Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Г., Труды МАГИ, вып. 440, 1939. з) Н е з з г л к до в В. Г., ДАН СССР, т. 57, М 3, 1945. 9 4! теогемы о глссвянии энвггии для ттгзтлвнтного движвния 459 и проводя затем осреднение по времени, получим: т=т +т„, (4,4) т. е. осреднвнное значение кинетической энергии полного движения жидкости в конечном объвме равно сумме кинетической энергии осрелненного движения жидкости и осреднвнного значения кинетической энергии пульсационного движения жидкости в том же объеме.
Элементарная работа массовых сил на перемещениях полного и осреднанного движения жидкости будет представляться соответственно в виде (4.5) для элементарных работ векторов напряжений, распределенных па поверхности о, получим следующие выражения: дА, —. ~ ~ 7з„° У~Ыдт, (г(А )„= ~ ~ )т„. (7НЯМ, дАз =- ~ ~ Р„и дбд(. (4.6) В ф 2 главы 1!! была доказана теорема о рассеянии энергии у — — дг~дАз+дАв — ~ ~ ~ Ентдг1 (4.7) Разлагая векторы напряжений и скорости в (4.8) на осреднвнные и пульсацнонные значения и вводя обозначения Е = д17 Ю дЯ " =1з*'дх+агя 'ду+Р 'д, д~" ~ дУ' ~ дУ' ' ~ дх +Рв ' ду + 7 ' ' дх ' (4.9) (4.10) где Š— энергия, которая рассеивается в единице объЕма в единицу времени и выражается через напряжения в виде дх+' В ду +' ' дх ' дУ дУ дУ (4.8) 460 (гл, хп ттгвтлвптиов движение после осредиепия по времени (4.8) получим; (4.1 1) Е = — Е,в+Е„, т. е.
осрелианиое значение энергии, рассеиваемой от напряжений в полном движении жидкости, составляется из энергии, рассеиваемой от осреднанных напряжений в осреднепном движении, и осредпвиного значения энергии, рассеиваемой от пульсапий напряжений в пульсапионном лвижении. Докажем теперь теорему о рассеянии энергии для осреднйнного движения жидкости. Для этого первое дифференпиальное уравнение (3.8) представим в виде Р ' .+' "э+' " +' 412 где производная по времени в девой части равна (4.13) Обе части равеяства (4.12) умиожим скалярно иа (Где дт и проведЕм интегрирование по объему ~'(у ~д(Рв+Р )+ д(Ра+Ра) +д(Р,+Рл)]д Ж.
(4.14) дх ду дл Если считать, что объем т будет перемешаться вместе с частипами жидкости, то в левой части (4.14) знзк дифференцирования можио вынести за знак интеграла и воспользоваться обозначением (4.2). Представляя векторы напряжений па площадке с нормалью п в зиле р„—. рл1 + раж + р,л, Р„= Р„( + Рэги + Р,л и используя формулу преобразования поверхяостного интеграла в объемный, получим из (4.6) выражения для элементарных работ й 41 твогсмы о гассвянии энвггии для ттгвтлвнтного движения ног Сопоставляя эти выражения с правой частью (4.14) и используя обо- значения (4.5), (4.9), получим: иТ, 1г — = — ~~(г)А ), +(г)А~), +(гтАг)„р— — ~ ~ ~ Егггттгтт — ~ ~ ~(Р„'рх+Рв ау+Рг Ог)гт.')Г!.
(4.15) Ои , Ои ди 4=Р. — +Р ° — +Р в дк а ду г дг' (4.16) Введем в рассмотрение элементарную работу. пульсаций напряжений нз перемещениях в пульсационном движении жидкости, т, е. ДА, = бс ~ ~ р.' У' б5' = = гтт ~ ~ ~ [~ — (р' У')+ — (р„' У')+ — (р,' У')~огт. (4.17) Если в правой части первого равенства (4.6) провести разложение вектора напряжения и вектора скорости на осреднвнные и пульсациопные значения и затем провести осреднение по времени, то получим; 2 ( я)с +гг о (4.18) Проведем теперь осрелнение обеих частей равенства (4,7) и при этом унтам (4.4), (4.18), (4.11) и то, что ЙАг = (гГА,)„,„.
