Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 45
Текст из файла (страница 45)
г) Менделеев Д. И., О сопротпзлеиин жидкости и о возлухоплаза. нии, 1880, з) Жук аз с к и й Н. Е, Собр. соч., т. 1г1, Гостехиздат, 1949. ') р г г и б 11 Ь.. уег!ь Лег 111 )л~егй. Мггн. Копит. 1и Неще)Ьегй, ье1рг)8, 1905. 254 [гл. шп ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ полностью учитываются в основном уравнении. В приближзнных метолах Стокса и Озеена члены от вязкости учитывались полностью, тогда как в теории Прандтля эти члены учитываются лишь частично, так же как и в методе Рейнольдса лля слоя смазки; Теория пограничного слоя получила широкое практическое применение и поэтому ез развитие было весьма интенсивным.
Эта теория и ло настоящего времени продолжает привлекать внимание многих исследователей. Для вывода основных уравнений теории пограничного слоя рассмотрим лишь плоско-параллельное установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости без учета действия массовых сил. Бу.дем полагать радиус кривизны рассматриваемой твердой стенки (рис.
67) достаточно большим по сравнению со средним значением о толщины предполагаемого пограничного слоя. Обозначим через х кринолинейную координату, отсчитываемую вдоль рассматриваемой стенки от некоторой фиксированной на ней точки О, и через Рис. 67. у — координату, отсчитываемую по нормали к стенке. Дифференциальные уравнения (2,!3) главы 1! переноса количества движения в проекциях на введенные оси координат и уравнение несжнмаемости представятся в виде д д — (р — ри-)+ — (р„— рои) = О, д д ,— (р.„— рип)+ — (у„, — рпз) = б, (1.!) ди до дх ду — „+ — =о. Соотношения, выражающие обобщенную гипотезу Ньютона в рассматриваемом нами случае, будут иметь вид ди до р, .=- — р+2р —, р„„= —.--у+2р3-, ' ( +ду)' (1 2) Обозначим через ! характеристику протяженности слоя, через У— характерн>ю скорость частиц в продольном направлении слоя и через )У в характерную скорость в поперечном направлении.
Вводим безразмерные величины, полагая х=-1х,, у=оу, О=!ОТ 1 (1.3) $1) твлвнвниэ движвния жидкости в погг ничном слов 255 Вводим безразмерное число Рейнольдса сгт и безразмерное давление ~и! я17Я Р = за Рт = йж Рз. (1 6) (1.7) Соотношения (1.2) при использовании (1.3), (1.5), (1,5) и (1,7) при- мут вид р =- —,~ — рг+2з— го"з г я ди11 1 (1.3) Полставлян (1.8), (!.3) в (1.1), будем иметь: — ! — р, + 2з- — — йзаиз) + — ~ —. + вз — — (те-и о,) =О, 1 д ( здиг я,~ д аудит: дия дхг~ т дхг " 1) дуг(дуг дх ' т т д ( ( 2 яди, ~=воз) О.
При выводе уравнений Рейнольдса для смазочного слоя мы полагали число Рейнольдса обратйо пропорциональным первой степени безразмерного параметра е. Так как мы рассматриваем теперь случай весьма больших значений чисел Рейнольдса, то примем, что зто число обратно пропорционально квалрату параметра а, т. е, Р= — ° 1 гй' (1,1О) Уравнение несжимаемости тогда представится в виде дит У ! дит — + — — — = О. дхт 17 а дуг Если считать, что слагаемые в уравнении (1.4) будут иметь один и тот же порядок величин, то необхолимо положить: У С уз=' Это равенство означает, что порядок отношения скоростей — дол- 17 жен совпалать с порядком отношения среднего значения толшины слоя к характерной длине 1, т. е.
(1.5) 256 (гл. шг ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Сохраняя в уравнениях (1,8) и (1.9) только члены наивысшего порядка, получим: р = — о угре гда,, (1.11) рвн = — Фгр~ д г д (ди, дх, ' ду,!ду, ' 'у — ( — р — а,)+ — ( — -'- — и о!= О, ~ др1 д — „— О. (1.12) ди, ди 1 др дги и — +о — = — — — +ч —,, дх ' ду е д.х ду" -Р— =О, ду= '— " — О Г+ду=-О (1.13) Так как давление по толщине слоя не меняется, то внутри слоя давление должно быть таким же, каким оно было на границе этого слоя с областью внешнего потока жилкости без учета ее вязкости.
