Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Если, например, эту функцию брать в виде многочлена, то наиболее простым нв них будет многочлен третьей степени, т. е. )'(т) = Аа+ А!11+ Ао"йо+ Аот1о (4 У) Определяя коэффициенты многочлена иэ граничных условий (4.6) н (4.6), получим: Ао — О, А1 — — ! (3+ 2 ), Ао — —— ф 4) поэвлничный слой пни овтвклнии выпэклого конттгл 271 (4.15) Вводя новое зависимое переменное за — =ч, Ч (4.16) получим следующее дифференциальное уравнению Ж 3 О 8061 + 0 051о 0 0024Ло Лл ьг (0,139 — 0,002х + 0,0008И) При заданной функции (У(х) изменения скорости внешнего потока вдоль рассматриваемого контура дифференциальное уравнение (4.17) можно решать только либо графически, либо численным методом.
Если положить параметр Л равным нулю, то получим случай пограничного слоя на пластинке, разобранный в 5 2. )Лля этого случая из (4,!7) будем иметь: е( 21,88 лх и' Проводя интегрирование и определяя постоянное интегрирования из условия обращения в нуль толщины слоя у переднего края пластинки, получим: 8=4,6 т и и' (4.18) ь Сопоставлял правую часть (4.18) с правой частью (2.19), мы видим, что рааличие в числовом коэффициенте имеет порядок 8о) . Рассмотренный пример использования интегральных соотношений является наиболее простым по своей схеме, однако доведение до конца интегрирования уравнения (4.17), хотя бы и численным методом, связано с большими трудностями благодаря тому, что правая для коэффициентов полученного уравнения (4.14) из (4.9) будем иметь: У'(0) = 1,5+0,25Л, г )"У(0) г0=0,625+0,021л, о 1 ) 7~(т))о(т) = 0,486+ 0,02ЗЛ вЂ” О,оообдв о ! 1 3 7'(")"") — ~ ПО) 70 = — О, И9+0,002Л вЂ” 0,0006Лэ, о 1 г 2Фв() М~ — "~ У() М вЂ” «+7 (О)=1,5-0,4ОЗЛ+ о о +0 025Лв О 0012Лз 272 (гл.
шп ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ часть этого уравнения имеет особую точку при (! = О. Кроме того, этот метод ваведомо неприменим к пограничному слою при замедленном течении жидкости во внешнем потоке. В ряде статей предложены другие методы использования интегральных соотношений. Из этих методов наиболее простым и широким по охвату различных случаев является метод Н. Е. Кочина и Л. Г. Лойцянского '). й'5.
Приближенный метод решения уравнений пограничного слоя В предшествующем параграфе был рассмотрен самый простой метод использования интегральных соотношений для ламинарного пограничного слоя, но расчеты оказались вполне удовлетворительными лишь для тех случаев, в которых продольный перепад давления оказывался либо отрицательным, либо был небольшим положительным. )Аля больших положительных перепадов давления в пограничном слое он мало пригоден, Кроме того, этот метод требовал графического или численного интегрирования нелинейного уравнения (4.17) для каждого распределения скорости внешнего потока вдоль пограничного слоя.
Эти два обстоятельства и побуждали многих исследователей искать другие приближенные методы решения уравнений для пограничного слоя. Большая группа этих методов, получивших наибольшее применение к решению отдельных задач, основывается на специальном выборе независимых безразмерных переменных, позволяющем аифференциальнью уравнения с частными проивводными (! .13) сводить либо к одному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению с числовыми коэффициентами, либо к некоторой нос тедовательности обыкновенных дифференциальных уравнений также с числовыми коэффициентами, В этих методах численно решается обыкновенное уравнение или группа уравнений и составляются соответственные таблицы.
Эти таблицы затем могут быть использованы для целой группы соответственных задач (а не Одной какой-либо аадачи). Чтобы показать конкретно сущность этих методов, рассмотрим подробно метод сведения уравнений (1.13) к одному обыкновенному уранению для случая степенного закона изменения скорости внешнего потока, развитый в работах Фокнера и Скэна, з) Хартри з), Л.
Г. Лойцянского') и др. Пусть на внешней границе ламинарного пограничного слоя скорость частиц во внешнем потоке распределяется в продольном напра- ') Кочин «!. Е. я Лойцянский Л. Г„Об одном приближенном Методе расчета ламннариого пограничного слоя, Доклады АН СССР, т. ХХХН1, № 9, !942. В Р з ! и и е г Н. М. а и д 3 и и и 3.