В результате полу.~им следующее равенство: б(уьг+ 7п) = фАг)с +(с)Аэ)с +г)Аг — ~ ~ ~ (Еег+Ев)ггтсгт. (4.19) Равенство (4.15) выражает собой теорему об изменении кинетической энергии осредненного движения жидкости, содержащейся в конечном объеме. г(а основании этого равенства мы приходим к заключению, что не вся работа напряжений, распределенных на поверхности Я, идет ца изменение кинетической энергии осредненного движения жидкости внутри этой поверхности; часть этой работы переходит в энергию пульсационпого движения и в теплоту. Выражение под знаком интеграла в послелнем слагаемом в правой части (4,15) представляет собой энергию, рассеянную от пульсационных напряжений в единицу времени в единице объема в осреднвнном движении жидкости.
Для этой энергии рассеяния введем отдельное обозначение !угьвиим>нои двия!ииии ни. «и Это равенство выражает собой теорему об изменении осреднднного значения кинетической энергии полно~о движения жидкости в конечном обвдме. Составляя разность соответственных частей равенств (4.19) и (4.15), получим равенство йТи — йАч — дА4+ )) ~ (>>! — Ее) йг йг, (4.20) выражающее собой теорему об изменении осреднднного зна~ения кинетичесной энергии пульсационного движения жидкости в конечном обв|ме. Рассмотрим теперь случай движения жидкости внутри неподвижной поверхности Я„. В атом случае элементарные работы йА, и йА, будут обращаться в нули, и поэтому теорема об изменении осредненной кинетической энергии пульсационного движения жидкости представится равенством (йт„), = — Щ(ń— о!) дейг.
(4.21) Подставляя в правую часть равенства (4.10) значения пульсаций напряжений из (3.!4), получим следующее выражение для осредненного значения знергии рассеяния в пульсационном движении жид- кости Еп — — р(2(д ) +2(д ) +2(д ) + +(-'";-'+ )'+('";+%)'+( — '";+Й)']- (4.22) Если развернуть правую часть равенства (4.16), то будем ииеть выражение для энергии рассеяния от пульсационных напряженой — дУ, дӄ—,, дУ дУ Г '( — + -д--)+ ! и( — — + )~.
(4.23) Сопоставляя выражения (4.22) и (4,23), мы видим, что энергия рассеяния от вязких напряжений в пульсационном движении всегда положительна, тогда как энергия рассеяния от пульсационных напряжений может быть как положительной, так н отрицатель))ой. Это возможное различие знаков энергий рассеяния Е„и >> позволяет сделать некоторые качественные заключения об иамененин осреднйнной кинетической энергии пульсационного дан>кения внутри неподви>кной поверхности на основании равенства (4.21).
Во-первых, $4] твогвмы о эьссвяиии энвггии для тхгвэлвнтного движвния 46$ если полная энергия рассеяния от пульсацяонных напряжений во всйм объеме будет отрицательной, т. е. ) ) ~фг)т<0, то осреднзнная кинетическая энергия пульсационного движения в рассматриваемом объвме будет со временем убывать. Следовательно, для возрастания осреднйнной кинетической энергии пульсационного движения необходимо, но е>цз недостаточно, чтобы вся энергия рассеяния от пульсационных напряжений во всзм объэме оказалась положительной, т.
е, ЩФдя >О. (4.24) Прн выповнении необходимого условна 14.24) воарастанне осредненной кинетической энергии пульсапионного движения внутри неподвижной поверхности может быть тогда и только тогда, когда отношение полной энергии рассеяния от пульсационных напряжений к полной энергии рассеяния от вязких напря>кении будет больше единицы, т. е. (4.25) Если обратить внимание на прав>ле части равенств 14.22) и (4.23), то можно заметить, что 1) изменение знака вектора скорости пульсаций на обратный, т.
