Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 73
Текст из файла (страница 73)
й=! Проводя осреднение равенства (2.11) по массам точек подсистемы, (2.12) получим; отдельных движений вектор то будет представлять собой вектор скорости осреднднного движения системы, а вектор ьгй — вектор скорости лульсанионного движения рассматриваемой точки с массой тй. При этом осредненное вначение вектора скорости пульсацнонного движения на основании (2.6) равно нулю. Если операцию осреднення в указанном выше смысле обозначать чертой сверху, то первое равенство (2.7) и равенство (2.6) можно представить в виде метод осгвднвния При сопоставлении равенств (2.8) и (2,!3) мы приходим к заключению, что результат осреднения существенно зависит от того, проводится это осреднение по всей системе точен или по отдельной подсистеме точек. Разумеется, операцию разбиения системы на подразделения, содержащие вса меньшее и меньшее количество материальных точек, можно продолжать и далее.
Слеловательно, наряду с первичным пульсационным лвижением точек системы можно вводить в рассмотрение вторичные пульсационные движения точек отдельных подсистем всей системы, третичные пульсационные движения точек дальнейших подразделений подсистем и т. д. От дискретной системы материальных точек перейдвм теперь к сплошной среде. При этом переходе мы должны ввести в рассмотрение плотность срелы р, элементарный объвм дя = Их' Фу' Ыг', где х', у', г' . координаты элементарного объема по отношению к системе координат с началом в центре фиксированного объвма -., коорлинаты центра объвма ".
по отношению к инерциальная системе отсчЕта х, у и г и операцию суммирования заменить операцией интегрирования, Выбор объема ". предопределяет выбор коорлинат его центра х, у, г, но ещЕ не предопределяет выбора текущих коорлинат х', у', г', поэтому обе группы координат можно рассматривать как две группы независимых переменных. Для точек, находящихся внутри объвма с, вектор истинной скорости необходимо рассматривать как функцию от всех шести указанных координат, т.
е. У= У(х, у, г; х', у', г', Г). Вектор же скорости осредненного движения частиц в объвме т будет функцией от координат центра объема и времени, т. е. ()=(г(х, у,, г), Операции осреднения нри этом определяются следующим образом; и(х,у, г, П= ~ ~ рь'(х, у,, х', у', е', е) их'Иу'ие' — У(х, у, г, г)— (2.14) ) ) рихеиуе иге Поле скоростей в объйме -. будет состзвляться из поля равных скоростей осредллиного движения и дополнительного поля переменных скоростей, называемого полем пульсаций. При этом вектор скорости поля пульсаций определяется как разность вектора истинной скорости и вектора скорости осреднбнного движения, т.
е. У'(х, у, г; х', у', г', Г) = У(х, у, г; х', у', г', Г) — (е (х, у, г, Г). (2.15) гтеюленгнон движснне Ып, ьи Если провести операцию осреднения над обеими частями равенства (2.15) и использовать (2.14), то получим: (2. 16) т. е. осреднйнное значение ленгнора сьороснги полн пульсаций в финсированном объа.гге ". равно ну,гю.
Операция осреднения (2.14) имеет тот же механический смысл, что и операция выделения из движения системы материальных точек переносного двигкения вместе с центром масс системы, и равенство (2.16) при этом выполняется строго. Будем теперь плотность среды считать постоянной в пределах рассматриваемого объема т, т. е. р=р(х, у, г, г). (2.17) Тогда из операции осреднеция (2.14), нмеюищй определенный меха- нический смысл, мы получим чисто математическую операцию осред- нения по объему 0(х, 16 г, г)= у(х, у, г, г)= — ~ 1г(х, у, г; х', у', -', г)йх'йу'дг' (218) 1 1 Г р(х. у, г, г) = —. — ~ ~ ~ р(х, у, "; х', у', г', Г)йх'йу'дг 1 р„.
(х, у, г, Г) = — — ~ ~ ~ р„.(х, у, г; л', у', г', г)дх'Лу' Лг', р„(х, у, г; х', у', г', г) Пхг йу'йг', ре(.т, у, г; х', у', г', г) йх' ггу' йг', Т(х, н, г: х, у, г. г)йх йу агг. Ре(х у (2.19) р,(х, у Т(х, у Такого рода математическую операцию осреднения по объему можно теперь проводить по всем величинам, связанным с каждой точкой объема осредненил, и даже по тем соотношениям и уравнениям, которые должны выполняться для каждой точки в объеме ",.
Следовательно, наряду с вектором скорости осреднйнного движения () можно ввести осреднйнное д'авление р, тензор осредненных напряженой р., р„, р, осредненную гнемперагнуру Т с помощью следующих равенств; 2 2) 443 метод осведнгния В таком случае под нульсациями давления, тензора наирялсений и температуры следует понимать величины, прелставляемые в виде следующих разностеи. р(х у»'х,)>',»П)=р(.,у,г; -',У', ',>).,(. р (х,у,»;х',у',»',() —.«р (х,у,г;х',у',г' Г) р (х у» () р„(х У г: х ° У, », П вЂ”.р (х,у,»; х>,у',г'П) — р (х у г т) р' (х, у, г; х', у', г', е) =-- р, (х, у, г; х', у', »', т) — р (х, у, -, с), Т (с,у,г; х',у>,г,т) -.= Т(х, у, г; х', у', г'П) Т(х у г С) (ух2о) р' =-- О, р'„= о, р,', —. о, р' =.