'1Н., АКС К АМ № 131 4, 1930. ') Н а г ! г е е ««. й., Ргое. о1 Гае Сзшьгщйе РЫ1, 3ос, 33, !937. ч) Лей цянс к ий Л. Г., Механика жидкости н газа, Гостехнздат, 1930. 5) пвивлижйнный метод гашения тглвнвний погвлничного слоя 273 еленин по закону и(х)=с», (5. 1) уравнения пограничного слоя (1,13) при использовании (3.12) и (5,1) представятся в виде ди ди „,„г дэи и — + о — = сетха'" ' .+ э —,, дх ду дул' — -'- — = О. дх ' ду (5.3) От размерных координач х и У перейден к безразмерным, полагая х = (х„ г (5.4) У= „— Ут Если в выражении числа Рейнольдса ьт К=в (5. 5) заменить скорость через коэффициент (5.2), то получим: (5.6) Полагая и = (гин и используя (5.6), уравнения (5.3) можно представить в виде ииэ диг „„,, дэиг и, +о,д-.— глх л + —,, х, д"'+ д" =-О.
Решения уравнений (5.8), вообще говоря, должны быть функциями бевразмернык координат х ' и у,, Поэтому при переходе к размер- ным координатам размерные решения уравнений (5.3) будут зависеть от масштаба длины Е Так как коэффициенты уравнений (5.3) не (5.8) где с — размерный коэффициент, свяаанный с размерностью длины .и скорости соотношением с= —. (5. 2) Ги л74 (гл.
сш тьогия погяанияиого слоя созсрагат я инион внлс нзсшглбз ллинн ), тз ножно потрсбояать, чгоби бсзрззмсрныс скорости а, и о, лапнсегит не от отъ .и.нюх без. разнерннк коорлинаг .т, и у,. а от такой ич кочбннзцнн. ирн которой исключалась Гнз ззьнсичость рз цгернюз скоростей ог насш таба ллигц» !. Если обрати»»се к псряпчу рзненству (5 4~ и кн и орикс рзвснс гну(5 6). то чо«но ззнстнть ьго ~ анис~и еп»й личГ»ишки~я, ис солертизц(сй нлсшгзбз ллинц нрн нерстоле к ззлчсрнцн лоорлннттзч. б)лит; « ° 3 ! На»тои оснояаиии ииотин новос нсззн!шнчое безрлзнсрное переменноее т„голл г ли / г.е" оя / ("(л) т,-ь тр - -- — у $г ( 1.0) ! ле з — и»ко!орос постоянное число, 1(з (5.9) бу гьч ниеть д / С'(.ь) дУ 'Р (5.10) дг 1, 1 1 (: глс шгрнс н прзюш иль~и озцюю г лифф»ренцкронзьис но т, 1!з осионзнии успения црилицз,ня и того. ч:о низ,няя грзиипл с,ню ирелстзвляст сосюз линию го»ш 6) теч ичг ть слету»нцнс с(ломия лли неизвестной функции ф(г): при т, = 0 Ф(0) ..
О. Ф'(О) — И (5 12) 1'.спользуя спи»кои~с,цгя (5.10) и (5 11). Г»улсь нче!ь. дц . У (и Ги и) нц С(',,:, <»уз ~ 5. 1 3 г !!з урз»испи» нссьичаснсстгц )ьловня обрзщсшш и нуль скор югн с иа с:енле у -. 0 н пер»иго рззсцстпз ().!О) погбякч » гз / .- ! ди ч геп»рь причем. чго п(толею»игя сосгззляюшзи»слгорл скорости и иограничиои слог чоац г бог ь прс.юглнлс»а и ьи ш и (.т, у) — (,' нт) г! '(т,ц (5.
11) й 5! пяивлижйнный метод гашения твлвняиий погганичного слоя 275 Подставляя значение — из (5,13) и испольауя условия (5.12), будем ди дх иметгп -,—,г 1 и()и . =- — УЪ (7 ~"Ф+ — — Рбф' — Ф)1 2 (Рт (5.14) На основании (5.13) и (5.14) получим: д + д ( )+2 ~У ди ди,,з и ! ()з(ги Следовательно, первое уравнение (5.3) представится в виде Наконец, используя предположение (5.1) и поэагая 2ж т лг+!' (5.15) Ф'(оо) = 1. (5.1 ?) При каждом отдельном значении постоянного р уравнение (5.!6) можно интегрировать численным методом. В цитированной выше работе Хартри приведена таблица 2 значений функции Ф' при различных аначениях параметра 5 и таблица 3 вспомогательных функций, через которые вычисляются толщина вытеснения и", толщина потери импульса 6*" и напряжение вязкости на стенке.
