Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Проводя эти упрощения, Лин показывает, что разграничительная кривая (4.14) имеет две асимптоты при Я -+ оо. Эти две асимптоты сливаются в одну (« = О), если профиль скоростей основного (гл. х~ устоичивость лхмннлтных течении потока не имеет точки перегиба. В результате своих подробных исследований Лин формулирует правила приближенного подсчета наименьших значений критического числа Рейнольдса, за пределамн которого может наступить неустойчивость ламинарного течения в указанном выше смысле, Прежде всего по заданному профилю распределения скоростей в потоке и, = ()тв(у) надо составить следующее уравнение: ктв'(О) (3 — 2 ~1, ' ' = — 0,58 (4 Зу) гв (У,) НУ~ (у,) и решить его графически относительно у,.
Затем необходимо нз уравнения тв(у,) = с найти соответственное значение с. После этого определяется наименьшее значение критического числа Рейнольдса: для случая движения между параллельными стенками по формуле НУ(0) / шва)пу Зов' (О) а св с (4.38) Для случая ламинарного течения между параллельными стенками разграничительная кривая (4,14), отделяющая область неустойчивости (внутри) от области устойчивости, представлена на рис. 100. Минимальное значение критического числа Рейнольдса для этого случая равно гс „= — ж 3314. ид Для случая течения в пограничном слое разграничительная кривая представлена на рис.
1О1, а наименьшее значение критического числа Рейнольдса для пограничного слоя на пластинке равно ((х 320 (3 ч = — — им 1800. В работе Скрэмстед н Шубауэра ') приведены результаты измерений пульсации в пограничном слое и на основании этих из- г) 3кгашз(ад апд 8сЬЕЬаиег, Ю. Аегопачйса( 8с„т, 14, Эй 2, 1947. а для случая течения в пограничном слое — по формуле (4.39) 421 тачанив маждт паталлвльными станками мерений были вычислены значения 1с и и, отвечающие началу потери устойчивости. Точки вычисленных аначений Я и а располагались достаточно близко к разграничительной кривой на рис.
101. В заключение следует отметить, что применению метода теории колебаний к исследованию устойчивости ламинарного течения было ,ню И тд йУ йл ди 08 гл гр ю ло лр лр гр ла и лага тЬ Рис. 100. посвящено большое количество печатных статей в различных жур. папах. Однако только в последних статьях Лина ценой весьма сложных вычлслений удалось методом малых колебаний обнаружлть потерю устойчавости ламинарных течений между неподвижными дол /баю елпт дчзт лйю Рис.
1о!. параллельнымн стенками и в пограничном слое при достаточно больших значениях числа Рейнольдса. Но потерю устойчивости ламинариых течений между параллельными стенками с прямолинейным профилем распределения скоростей и в цилиндрической трубе этим методом еще не удалось обнаружить. Выполненные до сих пор (гл. х~ устойчивость ллмннлтных течений теоретические исследования устойчивости ламинарного течения в цилиндрической трубе сводятся покз только к одному заключению, что это течение устойчиво по отношению к достаточно малым возмущениям, $ б. Об устойчивости кругового движения между двумя бесконечными цилиндрами В й 7 главы !Н было рассмотрено установившееся круговое движение частиц вязкой несжимаемой жидкости.
1!ля единственной компоненты скорости в была'получена формула Сй о, = С,г+ — '. г (5.1) Если рассматривать круговое движение между двумя вращающимися цилиндрами (г = Ь и г = а), то на основании условий прилипания частиц жидкости к стенкам получим: Ь, (1 — — з) Сэ= (ь)э аеыа — Фыг ле — ьэ (5, 2) — — + 2 (С, + — ) о + ч ~ — + — — (г — ) — ] дао 1 д до о до,. дг ' до дГ (5.3) де дг ' д(гв„) д (го ) =О дг + дг Потребуем, чтобы компоненты вектора скорости поля возмущений удовлетворяли условиям прилипания, т, е. прн г=Ь и г=а е„'=О, о'=О, о'=О.
(54) Таким образом, задача исследования устойчивости кругового двикения сводится к решению системы уравнений (5.3) при граничных условиях (5.4). Будем теперь исследовать устойчивость кругового движения (5.1) 'с помощью метала малых колебаний. Прн этом будем прел- полагать, что поле возмущений является пространственным, но обладающим осевой симметрией.
При этих предположениях для поля возмущений будут иметь место дифференпиальные уравнения (2.16). Если в эти уравнения подставить выражение (5.1), то получим: ф 5) кттговов движвнив мвждт ввсконвчными цилиндглми 423 Следуя методу малых колебаний, 'примем, что поле возмущений является периодическим по отношению к координате л и положим: л„= и, соа две, ад м о, = ив а(п лге ', ад (5.5) где множители и, и. н и, зависят только от одного переменного г. Подставляя (5.5) в уравнения (5.3) и исключая из них давление поля возмущений р', получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений: = 2С,ид = — 2(С + — дд) иэ— (5.6) — д+ — д+ьи.
