Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 50
Текст из файла (страница 50)
'111— у [а Уравнения (7.4) при переходе к безразмерным коорлинатам и скоростям примут вид ди1 ди1 дзи1 и 1 -+о — = дх ду ду (7. 1О) а.-::,=' ! Если мы построим решения уравнений (7.!О) и затем перейлзм к размерным величинам, то размерные скорости окажутся функциями произвольного масштаба скорости У, который в размерные уравнения (7А) не входит. Следовательно, можно потребовать, чтобы размерные скорости не зависели от произвольного масштаба скорости У.
Если положить и, = — /(хт, у,) =/[ —, узх, — у), КА Кч (7. 11) —,'у- ~ЬУ ( — "",' У х, -" —," у)~ = 0. Выполняя дифференцирование и используя (7,9), по.учим следующее уравнение: У+ бх — -+ 2у — О. дУ дУ 1дх, 1 ду, Применяя метод характеристик, получим: ду дх1 ду1 — Х дх1 271 ' Интегралами зтих уравнений характеристик будут: ух,п= С1, утх, '= С, и поэтому решение уравнения (7.12) будет представляться в виде и =7(х1, у,) = х, 'ф(у х, '").
(7.13) то требование независимости размерной скорости от -асштаба У даат1 $ 7) Распеостганание тонкой ламинлгной ствяя 286 Таким образом, новым независимым безразиерным переменным будет: 9=Угхг ", (7.14) н для этого переменного будем иметь: (7.15) Если ввести безразмерную функцию тока, полагая ф(хм уг) = ) и,дур — — хз ' ) 9(т) г)ог=хзи ~ 9(т~) сН1 =ха Р(т), (7 16) о а о то получим: и,=ха ""Е (з;) При подстановке этих равенств в первое уравнение (7.10) получим следующее обыкновенное дифференциальное уравненяе для введенной функции тока 7а(т): +3( + (7.18) Иа граничных условий (7,5) получим следующие условия для искомой функции Р(т): т = О, Р" (0) = О, Р(О) =- О.' (7.19) Непосредственно находим первый интеграл уравнения (7.18) в виде Р" + — сс' = С.
(7.20) На основании граничных условий (7.!9) постоянную С необходимо положить равной нулю: С= О. Выполняя дальнейшее интегрирование уравнения (7.20), найдем: (7.21) На основании равенств (7.17) и (7.9) размерная продольная состав- ляющая скоросги будет представляться в виде (7.22) ди, дх, ди, ду, др 1 о = — д ' = 3 хг "(2тУ й) — Р) дх, 3 1 = — —;хг '(К + 2з~Рт), ь (7.17] ! и ду," [гл.
нщ 286 твовия погглничного слоя Распорядимся выбором неопределенного числа а так, чтобы Р'(О) = 1. (7.23) При этом условии и втором условии (7.19) постоянное интегрирова- ния В должно равняться единице. Таким образом, получим лля функ- ции г'(т)) следующее уравнение первого порядка: Р'+ — Гм = 1.
(7.24) Решая это > равнение методом разделения переменных и используя второе условие (7.19), получим конечное выражение для искомои функции в виде 7'(т,)=)т'611 (' ' '). х~'б/ (7. 25) На основании (7.25) и первых равенств (7.17) получим следующие выражения для безразмерных скоростей; и =-х 1 — з с па = а )г 6 (7.25) о =- — кг ' — '1/ б 99 = 1;,Г 2т )6 )' 6 йля мзксимальноп скорости на линии симметрии будем иметьп итж = х! (7.27) Связь между продольной скоростью и максимальной выражается в виде (7 23) 1 пт — пгт ' сиз уб — и, (У„=- ~ 76ж( 1) пт, = ~ '-.— — = — ф 6 = 3,27.
(7.29) 3 1' 6 Переходя в равенстве (7.3) к безразмерным величинам на основании (7.9), (7.15) и (7.26), получим следующее выражение для числа п: ф 7! глспоостглнвниа тонков ллминавной отгон 287 В заключение подсчитаем расход через бесконечную прямую, параллельную оси дп Э + = — „' У ' ~ и,г(У, = — 'х',"(7 ' ~ Лг(т)г)т, чы =( „) ~ ' =2Ф 6( — ~) . (73О) 6 Таким образом, расход через начальное сечение струи (х= 0) равен нулю, а затем расход растет благодаря подтеканию с боков струи. Примерный характер линий тока, определяемых по уравнению х'ЛГ(т() = сопв1, (7.31) показан на рис. 72.