о, У'= О, (2.2!) 'г)аряду с матема>ической операцией осреднения по обьему можно всести также формально математическую операцию осреднения ао времени. Обозначим величину фиксированного интервала времени осреднения через Лб и пусть центр етого интервзла времени совпалает с фиксированным произвольным моментом времени с. Тогда под осредндннн чи значениялш вектора скорости и, например, давления в центре обьема с координатамя х, у и » необходимо понимать величины, представленные в виде следующих равенств; У(х,у,», С)=- —, ~ У(х, к, г, Е; р)д!', (2.22) р(х, у, г, ()= —, ~ р(х, у, », т; р)~й'.
Пульсации вектора скорости и давления по отношению ко времени в фиксированной точке с коорлинатами х, у и г будут представляться в виде разностей у'(х, у, г, т; р) = у(х, у, г, т; р) — у(х, у, г, (), 1 (2.23) р'(х, у, г, Г; р) = р(х, у, г, е; р) — р(х, у, г, т). 1 11роводя осреднение по объему всех равенств (2.20) и используя (2.19), получит [гл. хн туРБулентнОБ движение Если провести осрелнение по времени равенств (2.23) и учесть (2.22), то получим; — — ~ У'(~, у, , г; Р) И' = О, ~ (2.24) )У=О Таким образом, осреднснные ло времени значении пульсаций всех кинематических и динамических характеристик движения среды равны нулю.
Наконен, формально математические операции осрелнения по объему н по времени можно объединить и под вектором скорости осредненного движения чистил в фиксированном объелсе т и в фиксированном интервале времени йт понимать вектор, представляемый в зиле (7(х, у, г, т)= У(х, у, г, С) = т — — дт' ~ ~ ~ У(х, у, г, х', у', г' Г; Р)йх'ду'дг', (2.25) 'ьг Вектор скорости ноля пульсации в какой-либо точке внутри объема ". и в какой-либо момент времени внутри интервала времени йт булет представляться в виде разности у'(х, у, г; х', у', г', Г; р) = = У(х, у,; -', у', г', В с') — (7(х. )ч г. г).
(2.25) Провала осрсднсние (2.2б) и по объему и по времени в смысле (2.25), снова получим, что осреднйнное значение вектора скорости поля иульсаций равно нулю: у'(х, у,; х', у',, Е; е')= ъг — — " йР ", [ " У'(х, у, г; х', у', г', Г; Р)йх'йу'йг' = О. (2.27) ч лг ъс я До сих пор мы проводили осрсднение самих величин или разностей величин, отнесзнных к одной и той же точке внутри фиксированного объема и к одному и тому же моменту времени внутри фиксированного интервала времени. Покажем теперь, как должно провпдиться осреднение произведений двух величин, отнесанных к одной $2) 445 метод осгеднвння точке и к одному моменту времени, В качестве примера позьмем произведение проекции вектора скорости на ось х иа сам вектор скорости и(х, у, л; х', у', л', П Р) (г(х, у, л; х', у', г', Г; Г') Заменяя каждый множитель через сумму его осредненного значения и пульсационного значения, получим: и(г = ((/ (л, у, г, г)+ и'[х, у, г; х', у', л', г; г')) )с' К ((У(х, у, г, г)+ Ь" (х, у, г; х', у', г', г; г')).
(2.28) Если провести осрсднеиие левой и правой частей равенства (2.28) по объему и по времени в смысле (2.25) и при этом учесть (2.27), то для осредненного значения произведения и)г, отнесенного к центру объема с и к середине интервала времени йб получим следующее выражение: и )г = — (у. 0 + и' е". (2,29) Обратим внимание на то, что все осреднбнные знамения должны относиться к центру фиксироаинного обьймп и и середине фиксированного интервала аремени, Теперь мы должны уточнить вопрос о выборе фиксированного объбма т и фиксированного интЕрвала времени дй Можно, например, ф~кснроааниый объем т выбрать с помощью мысленного разбиения конечного объема, занятого средой, па меньшие п не накладывающиеся друг па друга объемы т.
Точно тек же фиксированный интервал времени ал можно выбрать с помощью деления конечного промежутка времени на Меньшив и не перекрываЮщие друг друга интервалы бй Прп таком выборе фиксированного объема и фиксированного интервала времен» операция осреднения будет овна гать переход от непрерывного отсчета геометрических координат к дискретному отсчету координат точек, совпадающих с центрами фиксированных объемоа, и переход от непрерывного отсчета времени к счбту его через интервал вреченн ВД При таком выборе объема т и интервала вреиени бг осредненные значения кинематическнх и динамических характериствк движения среды будут неизбежно претерпевать разрыв прк переходе от одного центра объбма к другому и от одного центра интервала времени к другому.
Порядок величин разрыва осредненных значений будет находиться в прямой пропорциональности от порядка величин фиксированного объвма ч и фиксированного интервала времени вй Следовательно, из восьми независимых аргументов, указанных, например, в равенстве (2.26), только четыре: х', у', гг и г', во всех стучаяк можно излгенхть непрермено в тех пределах, которые предопределяются выбором фиксированного объеиа т и фиксированного интервала времени до Галька по отношению этих аргументов можно ставить вопрос о напрерыаности и днфференцирусмости охдельных слагаемых в равенстве (2,26) и аналогичных равенствах для других кинематических и динамических характеристик движения среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
