Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

К настоящему моменту в литературе имеется достаточно большое количество различных приближенных методов изучения пограничного слон. Основная группа этих приближенных методов связана с использованием интегральных соотношений пограничного слоя. Первое интегральное соотношение было установлено Карманом я) с помощью применения теорем!л об изменении количества движения в фиксированном элементе пограничного слоя, Второе соотношение было установлено Л. С.

Лейбензоном в) с помощью применения теоремы об изменении полной энергии в фиксированном элементе пограничного слоя. Обобщение этих соотношений было дано В. В. Голубевым '). Ладим вывод этих соотношений, следуя рассуждениям В. В. Голубева. Умножим обе части перво~о уравнения (!.13) на п" г(у и пооинтегрируем от нуля ло а, представляющей собой толщину пограничного слоя; получим: и"" ' — гту+ ) пп" — г(у ==. — — — ) льду-(-э ) и' —, г(у. (3.!) 1 ,ди Г ди 1 г)р дти дл,) ду г дл,) ,) дуя г) Н а и з е в М „1)!е Пезспж1пдп Кена Чег1еичп8 1п пег ОгепгесйсЬ! ап ежике!аисыеп Р1апе, Ее!нсьг.

Ыг видев. майе п. ипд Месьап1к г. 8, вып. 3, !928. т) К л г а а и Т., ЦеЬег !а~в!ваге ппд гигЬч1еп!е йе!Ьипд ЕепзсЬг 1аг апЕечг. Мащ. ипд Месь., т. 1, !921. э) Л е й 6 е и з о н Л. С., Энергетическая форма интегрального условия в теории пограничного слоя. Труды ЦАГИ, вып. 240, 1935. ч) К о ч ~г н Н.

Е., К иве л ь И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханпка, ч. 2, Гостехнзлат, 1948. 265 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ Выполняя простейшие вычисления и учитывая, что толщина слоя зависит от переиенного х, будем иметь: це»' — дУ:= — 1 — дУ.=- — [ — ~ це+Ядя — (ц,)л -ед'(, ди ! Гдцачт ! Гд Г дх а+2 2 дх Л 1-2(дх„) п о = — ![- = [ , ди 1 Г дие»» ! Г ! 1, ди оц" — = —, ~ о — »!У=. — 1(и»»л+»! — д! цл''- — НУ,~, ду Фт!.) ду Е+ ! ~ ! д ду о о о о и" —,ду= ц"- — (~ — (» [ ие-'~ — ) ду. (3.2) Используя гр;шнчные условна (!.14) и (!.15) н уравнение несжимае- мости, получим: (ц,) .Я=.и'-', ( — )~ — и, /дц» (,дд )а ди ди — —,ду== — — ) иду+ ()д', ди д ! д.» дх,1 ~ цл ! 'ду — ц»+» ду — ..

1 цл»я»(у (1»ьяь' дп Г ди ! Гд 1 ду,~ дх Л-1-2(дх д Я д а (3.3) Принимая во внимание (3.3), полставнм выражения (3.2) в (3,1); получим: цеь» . ду+ ~ пць ..»!у = — [ --. [ цл»е дУ --(1»»ео'~ + дц Г дц 1 Гд дх д ду Л+2ьдх, о Я д +,— — ', [(Ге" —,--,- ~ ц ду~+ (-,,)'(„- — [ — ~ це"'ду — (Ге"д'1 = 1Г ц тау- и - ~ цду). (3.Ч) Л+! (дх „1 дх 266 (гл. чш твОРия ПОГРлинчного с.чоя Таким образом, интегральное соотношение В. В. Голубева будет иметь следуюгдий вид: 1 д 1' 0Ь+г д à — о- ! ив+о о(у — — 3- и Иу = л..',1 х ! Л+! х о — иоду ~(ио 3 — ) +й ~ ио-т(~ ) с(у~. (3,6) о о Полагая в соотношении (3.6) Го=О, получим интегральное соотношение Кармана в виде р — ! иоду — р(7 — ! ио(у= — — Ь вЂ” р1 — ) .