е. замена и', и' и ш' на — и', — э' и — ш', не изменяет величины отношения энергий рассеяния (4.25) и 2) умножение вектора скорости пульсаций во всех точках на постоянный множитель также не изменяет отношения (4,25). Это значит, что знак 1 нельзя изменить ни наменением анака вектора скорости пульсаций во всех точках внутри объема, ни умножением вектора скорости пульсаций во всех точках внутри объвма на одно и то же число, и если прн данном рзспределении вектора скорости пульсаций в рассматриваемом объйме осреднзнная кинетическая энергия пульсацнонного движения убывала, то увеличением величины вектора скорости пульсаций во всех точках в одно и то же число рзз нельзя получить вместо убывания воарастание осреднйнной кинетической энергии пульсационного движения жидкости. Совершенно иным образом сказывается на изменении отношения 1 равномерное изменение вектора скорости осреднвнного движения жидкости в конечном объэме с неподвижной поверхностью.
Если при данном распрелелении вектора скорости пульсации и вектора скорости осреднзнного движения в объЕме будет происходить уменьшение осреднйнной энергии пульсационного движения жидкости, то ттезглвнтноя движения )гл, хп с помощью увеличеняя вектора скорости осреднанного движения во всех точках на одно и то >ке число можно добиться выполнения неравенства (4,25) и, следовательно, вместо убывания получить возрастание осредненной энергии пульсационного движения жидкости в рассматриваемом объеме, Последнее обстоятельство и служит доказательством того положения, что существует критическое значение скорости осреднвнного движения жидкости в конечном объеме с неподвижной поверхностью в том смысле, что возрастание осредненной кинетической энергии пульсационного движения в этом объаме может происходить только тогда, когда вектор скорости осреднвнного движения будет превышать указанное критическое значение.
Однако существование критического значения только для скорости осреднанного движения жидкости еще не означает, что пульсационпое движение совершенно не сказывается на самой возможности перехода о> убывания осредненной кинетической энергии пульсационного движения к ев возрастанию. Лело в том, что если распределение вектора скорости осреднвнного движения жидкости в объеме с неподвижной поверхностью оставить неизменным, а распределение вектора скорости пульсаций в том >ке объеме изменять, то на основании вида правой части 14.23) можно заключить, что для одной группы распределений вектора скорости пульсаций неравенство (4.24) можст быть выполнено, а для другой — оио не может быть выполнено, Таким образом, су>цествование критической скорости осреднанного лвижения жидкости в указанном выше смысле воаможно только при тех распределениях вектора скорости пульсаций, для которых будет выполнено неравенство (4.24).
Если ввести характерную скорость Уц и характерный размер 7., то размерности энергий рассеяния Е„ и 6 из (4.22) и (4,23) буду>ч (4.26) На основании сказанного выше при выполнении неравенства (4.24) критическая скорость осреднанного движения жидкости дол>яка определяться из следующего равенства: (4.27) -е ,о Вводя в рассмотрение безразмерные энергии рассеяния Е„ и ф, 8 5! Пплузмнярнческнв теОРии гтвьг ~ьь~ь» число Рейнольдса и используя (4.28), получии равенство, определяющее критическое значение числа Рейлольдса: (4.28) Полученное равенство (4.28) было использовано в цитированной выше работе Рейнольдса для исследования устойчивости ламннарного течения между параллельными стенками с параболическим распределением скоростей по сечению. Предполагая проекции вектора скорости пульсаций периодическими функциями от координаты, ось которой параллельна скорости осредпбнного течения, и принимая некоторые дополнительные допущения при отыскании минимума правой части (4.28), Рейнольдс установил неравенство )чьр ) 258.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
