 + Л)5 + 1) — 2 (1 + Л) АИ а После провеления соответствепныл вычислений мо!Кно получить формулу для момента действия смазочного слоя относительно оси шипа а(1+ А)эсщ 7 — 2(1+ Л) сит+1 а ((1+ а)а+ 1) — 2 (1+ л) Ан 7 214 гидРолинАмическАя теоРия смАзки [гл ° ш Равенства (6.24) и (6,25) позволяют определить результирующую силу и результирующий момент действия смазочного слон на шип, если, помимо коэффициента вязкости, окружной скорости и радиусов шипа и подшипника, будет задано значение параметра а или значение эксцентриситета е, определяемого через а по первой формуле (6,10). В реальных условиях, конечно, будет задаваться на эксцентриситет шипа и подшипника, а величина нагрузки на вал, вращающийся в подшипниках.
Поэтому значение параметра а должно определяться по формуле (6.24) при заданном значении левой части. Обозначая максимальное предельное значение параметра а через аа, т. е. а =1п(1+я), и считая величину и — отношение средней величины зазора к радиусу шипа — весьма малой, можно после ряда преобразований получить следующие приближенные формулы для результирующей силы н результирующего момента:, га а =-12пи -'-— Ьа (2 + «а) У"! — аа ' 1+ 2«а ). =- — 4а!ьУ вЂ” ' 3 (2+ад) 1 "1 — «а ' (6.26) где а — параметр Зоммерфельда, определяемый в общем случае по формуле (6.10), а при малых значениях Л вЂ” по формуле а= — —.
(6.27) ей 11, ' Случай Н, П. Петрова, рассмотренный в й 1, иы получим, если положим параметр а равным нулю, тогда Р=-О, (6.28) 6=- — 2вйи.ф. ~ Правая часть формулы (6.28) совпадает с правой частью формулы (1.8), если полагать в последней коэффициенты внешнего трения бесконечно бояьшими. $ У. Качение цилиндра по плоскости, покрытой слоем вязкого вещества Допустим, что круглый цилиндр длины 1, радиуса )с и веса д совершает чистое качение по горизонтальной плоскости, покрытой слоем вязкого вещества с коэффициентом вязкости !А (рис. 58). Выясним зависимость необходимой силы тяги (;! от указанных параметров цилиндра, а также от толщины слоя гт', коэффициента вязкости р и угловой скорости е, 5 7! качания цилиндгл по плоскости, поктытой вязким вкщвством 215 Применим к той части слоя АВСь), которая в рассматриваемый момент т будет нахолиться непосредственно пол цилиндром, приближенные уравнения (2.16) Рейнольдса др дэи р )х дуэ ' — =О, ду = ° ди дв — + — = О.
дх ду (?.1) Толщину слоя в начале Рис. 58. координат, расположенном на одной вертикали с мгновенным центром качения К, обозначим через йш а толщийу на расстоянии х от начала — через Ь. Эта толщина слоя как функция х будет представляться в виде Ь =- до+)~ — Уй' — х-'. (7.2) Обозначим абсциссы крайних точек слоя А и В через — а и Ь. Тогда обычные граничные условна прилипания и постоянства давления на краях слоя представятся в виде о =- О, при у=- О при у=д при х= — а при х=-Ь и=о, и = и(Ь вЂ” Ьэ) р=О, р=-О, (7.3) Решая первое уравнение (7.1) и используя граничные условия(7.3) для и, получим: в = — — (у — Ьу)+ му~! — — -1. 1 др до 1 2н дх л)' (7.4) Подставляя значение и из (7.4) в уравнение неразрывности (7.1) и учитывая граничные условия (7.3) для и, найдем: (х Ьэл + С) др бы дх Лэ (7.5) Выражение в скобках в правой части (7.5) может обратиться в нуль при двух значениях х.
Следовательно, в рассматриваемом нами слое давление может иметь два экстремальных значения, из которых одно будет минимальным, а второе — максимальным. А так как на краях слоя давление равно нулю, то наличие минимума давления в слое будет означать наличие отрицательных давлений внутри слоя. Избежать отрицательных давлений внутри слоя можно, если ввестн дополнительное граничное условие, позволяющее точку минимума (жь ю го гилеолинлмичасклн теония смазки ловле гворяя условию (7.6) и проводя интегрирование (7.5), получим челующее выражение лля лавлення: лз ! ат — хз р=. 6)ьа ~ [! -- —,—. - . ~ — „дх.
(7.7' )'Рз — аз+ 1'гтз — хз — и роекции вектора результирующего лзвления слоя нз цилиндр и 5сцисса точки его приложения х, будут определяться формулаии ь рх дх уня — ц'! ! ~ рг(х, Рх == (7.8' асательная составляющая вектора напряжении на площадке, направяющие косинусы нормали которой — ! и ги, букет прелставляться виде Рги = Р,Р~ - — Рнн( =' (Р ~ — Рнн) !"ь+ Ран(жз — !л).
рассиатриваемом нами случае имеем: У'Рз=-хз . й' й (ги —, ю — Р:х 1 — — —,; х, 2хз Р' ди ди ди р — р и — — 21ь — — 2)ь — = 4р —, Н дх ду дх' леловательно, сила вязкости на поверхности цилинлра будет прел- гавляться в виде (ри)ь--)ь'(4 — -д — — (1 — =)(~~ + д )) . (7,9) ак как ( ди 1 дзр (уз Луз) 1 др ав, ивзуз дх д 2Н дхз(,3 2 ) 4Н дх дху+ 2вз ах' е авлений отнести на левый край слоя. Это лополнительное граничое условие булет иметь вил: при х= — а — =О. др дх (7 ли й 71 качение цнлиндгх по плоскости, покгытой вязким вглцастзом 217 то, подставляя это выражение и значение и из (?.4) в (7,9) и преаз а" небрегая выражениями, содержащими множители —,. --; и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