Обращаемся теперь к рассмотрению пространственной ламинарной струи, имеющей ось симметрии. Расстояние точки до оси симметрии будем обозначать через г, Импульс пространственной струи необходимо определить в виде 2п ~ рое,г дг =- РКе, (7.32) гле о представляет осевую компоненту скорости. В силу отсутствия стенок давление можно полагать всюду постоянным: р = соп51. до, дол Г дзоо 1 до Π— — +Π— =ч~ — + — — и дх "дг (, дга г дг)' д (гол), д (гоИ (7.33) Если обратиться к уравнению Рис.
72. для осевой компоненты скорости и уравнению несжимаемости в цилиндрических координатах (7.1) дао, главы )Ч и в первом из них отбросить слагаемое — о в правой дхз части, то получим те уравнения, которые применяются для изучения пространственного пограничного слоя на теле вращения и для изучения распространения движения от ламинарной пространственной струи: (ГЛ. Я1П ТХОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Граничные условия для пространственной струи будут следующие: при г=Π— =О, О„=О, доы при г -+со и -+ О.
(7. 34) В случае струи типа источника уравнения (7.33) можно таким >ке методом, как н для плоской струи, свести к обыкновенному уравнению для функции, тока. Если положить: ги й=— а о = (гиы (7.35) г ° г=- —,=г =1г =г, — Р и то на основании равенства (7.32) будем иметь: Ка = 2я 1() ~. я,г,с(г,.
(7.36) Выберем масштаб лля скорости У так, чтобы выполнялось равенство Ка — - — а)(7, (7.3?) тогда из (7,3О) получим; (7.38) Если масштаб длины 1 оставить чроиавольным, а масштаб скорости определить из (7.37) в зиле и= — -, Ка а К аа ' (7. 40) Тогда формулы преобразования разиерных величин в безразмерные будут: l г = —.=г,= )гй х =1х,, (7.41) 0 о ==пав уй Ка и.= — и,, то число Рейнольдса представится в аиде: Ь гы а Ка Р Ка — 'юы й 7) РоспРОстРАнение тонкой ЛАминАРной стРуи 239 Решения уравнений (7.42) будут зависеть от отдельных безразмер,.
координат х, и г,, и поэтому при переходе к размерныи координатам размерные скорости будут зависеть от произвольного масштаба длины Е который в уравнения (7.33) не входит. Можно потребовать, чтобы осевая компонента скорости о . не зависела от Е Если положить: О (ГН о/(Х Г ) о/( о Г) (7 43) то требование независимости скорости О От 1 даст: Выползая дифференцирование, получим уравнение у'+х„— — +г, — = О.
дг дУ "дха ' дг, Решение этого урзвнения, построенное по методу характеристик, будет следующее: (7.44) Таким обрааом, новым безразмерным независимым переменным, являю- щимся комбинацией прежних независимых переменных, будет: ! хт ' (7.45) Если обратиться ко второму уравнению (7.42) и использовать усло- вия (7.34) и равенства (7.44) и (7.45), то получим следуюшее выра- жение для радиал~ной скорости: г,о,= — ) д (г,и,)ФТ= — д ) ) т)р(т))х,с(о)~.
(7.4б) Г д д ддк, '' т дхт о а Вводим чоункцию тока ф, полагая дф дт Ги = — ', ГО.= — —. =д; = дх,. (7.47) Используя эти формулы преобразования (?.41), получим из (7.33) безразмерные уравнения дио дма дэи, 1 дно '+; — '= —,.'+ — — ',1 дхт дг, дг', г, дг, д (гтит) + д (гаэа) б дха дго 290 (гл.
чн1 твогия посв*пичного слоя Подставляя в левые части (7,47) значения скоростей нз (7,46) н (7.44), получим: 1 (7.48) о На основании этик равенств функция тока равна 6 = х, ~~7(т)) т)дт) = х,Р(т)). о (7.49) Компоненты скорости и их производные через несданную функцию Р(т!) выражаются по формулам 1 дф ха сдв — Р—,г, гг дгг гг дг1 х1Ч 1 дт 1 1 х — — — Р+ — Р', г дх, х|ч хг — — Р—, Р'~ — — ~~ — —. ,ч 1 1 и,= о Ри х1 ди1 дх! (7.50) диг Р' 1 дгг х'чт хгч Если подстазиуь выражения (7.50) в первое уравнение (7.42), то получим обыкновенное лифференциальное уравнение Р"' — — Р" + —, Р = — РР" — — Р~ — — РР".
