Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 60
Текст из файла (страница 60)
= 0,18лй. (1.32) с) янке Е. и Э и де Ф., Таблицы функций, Гостехвздат, 1943, стр. 47. Таким образом, длина начального участка пропоркиональна числу Рейкольдса и расстоянию между стенкама. 2) елзвитив движения в ке еглоя пилиндеическоа гаага 351 $ 2. Развитие ламинарного движения в круглой цилиндрической трубе Пусть круглая цилиндрическая труба радиуса а простирается до бесконечности только в одну сторону — в сторону положительного направления оси х (рис. 91).
Начало оси х выберем в центре начального сечения трубы. Лля определения лвижения жидкости на начальном участке трубы применим систему приближенных уравнений, аналогичных уравнениям (1,1): =О, + д ! 1 д дн и— дх др дг (2,1) ди дх Множитель (l и здесь представляет собой среднюю скорость по сечению трубы.
Условия прилипания жидкости к стенкам и условие постоянства расхола через каждое сечение трубы будет представляться равенствами т т х при г=-а и х)0, -и-„ л = О, и„ = О, (2.2) а 2 ) иг дг = аЧ/. (2.3) Рис. 91. О Будем предло.чагать, что основная скорость и по начальному сечению распределена равномерно, т.
е. при х = 0 и = (1. (2.4) Таким образом, задача определения движения вязкой жидкости на начальном участке круглой трубы сводится к решению системы уравнений при граничных условиях (2.2), (2.3) и (2.4). Первое и третье уравнения (2.1) умножим на где и проинтегрируем по переменному г в пределах от 0 до а и от 0 до г, Учитывая при этом второе равенство (2.1), получим: а а дГ1др1 /ди1 (г — ~ игдг.=- — — — ) г дг+ о( — ~ дх,) ' е дх,) (,дг,)ч' о д à — 1" игдг=го,.
дх,) е (2.5) (2,6) 368 (гл. х вазвитии ланинлгного движения жидкости Равенство (2.6) может служить для определения значения поперечной скорости о„, посте того как будет определена основная скорость и. В силу условия (2,3) поперечная скорость на стенке действительно будет обращаться в нуль. Из равенства(2.5) при учете (2.3) получим следующее выражение для перепада давления: Подставляя (2.7) з первое уравнение (2.1) и обозначая (2.8) получим дифференциальное уравнение для основной скорости (2.9) Уравнение (2.9) при граничных условиих (2.2) и (2.4) будем решать также метолом преобразования Лапласа.
Полагая е-мчи(г, х) Фх =. —, р е ч Етих — Г(х = — (т+ и" да вх о (2.10) и подвергая преобразованию Лапласа уравнение (2.9) и граничное условие (2.2), получим следующую задачу для изображения: Нзп" ! Ни' р „р 2 /ди'ч —,+ — — — — и'"=- — -и+ — ~( — ), 1 Ига г Нг Л а а дг~»' (2 !1) при г= а и*=-0. Общее решение уравнения (2.11) через функции Бесселя нулевого порядка от инимого аргумента будет представляться в виде и' = А!е (г Я/ — )+ ВКз (г ф/ — )+ (/ — — ( — ) . (2.12) — =- А )/ а )о (г ф' — ). (2,13) Так как функция К„при г = О обращается в бесконечность, а скорость на оси трубы должна быть конечной, то постоянное В необходимо приравнять нулю.
Из (2.12) будем иметь; и 2) тлзвития лвижзния в ктяглой нилиндеичяской тятвв 359 Используя равенство (2.13) и граничное .условие (2.11), получим следующее выражение для постоянного А: (2.14) Подсгазлян (2.14) в (2.12), получим: Если испольаозать рекуррентные формулы 2 )о =-)ы — )т = )о )я .~/ Р а '~/— л то для изображения основной скорости частиц вязкой жидкости найдем: (2.15) Пользуясь известным рааложением и уменьшая параметр преобразования до нули, получим из (2.15): (и*), = 2(l (! — — „) . Таким образом, на бесконечном удалении от входа в трубу будет устанавливаться параболический профиль распределения скоростей по сечению, т, е. (и) = 2(l (! — —,,).