(3.6) д д Г др /дил дх .! дх ! дх (ду)о' Первое слагаемое в левой части прелставляет собой секунлное ишод некие количества движения в фиксированном элементе пограничного слоя за счет входа и выхода масс через две боковые границы этого элемента АА, и ВВ, (рис. 70), поделанное на длину элемента Ьх. А~ Второе слагаемое левой части (3.6) представляет количество движения, А вносимое массой — ! Ро ду чедх ! о рез веохнюю границу слоя А,В, за Рис. 70. секунду. Правая же часть соотно- шения (3,6) есть импульс сил давления и сил вязкости, отнесенный к единице времени и единице расстояния вдоль координаты х.

Полагая в соотношении (3.5) Го = 1 и учитывая, что (и) = О, получим энергетическое интегральное соотношение Лейбензона 1д Г 1,д Г 1дрГ Г/ди1в г дх,! 2 'дх,! = О дх,! — — ! лЧу — — из — 1 иду= — — — ! л ду —. ! ~ — ) ду. (3,7) .! 'лду) о й о о Первое слагаемое в левой части (3.7) с точностью до множителя р представляет собой секундное изменение кинетической энергии в фиксированном элементе пограничного слоя, обусловленное входом и выходом масс через боковые границы АА, и ВВ,. Второе слагаемое свизано с кзменением кинетичесной энергии за счет вхола масс через верхнюю границу слоя.

Наконец, последнее слагаемое в правой части (3.7) представляет собой ту часть энергии, которая рассеивается благодаря силам вязкости. 261 интвгэальнык соотношвиия (3.8) Лнфференцируя левую и правую части первого уравнения (1.!3) по переменному у, будем иметь: ди ди дви дп да дал дви — +и — + — — +и — =ч— у дл длду ду ду дуз дуг (3.9) !) Р о Ь ! па аз ел К., Хе!Ысиг. !ьг апй.

Мапь ппд А!есЬ„т. 1, 1921, з) Л ой ця н скип Л. Г., Аэродинамика пограничного слоя, ГТТ!4, !94!. ") Космодемьянский А. А., Ученые записки МГУ, М 2, 1934. Так как давление и скорость внешнего потока (7 считаются известными функциями от переменного х, то интегральные соотношения (3.5), (3.6) и (3.7) будут содержать две неизвестные функции, из которых первая булет представлять собой распределение основной скорости и по толщине слоя, а вторая — изменение толщины слон с изменением криволинейной координзты л. При использовании этих интегральных соотношений приходится первую из неизвестных функций в какой-то мере задавать заранее и отдельные коэффициенты ел определять из граничных условий.

При подстановке в интегральное соотношение (3.5) задаваемой функции распределения скоростей по толщине слон получится для толщины слоя лифференцнальное ураннение первого порядка. В работе Польгаузена") распределение скоростей по сечению пограничного слоя задавалось в виде многочлена не выше четввртой степени. В работе Л. Г. Лойцянскогоэ) для распределения основных скоростей использовался многочлен шестой степени. В одной из первых работ А.

А. Космодемьянского в) распределение скоростей представлялось в виде сс = ()о э!и — ть Сопоставление результатов расчета во всех этих случаях с результатами решения уравнений пограничного слоя, приведвнными для пластинки в предшествующем параграфе, показывает сравнительно малое расхождение, особенно а отношении числового множителя в выражении (2.18) для коэффициента сопротивления пластинки. Это обстоятельство и послужило основанием, с одной стороны, для широкого использования метода интегральных соотьюшений, а с другой стороны, для некоторого произвола как в выборе вида функции распределения основных скоростей по толщине слоя, так и в назначении лополнительных граничных условий для определения коэффициентов этой функции. Лополнигельные граничные условия устанавливаются на основании непосредственного использования самих уравнений (!.13) для пограничного слоя.

Например, если учесть, что на стенке скорости и и э обращаются в нуль, то из первого уравнения (1.13) получим новое граничное условие на стенке в виде 268 !гл. шп твогия посели«нного слоя (3,1 1) Если положить (ди~ Лl и учесть, что из интеграла Бернулли — =-. С вЂ” †, У' для линий тока д 2 внешнего потока, примыкающих к верхней границе слоя, будем ниетти — — = — У вЂ”, 1др ЛУ (3. ! 2) г дх лл ' то из (3.11) получим еше одно граничное условие (л — ) =О.

(3,1 3) Если бы мы еше раз проднфференцировалн равенство (3,9) по переменному у и использовали бы все ранее полученные граничные условия, то получили бы еше новые дополнительные условия для производных третьего н четвартого порядка ат искомой функции и. Разумеется, что этот процесс получения новых граничных условиИ можно продолжать и дальше. Подчиняя выбор вида функции распределения по толщине слоя основных скоростей всв большему числу дополнительных граничных условий, мы тем самым можем всв больше и 'больше приближать задаваемую функцию к действительному решению самих уравнений (1.!3) пограничного слоя.

