Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 41
Текст из файла (страница 41)
матод озввкл (гл. ян 1) 2. Построение решений обобщйнных уравнений Стокса Для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости без учета действия массовых сил обобщенные уравнения Стокса (1.6) представятся в виде (2,1) Лифферен пируя первое уравнение (2.1) по х, второе — по у, третье — по г, складывая результаты и учитывая уравнение несжкмаемости, получим для давления дифференциальное уравнение Лапласа бр=о. (2.2) Предположим, что вектор скорости У можно представить в виде сунны потенциального вектора и дополнительного вектора У = пгаб у+ Уя, (2.3) иринам потенциал скоростей у удовлетворяет уравнению Лапласа ду=о.
(2.4) Подставляя значение и из (2.3) в первое уравнение (2.1), получим: —,'„(и —,"+ ~)+ и',~ =.д,, Так как потенциал скоростей представляет собой пока произвольную гармоническую функцию, а давление р также является гармонической функцией, то мы можем связать зтн две функции, по. пожив дт р= — рид . (2.6) При этом предположении и при учете равенств (2.3) н (2 4) дифференциальные уравнения (2.!) представятся в виде и— ди дх д и~~ ди дх 1 др р дх = — — — +тпи, 1 др р ду = — — — -1- я оо, 1 др р дг ди дм + — + — = О.
ду дг атею и— диг дх и— диз дх и— дог дх диз дх + — + — =о. дог дмз ду дг (2.6) ф 2) постгоанив гашений ововщяниых гвавнзний стокса 229 Введем обозначение 1 У 2Л" (2.7) Попытаемся удовлетворить дифференциальным уравнениям (2.6), по- лагая 1 д д« 2Я ду' 1 д« 2а дз' (2.8) Подставляя выражения (2.8) в трн последних уравнения (2.6), получим: д / ! д«! 1 — ! из — — = 1+ — ЬХ = О. дх! Я 2Л дх) 2а (2.9) Пусть функция у удовлетворяет дифференциальному уравнению о«=0 д«! дх 2Л (2.10) При таком предположении первые дза уравнения (2.9) будут удовлетворяться тождественно, а иа последнего получим: — (и — -2я — «+ Х) = О.
Этому уравнению мы удовлетворим тождественно, если положим: из —— — «+в 1 д« 2Л дх' (2.1 1) ! д« дт — у+ — — -)— 2» дк дх' ! д«дт 2Л ду г ду 1 д« дт — — +— 2Я дз дг ' дт — рУ вЂ”, дх ' (2,12) При таком представлении скорости иа первое уравнение (2,6) будет также тождественно удовлетворяться в силу уравнения (2.10). Таким образом, для некоторых случаев установившегося дание. иия вязкой несжимаемой жидкости без учета массовых сил решения обобщенных лифференциальных уравнений Стокса можно представить в анде 230 движвнив пги малых числлх гвйнольдсл.
метод озввнл (гл, чн йг , лч .,', Ьч.('=о, — — + — =О. 1 дт дт 2Л дз дз (2.!4) В силу условий (2.14) компоненты вихри (2,!3) на поверхности 5 будут равны (г Дв !) лч дд ' 2а (2,16) Б й 4 главы !11 было показано,, чго главный вектор аш воздействия вязкой янсжимаемой жидкости на неподвижное тело при плоско- параллельном и осесимметричном ее движениях представляется в виде Р = ( ) ( — р! + 2ра.гз) л5, (2.16) тле (, — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5, (в в единичный вектор касательной к поверхносги 5 в плоскости движения частиц жидкости и и.
— компонента вихря, перпендикулнрная к плоскости дви>кещш, где функция ф удовлегворяет дифференциальному уравнению Лапласа (2.4), а функция у удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.10). Компоненты вихря на основании (2.!2) будут иметь вид э 2(дл дл) 2 да' ' 1!а основании раненств (2.13) мы приходим к тому заключению, что решения в форме (2.12) могут иметь место лишь тогда, когда все вихревые линии располагаются в плоскостях, перпендикулярных к скорости нотокз на бесконечности, Для плоско-параллельного н осесимметрнчного дви'кения жидкости как раз такое положение вихрей и имеет несэо, Следовательно, для этих видов движения вязкой несжимаемой жидкости можно строить решения обобщенных уравнений Стокса (2.1) в форме (2,12). Условия прилнпания частиц жидкости к поверхности 5, ограниченной контуром у неподвшкного тела, запишутся следующим образом.
З 2) посттовнив гашений оаовщйнных теьвнений стокса 231 движения вязкой жилкости булем 1(ля тлоско-параллельного иь ть из (2.15): дт дг — 0; на 7: УР дт ки = из = 2Р ду' (2.17) у =- г соз ж л = г з1п т; 1 ду дх — = соз т, — = з!и з, дг ' дг (2.20) то из (2.19) и (2.15) получим: (и) = — — ~ — — + — — )= — — —, У /дт дх дт ду1 У дт «Л 2з1дл дг дудг) 2лдг' (2.2!) Таким образом, главный вектор сил воздействия (2,16) на непо.
лвижное тело при осесимиетричном движении вязкой несжимаемой живности равен )2=рай ~ ~ ф(,— ф(.,)д5. (2.22) Так как на основании рис. 62 ду дх и„= "исоа в+ю яп е = од — +твд —, дг дг' то, подставляя сюлз значения о н ю из (2.!2), получим: и = — =+ —, 1 дк дт 2л дг дг' Таким образом, лля осесимметричного движения вязкой несжимаемой жилкости компоненты скоростей булут: 1 дХ где .+2л дх+дх' 1 дк дт г+ г' 2а дг дг' (2.23) позтому, используя выражение (2.5) лля давления, получим из (2.16) и (2.17) следующую фориулу для глав. ного вектора сил воздействия на плоскмй неподвижный контур И=р(7 ~ (д — '(,— ~ Ез)пж (2.13) т г ьа- Р ° .*,. Б,-".: из — и„= — м„мп а+ и, соа а, (2,19) Рпс.