(2.1У) Обрашая преобразование Лапласа, получим следуюшую интеграль- ную формулу для основной скорости: 360 глзвитив ламинленого движения жидкости (гл. л Раскладывая подинтегральное выра>кение(2,16) пз простые дроби, получим; 7,(л у р~) — ! 1 ~77 р~) Ргз(я$I л) гдс рз, — корни уравнения 7. (и ~/ ~-) == 0, связанные с корнями функции Бесселя второго порядка (2,19) .~в(7) = 0 следующим равенством: (2.20) Коэффициенты рааложення (2.18) равны >я г, (.,>„,) т, .г,,' (ти,) (2.21) Подставляя найденное выражение (2.22) в (2.7), получим окончательное выра>кение для перепада давления др Вну > 1 ип з>>(ты) — — з>) и=! (2.23) Если воспользоваться рекуррентными формулами 2 Уз(х) = У> (х) — — 7 (х), 1о(х)+,Уа(х) =— Испо>тьзуя разложение (2.18), получим из (2.16) дчя основной скорости следующее выражение: (гт> ') я о(ы>) и(х, г)=2()(( — ',)+2(>~~>" " ! е ьй>* (2,22) 7,4,(т„) 9 2) елавитив движения в кттглой цилиндеической тгдяе 861 и учесть уравнение (2.19), то формулы для скорости и перепада давления можно также представить в виде / .
и т ".~» г). — 2 (1 г ) 4 ~~та 1 ~1 л ] с~'а "' (2.24) ~я=е др 8~~0 + 1 у гы» ы=1 (2.28) В цитированной выше работе С. М, Тарга были вычислены профили распределения скоростей для ряда се мний, представленные на 0 саб 004 Оса саб сла СИ 0'б С.б ай Рпс. 92. сб 40 0 ссд сбч ссб ссв сгс сда 004 ааб лй Рвс. 93. полученной из опытов Ннкурадзе. Сопоставление результатов расчета по формуле (2.24) с результатамн экспериментов н резучьтатами расчетов по другим формулам показано на рис. 93, ааимсгвованном рис. 92.
Каргина развития течения на начальном участке круглой трубы, показанная на рис. 92, качественно согласуется с картиной, 362 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ [гл. х наин из той же книги С. М. Тарга. Из этого рисунка видно, что картина распределения скоростей, получаемая с помощью формулы (2.24) на всем участке, количественно удовлетвори~ельно согласуется с результатами опытов. Полагая в (2.24) г = 0 и сохраняя только первое слагаелгое под знаком суммы, получим следующее приближенное выражение для скорости частиц жидкости на оси трубы: .ч,'ю 2(7 ~1 [~о (71) — 1 пи т 7120(71) (2.
26) где Т,— наименьший корень уравнений (2.19), равный Т, = 5,136. Если за длину начального участка принять то расстояние 7 от входа в трубу, прн котором второе слагаемое в фигурной скобке (2.26) будет равно 0,01, то из (2.26) получим: йа 00 (Н) — 1 Б= — 1ит', 6,600Ф0(т ) (2. 27) где [с — число Рейнольдса для круглой трубы, т. е. (70 й=— (2.28) Подставляя числовое значение Т, и значение У„(П) из таблиц ') У,(Т„)= — 0,133, будем иметь из (2.27): 7.
= 0,16а[с. (2.29) Таким образом, длани начального участка круглой цилиндрической труба пропорциональна числу )зейнольдса и значению радиуса трубы. Значение коэффициента пропорциональности в (2.29) достаточно хорошо совпадает со значением, определяемым из ряда опытов. 9 3. Развитие ламинарного течения жидкости в плоском диффуаоре г) К у з ъ м и н, Бесселевы функции, ОНТН, 1935, сгр. 217. В 9 !О главы % было рассмотрено радиальное установившееся течение вязкой жидкости в плоском диффузоре с помощью полных урзвнений, Но при этом не учитывалось возможное влияние распределения скоростей во входном сечении, через которое жидкость реально может поступать в диффузор из какого-либо отдельного резервуара.