ф 4. Пограничный слой при обтекании выпуклого контура ь В качестве примера применения метода интегральных соотношений рассмотрим обтекание плоско-параллельным безграничным потоком несжимаемой жидкости выпуклого контура (рис. 71). В передней части рассматриваемого контура будет образовываться пограничный слой. Скорость частиц жидкости на внешней границе этого пограничного слоя будем считать известной функцией криволинейной координаты х, отсчитываемой от передней критической точки вдоль верхней части дуги (7 = ()(х).

Сумма первого и третьего слагаемых в левой части на основании уравнения несжимаемасти будет обращаться в нуль. Остальные слагаемые в левой части будут обращаться в нуль на стенке; отсюда получим еще новое дополнительное условие на стенке ~-,.) =- (3.10) Испо чьзуя граничные условия (1.15), первое уравнение (1,!3) для точек верхней границы слоя можно представить в виде Й 4) погтлничный слоИ пги оятяклнни выптклого конттгл 269 с(У вЂ” (/ — ~ и ду = () Б д — ч ~ ~) д й д и,, гди! дх ) (4.1) Введйм новое независимое переменное, полагая У (4.2) и будем считать, что распределение основной компоненты скорости и по толщине пограничного слоя представляется функцией, зависящей только от одной независимой переменной ть т.

е. и = (Ч(т!) (4,3) Используя предположения (4,2) и (4,3), интегральное соотношение (4.1) можно представить в виде т ! Р (т) с(т) — „~ (()эд) — ~ у (т) дт (( — ((Л) = (I( и э — — у (О). (4 4) д в Как уже было сказано выше, вид функции (4.3) в некоторой мере должен задаваться заранее и лишь отдельные коэффициенты конкретного выражения этой функции должны определяться из граничных условий. Основные граничные условия, выражающие собоИ условие прнлипания частиц к стенке, условие непрерывного перехода значений основноИ компоненты скорости через верхнюю границу слоя н условие отсутствия силы вязкости на этап границе слоя, имеют вид и(О) — О, и (ь) К вЂ” =- О /ди т ~д»)я е Если иметь в виду предположения (4.2) и (4.3), то этн граничные условия можно представить следуюгцим образом: у(О) = О, у(!) = 1, у'(1) = О.

К основным граничным»словиям (4 б) присоединим одно дополнительное условие (3.8), используя (3.12) и (4.3): У-(О) = ---'-'- Г. ' (4.6) (4.6) Наличие четыреэ граничных условий (4.6) и (4.6) позволяет использовать д.ш распределения скоростей в пограничном слое Интегральное сов~ношение (3,6) после использования (3.12) предста- вится в виде (гл. щп тяОРиа погтлничногп слоя Аз= 2(1 2 ) (4.8) Используя выражения (4,8), будем иметь: УРП) = -2 (зч — Р)+ —,(~ — 2п'+ Р), 1 Л (4.9) где Л представляет собой безравмерный параметр, равный (4.10) Определяя силу вязкости на стенке по формуле Ньютона и используя (4.2), (4.3), (4.9) н (4.10), получим: 'оа- — — 11 (ду)о — р З у (О) = 1З (6+Л), (4.11) В 6 1 было указано, что точка отрыва пограничного слоя определяется из условия обращения в нуль силы вязкости на стенке.

Полагая правую часть (4.11) нулю, найдем: Л,! =-- ( — (/) = — 6. (4.1 2) В случае обтекания эллиптического цилиндра экспериментально установлено, что положение точки отрыва определяется равенством Л,„= — 5,4. (4.13) Таким образом, полученный результат (4.12) достаточно близок к экспериментальному, Для опрелеленяя изменения толщины слоя необходимо обратиться к интегра.тьному соотношению (4А), которое при использовании обоаначения (4.10) представитсн в виде 1 ! — ", ( Ц уо( ) (й — ~ Лч) ( ) + о о 1 1 +2Л ( уо(о)) 1111 — Л ~ /(11) о(о) — Л+у'(О) = 0 (4,14) функцию, содержащую четыре неизвестных коэффициента.

Характеристики

Список файлов книги