Мы приводим некоторые выдержки из этих таблиц (см. стр. 276 †2). На основании второго равенства (5.13) получим следуюгпее выражение для напряжения вязкости на стенке: — (д ) — 1(71/ ~~' Фи(6) (5.1 8) Толщина слоя вытеснения 3' была определена выше формулой (2.20). Подставляя в эту формулу значение у из (5.9), получим: о*= ~: :~1 — — ") ду = ~ (1 — Ф'(т))) г(т! ° 1/ — и, = АД) 1/ —, ° (5.!9) о о получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для неизвестной функции Ф: '„';, +Ф вЂ” ",",., =~~( — ";,)' — ~ (5.16) Для решения уравнения (5,16) к условиям (5.12) необходимо присоединить условие на внешней границе слоя.
Если считать слой асимптотическим, то дополнительное условие будет представляться в виде д 5) птивдизкйнный мятод вешания тглвняннй погтхничного слоя 277 условная толщина потери импульса, являющаяся мерой изменения количества движения эа счвт образования пограничного слоя, определяется равенством ~ и'( (7 ) "У а Подставляя значение у из (5.9), получим: 5"= ~ Ф'(О)(! — Ф'(т!))йт, ° ф~ й.', =-В(р) 1/ О!7. (5,20) Значения функций, входящих з равенства (5.18), (5.19) и (5.20), берут из таблицы 3. Таблица 3 В (5) ! Фж (О) АФ) 1,521 1,Г>87 0,498 Заметим, что случай т = 0 отвечает прямолинейно-параллельному внешнему потоку с постоянной скоростью с, обтекающему продольно- прямолинейную пластинку. )(ля положительных значений показателя в (5,1) мы будем получать так называемые ускоренные потоки, которые имеют место в конфузорных (сходящихся) каналах, а для отрицательных значений т будем иметь замедленные потоки в диффуаорных каналах.
Наконец, случай т = 1 мы получаем для пограничного слоя в передней критнческои точне при обтекании внешним потоком выпуклого контура. В этом последнем случае У' = сопз1, и поэтому из (5.19) и д5.20) будет следовать, что обе то.шины не — 0,1988 — О,!9 — 0,18 — 0,16 — 0,14 — 0,10 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,80 1,00 1',20 2,00 2,359 2,007 1,871 1,708 1,597 0,984 0,911 0,853 0,801 0,764 0,699 0,648 0,607 0,544 0,585 0,677 О,ьбб 0,552 0,739 0,515 0,470 0,435 0,408 0,386 0,367 0,350 0,336 0,312 0,292 0,276 0,250 0,231 0,0000 0,086 0,1285 0,1905 0,2395 0,3191 0,4696 0,5870 0,6869 0,7748 0,8542 0,9277 0,996 1,! 20 1,2326 1,336 ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ИГП 1Г.Ч.
чп! будут зависеть от координаты х, т. е. толщина пограничного слои вблизи критической точки будет постоянной. Из этих же формул при учете (5.1) будет следовать, что при т(! толщина пограничного слоя будет расти по течению, как и в случае пограничного слоя на пластинке. Наибольший рост толгцины пограничного слоя по течению будет иметь место в замедленных потоках при лг ( О, тогда как при ускоренном течении при ю,.ь 1 толщина пограничного слоя будет даже убывать по течению. На основании таблицы 1 получается, что при р = — 0,1988, т.
е. при Гл = — 0,0904, при убывании скорости внешнего потока по закону и — сх - 0.0000 величина Фь(0) обращается в нуль, и поэтому согласно (5.!8) сила трения будет обращаться в нуль на всей стенке соответствующего канала. Этот случай можно рассматривать как предельный случай того безотрывного движения в пограничном слое, который может быть изучен этим методом, так как при р ( — 0,1988 пограничный слой либо вообще не может существовать, либо развитый выше метод становится неприменимым. Таким обрааом, задавая различные значения для показателя т, можно получить различные по своему характеру течения в пограничном слое и эти течения буду~ сходны с теми течениями, которые имеют место в отдельных частях действительного пограничного слоя, например на крыле: вблизи критической точки (лг = 1), вблизи точки наименьигего давления (лг = 0) и вблизи точки отрыва (Гл = — 0,0904).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