А это значит, что в пределах пограничного слоя давление должно считаться известной функцией криволинейной координаты х. Эта функция для давления устанавливается на основании решения залачи об обгекании рассматриваемого контура идеальной жидкостью. Таким образом, дифференциальные уравнения (1.13) для пограничного слоя булут содержать только две неизвестные функции — компоненты и и о скорости частиц жидкости в слое. Если рассматриваемый контур является неподвижным и непроницаемым, то для неизвестных функций должны уловлетворяться условия прилипания: при у=О и=О, О=О. (1.14) К граничным условиям (!.14) необходимо присоединить граничные условия на границе предполагаемого пограничного слоя, тол- Таким образом, при весьма больших значениях чисел Рейнольдса компоненты нормального напряжения в пределах пограничного слоя сводятся к одному давлению, з компонента касательного напряжения имеет порядок е по отношению к скоростному напору (рув) и определяется только одним слагаемым, прелставляющим собой первую произволную продольной скорости по поперечной координате у.
Из второго уравнения (1.12) заключаем, что в пределах пограничного слоя давление ао толщине слоя не иэменнетсег. Переходя в уравнениях (1.4) и (1.!2) к размерным величинам, получим слелующие уравнения плоско-пзраллельного усгановившегося движения вязкой жилкости в пограничном слое без учета действия массовых сил: 5 1! теавнения лви>квния жидкости в погглничном слов 257 шина которого может считаться либо бесконечно большой (асимптотический пограничный слой), либо конечной. В последнем случае толщина слоя должна считаться неизвестной функцией кривоаинейной координаты х, для определения которой лолжны быть использованы условия на границе слоя. Эти граничные условия в первую очерель лолжны отразить непрерывность основной компоненты скорости и и непрерывность силы вязкости при переходе из слоя в область внешнего потока. Если через У обозначить компоненту скорости частиц во внешнем потоке, параллельную касательной в соответственной точке рассматриваемого контура, то простейшие граничные условия на границе пограничного слоя булут: прн у = 3 и ==(/(х), — =-О.
ди ду (1.15) Таким образом, задача изучения движения вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое сводится математически к решению дифференциальных уравнений (!.13) при граничных условиях (1,14) и (1.15). Наличие нелинейных слагаемых в первом уравнении (1.13) и наличие граничных условий на неизвестной границе создают большие трудности на пути изучения лвижения жидкости в пределах пограничного слоя.
Но все же этн трудности оказалось возможным преодолеть во многих случаях с помощью различных приближЕнных методов. Пз экспериментов известно, что при обтекании выпуклых тел гронсходят отрыв внешнего потока от поверхности тела и образование завихренной зоны позади тела. Благодаря наличию завихрвнной зоны меняется распрелеление скоростей во внешнем потоке. Следовательно, уравнения пограничного слоя П .13) могут быть использованы не лля всего обтекаемого контурз, а только для той его части, которая обтекаегся внешним потоком плавно, без срыва отдельных частей потока, без образования завихренной зоны. Пограничный слой, подчиняющийся уравнениям (1.13), будет заканчиваться в той точке плоского контура, с которой будет.
происходить отрыв внешнего потока от контура. Явление отрыва внешнего потока от поверхности выпуклого контура качественно момгно объяснить с помощью следующих рассужлений При обтекании выпуклого контура потоком несжимаемой жидкости скорость частиц на повгпхности контчпа после пеоедней критической точки билет няоастать, а давление билет чменьшаться. После достижения максимума скорость булет уменьшаться, а давление билет чвеличиваться. следовательно, после этой точки максимума скопости частицы жнлкости внттпи погпаничного слоя от акт тоомозиться не только за счет действия снл вязкости, но и за счет действия противолавлення.
Вследствие этого у частиц, расположенных близко от поверхности тела, скорость может обращаться в нуль задолго ло того, как онп подойдут к залней критической точке твогня потел«ичного слоя !гл. чш Эти частицы, подвергаясь действию протнволавления, должны начать лвигаться в обратном направлении. В результате етого обратного течения вблизи поверхности тела будет происходить подмыв погрв. ничного слоя.
Если на первых участках слоя профиль распределения скоростей в слое будет обращен своей выпуклостью в сторону течения (рис. 68), то на последних участках верхняя часть будет попрежнему выпуклой в сторону течения, а нижняя часть будет выпуклой в обратную сторону. При таком распредед ленин скоростей в слое в какомто месте может произойти отрыв слоя от стенки. Прн этом оторвавшаяся часть пограничного слоя в верхней части приобретет вращение по ходу часовой стрелки, а в нижней части †прот хода часовой стрелки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