= О где л'= дя+ —" (5.7) При этом граничные условия (5.4) принимают вид при г=Ь и г=а ид — — О, ив=О, иа — О. (5.8) Искомую функцию и (г) представим я виде ряда Фурье — Бесселя и,(г) = ~ а ад((д,„г), (5,9) ы=д где (5.10) Е (Ь„,г) = А )д(д„,г)+АяНд(й г) Таким образом, множители Ь„ суть корни уравнения 7,(Ь„Ь) Дг,(Ь„Ь) =О.
.Рд ()д,„а) ддГд (й,„а) (5.1 1) представляет собой цилиндрическую функцию общего вида, Постоянные Ад и Аз подобраны так, чтобы были выполнены граничные условия для и,, т. е. Лд/д()д„,Ь)+ А Ддд (Й,„Ь) = О, Л,/,(й а) +Л.М,(й а) =О. (гл. кг гстойчивость ллминлгных течений где Н,„= ~ г3,*(ймг) тг. ь Подставляя (5.9) в первое уравнение (5.6), получим: ч ~ — -+ — — — ~ — + Л' ~ из~ — 2СЛ ~ а,2д(й,„г).
(5.13) Гнзиз ! лаз / 1 лб м=з Решение уравнения (5.13) без правой части представляет собой цилиндрическую функцию Л„(Ыг) = А„),(Гл'г)+А Ид(ЬГг), где Аз и А,— произвольные постоянные. Решение уравнения (5.!3) с правой частью можно представить в виде ряда Х К,.А(д.,г) ю=а коэффициенты которого могут быть определены после подстановки этого ряда в уравнение (5.!2) в виде 2С,а,„ '(Л + Лг) (5. 14) Таким образом, для функции а. мы получим: из(г) =Азу (1Л'г)-(-А М„(1Л'г)+~ Ь„,2~(й,„г). (5,15) Так как функция (5.10) обращается в нуль на границах, то для удовлетворения граничных условий (5.8) для из постоянные Аз и А, необходимо положить равными нулю.
Обратимся теперь к уравнению (5.6) для и . На основаник рекуррентных формул имеем: — „— ~е(йг) = — ~~ (йг). 1 а Уравнению для из без правой части К Гнал 1 низ г А+ ',' 1 — 0 йг~ дгз ' г Мг На основании теории рядов фурье — Бесселя коэффициенты а,„будут представляться в виде а ат = ~ гиа (г) Еа Ямг) Ыг, 1 (5.12) и„,, ь й 5) кгкговов движанив мвждт ввсконвчными цилиндглми 425 можно удовлетворить, полагая иа = Аз+ Ар/о(!1,'г)+ Агро(!Л'г). Следовательно, общее решение второго уравнения(5.6) можно искать в виле "а(г) = Аз+Аз!о (!Лг)+ МЧо (!Л г)+ Х ау~~о (Льаг) (5.16) Подставляя (5.16), (5.!5) и (5.9) во второе уравнение (5.6), полу- чим следующее уравнение для определения постоянных а(„;. +(Л' +й')Е,((г «) = ~У «(Л' + й~)а Е,(й г)+ ааа 1 ж=а +2(Са+ — ~) ~~» ., а 2 (й,„г). (5.17) аа 1 Подставляя (5.!6) н (5.9) в третье уравнение (5.6) и учитывая рекуррентное соотношение ха(х) хо(х) а Еа(х) получим: ~ (л а +ЛИ )Лр(й г)+Л(Аь+АеУо(!Лг)+А М((Лг)) =О.
(518) на=а К уравнениям (5.!7) и (5.18) необходимо присоединить два уравнения, которые мы можем получить, удовлетворяя выражением (5.16) граничным условиям (5.8) для ие(г). Дальнейшие вычисления, проведенные в работе Тэйлора '), приводят к бесконечной однородной системе уравнений для постоянных Аа, А„ и а . Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получим характеристичаское или вековое уравнение, связывающее величины р и Л'=! ха+ — с заданными параметрами аадачи вы на, (а и а. Подробный анализ этого уравнения проводится в цитированной работе Тэйлора в предположении, что разность а+а радиусов цилиндров а — (а мала по сравнению с полусуммой — .
2 На основании этого анализа получается, что если цилиндры вращаются в одну сторону, то круговое движение жидкостн будет всегда устойчивым при выполнении следующего неравенства; еаааааа ( наля. (5.19) а) Т а у!ос О., Ргос. йоу. 8ос. (А), т. 223, !923, 426 тстойчнвОсть ллминлвных твчвний (гл. х~ В работе Сайнджа ') покавано, что критерий устойчивости (5.19) можно доказать и не прибегая к предположению о малости разности радиусов цилиндров по сравнению с их полусуммой. Если же неравенство (5.19) не выполняется, т, е, если аг — > —.
ее Ьв (5. 20) или если концентрические цилиндры вращаются в разные стороны, то круговое движение частиц вязкой жидкости теряет свою устойчивость, как только число Рейнольдса (относящееся, например, к внешлз,„,1 нему цилиндру, т. е. К =. — 1 превысит своа критическое значение, достаточно близкое к значению, установленному из экспериментов. -глгг -л;гг -lлл -гйт -лгг и ьр тыл гьп лпт Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