(7.51) чз Так как Р" — — Р'+ — Р = !Р— — ), ж 1 и 1 г г и -'- РР— -'- Р" — — 'РР" = — ("— '!', (7.53) то первый интеграл уравнения (7.51) будет: Р'.. 9Р" = РР'+ С. (7,52) Лля определения постоянного заметим, что на оси симметрии струи осевая компонента скорости должна быть конечной, а это может быть на основании первого равенства (7.50), если числитель прн т) =- 0 будет обращаться в нуль, т. е. ч! = О, Р'(0) = О. РАспРОстРАнаниа тонкой ААминАРной стРуи 291 Решение этого уравнения, регулярное при т) = О, можно искать в виде степенного ряда Р(т1) = Оэт)э+ Овт~з+ ОАу)А+ Оьйз+ Оат1в+...
Подставляя этот ряд в (7.54) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степейях то получим; а =О, 1 а = — — а', 4,1 а' а =О, 1 ае — — ОА, 16 Я' Следовательно, регулярное решение уравнения (7.54) будет представляться в виде Р(Т1) в ) (1 4 ят1 +'(4 пэ 1 ) + Выражение в скобке есть геометрическая прогрессия, сумма которой равна ! 1 + — ааээ 1 4 Таким образом, решение уравнения (7.54), удовлетворяющее условиям (7.34) и (7.53), будет следующее: 4лщт рс) =,+',"„, (7.55) Для определения коэффициента ая необходимо обратиться к равенству (7.38), которое при замене и, и г, будет иметь вид 2я ~ Р'е — 1 = 1. ч 3 Так как 32,ч (т1) (4+ а,ха)э ° При выполнении условия (7 53) постоянное С должно обращаться я нуль, а уравнение для функции Р(т)) примет вид Р' — СР" = РР'. (7.54) 292 теОРия пОГРАничнОГО слОя Р л.
ЧП4 то для определения ав получим равенство 2агп 44», 2П16Я ° 2аг ~ (4 ~ „г74 — 1 о откуда 3 1бт. ' (7,56) Таким образом, распределение безразмерных скоростей в ламинарной пространственной струе будет определяться согласно равенствам (7. 57) ехг(4+ — Чг) 4 (4+ — Чг) Расход через всю плоскость, перпендикулярную к оси струи, равен О = 2П ~ О го(г = 2яг ~ и,г,гтгг = 2Я1гхг ~ уо(т)4) ц = 8тгх, (7.58) о о о оп о К ЗК вЂ” .,Г пго — бога (7.59) На основании первого равенства (7.39) и (7.57) получим следующее выражение для размерной осевой скорости в произвольной точке струи: (7 До (7.
60) ' ял,14+ — Чг 1бя ) Относя осевую скорость (7.60) к ее максима:юному значеиию иа оси при той же абсциссе х = гхг, получим: ом 16 (7.61) Если в качестве условной границы струн принять поверхность, для которой левая часть (7.61) равна 0,01, то уравнение этой по- верхности булет представляться в виде г — = 8 )г Зя =. = Гя а, л (7.62) Таким образом, и здесь расход в начальном сечении (х = О) равен нулю, а затем по мере удаления от источника струи расход растат за счет подтекаиия в струю жидкости с боковых сторон благодаря увлечению движущимися частицами частиц покоящейся срелы. Максимальная скорость на оси струи будет равна 293 9 8! затгхлниз вглшвния твлл в потоке т. е.
внешней границей рассматриваемой ламинарной струи будет конус, угол раствора которого прямо пропорционален коэффициенту вязкости жидкости и обратно пропорционален квадратному корню из импульса струи. Сопоставляя (7.30) и (7.68), мы видим, что расход в плоской струе зависит от импульса струи, тогда как расхол в пространственной струе от импульса струи не зависит. На основании равенства (7.28) можно получить, что условная граница плоской струи будет криволинейной, тогда как для пространственной струи эта условная граница оказалась прямолинейной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