По этой причине рассмотренное в 9 1О течение в пло- ф 31 РАзвитие лАминАРного течений жидкости в плоском диоетзоте 363 дог о до, о" 1 др о — + ' дг + г ду г г дг Гдтог 1 дог 1 даог о, 2 до т (, дг" ' г дг ' ге дте ГА гз дт)' до„г,г дот, огоч 1 дР , — Р+ — ' — "+ — '=- — —, -т+ 'дг г дт г агдт гдзо„1 до ! дяо о 2 дог! ': дгз г д» га дтз гз гд дт)' дг„ог 1 до дг г где (3. 1) В уравнениях (3.)) как слагаемые от вязкости, так и слагаемые от квадратичных членов инерции учтены полностью.
Упростим эти уравнения с помощью лишь частичного учета слагаел!ых от вязкости и от ускорения, подобно току как это лелалось в теориях смазочного и пограничного слоя. Во-первых, будем полагать, что производные от о„по г, входящие в правую часть первого уравнения (3.1) в ком- бинации дзот 1 до, о„2 Г догт дто, 3 до„о„ вЂ”,г+ — — ' — —" — —, ! — о„— г — "~ =-.,'+ — — "+ —,", (3,2) дгз г дг гз гз 'А " дг/ дга г дг в своей совокупности л!алы по сравнению со второй производной от этой скорости по углу о. Во-вторых, компоненту скорости о будем считать малой по сравнению с о„и поэтому будем йренебрегать всеми слагаемыми, солержашимн эту компоненту скорости ском диффузоре носило характер течения от источника, помещенного в вершине лиф(Рузора.
Рассмотрим теперь задачу о развитии плоско-параллельного движения в плоском лиффузоре с учвтом распрелеления скоростей но входном сечении, но не на основании точных нелинейных лифференциальных уравнений, м а с помощью приближенных линейных уравнений, зналогичных уравнениям (2.1). Пусть две прямолинейные стенки, простирающиеся в направлении оси г до бесконеч- Рнс. 96 ности, наклонены лруг к пруту под углом 2я (рнс. 94). Прелполагая жидкость несжимаемой, а ев движение — установившимся и плоско-параллельным, будем иметь из (6.6) и (6.7) главы И слелующие дифференциальные уравнения в полярных координатах: 364 развитие ллминлрного движения жидкости (гл. х в качестве множителя или под знаком производной по г. В-третьих, радиальную скорость, входящую в качестве множителя в первое слагаемое в левой части первого уравнения (3.1), заменим ей средним значением, определяемылр из выражения расхода источника на плоскости для идеальной жидкости 1) 2«г' (3 лй) где сз' -- полнын расход жидкости через сечение лиффузора.
Прн этих трех допущениях получилр из (3.!) слеаующие приближЕнные уравнения: !3 до„1 до . дэог 2«г дг р дг гэ дтт ' ! до 2~ до„ 0= — — — +--,", рдт г от' до„о, 1 доч ".+ "+ — — =о. дг г г дт (3.4) Иэ второго уравнения (3.4) после интегрирования по углу й получим: (3.5) (,') до„ « деон 1 дУ 2«г дг гэ др' р дг' д дог дг " дт — (го )+ — =-. О. (3.7) Задачу о развитии движения жиакости в плоскол~ диффуэоре будем решать с помощью приближенных уравнений (3.7). Сформулируем теперь граничные условия. Условия прилипания жидкости к стенкам будут представляться в виде: при ~7= — «о„=О, о„=О.
(3.3) Условие постоянства расхода жидкости через каждое сечение будет давать следующее равенство: ~ о„г д р = 12. (3,9) где 7(г)- — неизвестная функция от г. Продифферснцируем (3.5) по г: др д lо,л дУ (3.6) дг ' дг(г г' дг' Если подставить выражение (3.6) з правую часть первого уравнения (3.4), то первые слагаемые (3.6) согласно указанным выше допущедго„ ниям должны считаться малыми по сравнению с — "- и мы их можем дт (но только после подстановки в (3.4)) отбросить. В' таком случае из (3.4) получим: $ 31 елзвитиа ллминлгного тячания жидкости в плоском диесхзоге 365 Примем, что по входному дуговому сечению диффузора радиальная скорость распределена равномерно, т, е. при г = гз пт ее () (3.10) 2яге ' Проволя интегрирование второго уравнения (3.7) по углу еч получим слелующее выражение для поперечной скорости: д г дг,) (3.! 1) В силу постоянства правой части (3.9) условия обращения поперечной скорости в нуль на стенках будут выполнены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