62. гле в — полярный угол в плоскости уОл (рис. 62). Так как кдм лвижвнив пги мллык числах еайнольлсв, мвтод озвзнл [гл. чп Обратиися теперь Полагая к дифференциальному уравнению (2.10) у = е" У(х, у, з) (2.24) будем иметь: ду l дкт — = ~де+ — )еь', иу =е и ау+ 2дееиит-+йэеьг)'. дУ дх 1 дхе Следовательно, несимметричное относительно переменных х, у, е дифференциальное уравнение (2.!0) при подстановке (2.24) приводится к симметричному уравнению Гельмгольца ДУ вЂ” дву= О, (2.25) $3. Проникание пластинки в вязкую среду (3.2) (3.3) Рассмотрим вначале простейший пример использования обобщенных уравнений Стокса, Пусть вязкая несжимаемая среда заполннет полупространство вниз от неподвижной оси О,у„(рис.
63). В эту среду с момента х Е = 0 начинает врезаться тонкая "1 пластинка с постоянной скоростью У. Введем связанные с пластинкой подвижные оси координат, начало которых нахолнтся у края пластинки, а положительное направление оси х идат вверх и совпадает с направ- /Г г', ,ф,ф пением самой пластинки. Полные уравнения абсолютного движения вяакой жидкости по отногнению к подвижным осям представятся Рис, 63. в виде (1.3).
Отбрасывая в этих уравнениях: 1) квадратичные члены инерции, 2) локальную производную от вектора скорости по времени, 3) вектор массовой силы, получим дифференциальное уравнение в проекции на ось х ди ! др Едги дги дгиХ У вЂ” = — — — + ч( — + — + — г.
дх р дх (две дуг дезу' (3.1) Поскольку движение жидкости вызывается только движением пластинки и на границе среды Огу, давление постоянно, то можно принять градиент давления вдоль оси х равным нулю, т. е. др Р=О. дх Если считать пластинку в направлении осн е достаточно широкой, то иожно положить; ди — =О. де 233 % 3! пеониканив пластинки в вязктю свндт ди ! д2и дви дх 2В дут дуз (3.4) где п = —.
и' (3.5) Таким образом, дифференциальное уравнение (3.4) было получено с помощью: 1) частичного учета квадратичных членов инерции (по Овеену) н 2) частичного учвта членов вязкости (по Рейнольлсу). Примем следующие граничные условия: !) до подхода края пластинки вся среда пребывает в полном покое, т. е. при х= — 0 и=О; (3.6) 2) частицы жидкости прилипают к сторонам пластинки прн х)0 у=0, и=У; (3.7) 3) при удалении от пластинки в сторону по осн у скорость уменьшается ло нуля, в частности, при у = оо и = О.
(3.8) Дифференциальное уравнение (3.4) совпадает с дифференциальным уравнением одномерной задачи теплопроводности. Рассматриваемая же задача при условвях (3.6), (3.7) и (3.3) совпадает формально с задачей нагрева полубесконечного стержня с конца.
Решение втой задачи имеет вид О7 и == ~ е-В'с(р= У!! — — ~ е-""яп = — !. (3.9) в т'йе Вычисляя силу вязкости на пластинке по формуле ди т р ду' получим (т) . = —. пУ у'. или, подставляя значение и из (З.б): пц'д (т) я=в ьг — ' (3.10) (3.11) В предеяах погруженной части пластинки изменение компоненты скорости и в направлении оси у преобладает над изменением втой скорости в продольном направлении .за исключением, быть может, только края пластинки. Следовательно, второй произволной по х от и можно пренебречь по сравнению со второй производной от и по у. Тогда из (3.!) получим следующее дифференциальное уравнение: 234 лвнжвние пги малых числах гейнольдсл ивтод озввнл (гл.
чп Таким образом, сила вязкости в какой-либо точке на погружаемой в вязкую среду пластинке пропорциональна скорости в степени з/э н обратно пропорциональна 'квалратному корню из расстояния этой точки от края пластинки. Обозначим ширину пластинки через Ь. Умножая обе части равенства (3.1!) на 2Ьях и интегрируя от нуля до Ь, где Ь вЂ” длина ппгружанной части пластинки, получим следующую формулу для сопротивления трения врезанию тонкой пластинки в вязкую среду Р = — — Ь()п $' руд = — 2,257Ь(РУ ррй.
(3.12) у-к Следовательно, сопрогнвленне прониканию тонкой пластинки в вязкую несжимаемую среду зависит не только от скорости проника. ния () в степени з(з, но и от глубины проникания Ь в степени '/з. 1(опустим, что проннкание пластинки в вязкую среду происходит благодаря тому, что этой п.частнике с весом Р сообщена некоторая начальная скорость (Г. Составляя дифференциальное уравнение движения этой пластинки, получим: Р Л() чл — и-- = — = ()и у'рр(, л дл Разделяя переменные и проволя интегрирование, будем иметь: (3.!3) Обозначая предельную глубцну проникания пластинки через Н, прн которой скорость У обращается в нуль, получим из (3.13) следующую формулу для коэффициента вязкости среды.' эв Р- '1 ,, = — и,— —,—.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
