Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 80
Текст из файла (страница 80)
е. Аэ д~ ду о Р = — !4и'о' = р —., — —,- — р(э(! Мдч до (5.35) Таким образом, мы снова приходим к основным соотношениям тео- рии подобия полей пульсаций (5.25) и (5.26). Требование подобия полей пульсации будет теперь сводиться к тому, чтобы уравнение (5.32) для функции тока выполнялось бы в каждой точне, выбор которой предопределяет собой выбор величин (!', (!", А и !.
Это требование подобия полеп пульсацип будет выполнено с той степенью приближения, с которой будет справедливым само уравнение (5.32), если размерные коэффициенты этого уравнения будут пропорциональны друг другу, т, е. А Ао и,— — —, га г4 й 6) движение жидкости в плоской и кекглой цвлиндт. тгтве 475 Л. Г. Лойцянский ') показал, что соотношения (5,35) и (5,26) могут быть получены, если требование подобия полей пульсации заменить требованием подобия распределения разностей скоростей осредненного течения в слоях с шириной 1. й 6. Установившееся турбулентное движение жидкости в плоской и круглой цилиндрической трубе Как улке указывалось вь>ше, наиболее полно экспериментально изучено установившееся турбулентное движение несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе.
Именно для этого случая было получено большое количество экспериментальных данных о распределении скоростей по сечению трубы и о зависимости коэффициента сопротивления трубы от числа Рейнольдса. )йногочнсленные эксперил>ентальные данные, разнообразные по своему характеру, удалось рациональна обработать и привести в определвнн)ю связь с помощью привлечения теории полобня н рассмотренных выше полуэмпирических теорий турбулентности. В этом отношении полуэмпирические теории турбулентности сыграли и продолжают играть большую роль. Но при этом оказалось, что для рапиональной обработки экспериментальньп ланных и для получения чисто расчетным путем каких- либо новых двинь>х достаточно бьыю использовать формучу Прандтля (5.12) для турбулентного трения и формулу Кармана (5.26) для линейного масштаба нолей пульсаций; рассмотрение самих скоростей пульсациИ в этом случае не понадобилось.
Результаты такой обработки экспериментальных данных о турбулентном лзиженни жидкости в трубах полнее все~о прелставлепы в статье И. Никурадзе в), нз которой мы заимствуем приведенные ниже графики. Прежле всего были обработаны экспериментальные данные о распрелелении скоростей вблизи неподвижной степки трубы. При этой обработке была использована гипотеза Прандтзя о точ, что скорость вблизи стенки зависит прежде всего от значений физических постоянных, к которыя относятся, помимо коэффициента вязкости 9, плотности °, еща касателыюе напряжение на самой стенке тз. Из последних двух величин можно составить выражение лля динамической скорости / Вводим теперь в рассмотрение безразмерную скорость в зиле отношения скорости осрелнвнного лвижения () к динамической скорости, т.
е. (6.2) >) Лак ц я н с к и Ь Л. Г., Прнкл. матем. и иех., т. П, зып. 2, 1935. а) д ! К и та д и е 1., ГогзсЬипкзвей 356 (Ве!!айе хи иуагисЬ, а. Ш ОеЬ. йеч )идеи. !нелепа>), !932 г., русский перев. и сборнике лПраблечы турбулентнаств>, ОИТИ, 19Ъьх 476 [гл. хп тггьялвнтнок движение Отношение кинематического коэффициента вязкости к динамической скорости будет иметь размерность длины, поэтому можно ввести безразмерное расстояние от стенки в виде (6.3) Зависимость безразмерной скорости (6.2) от безразмерного расстояния (6.3) Р = Р(4) (6.4) будет представлять собой так называемое универсальное распределение скоросглей по сечению трубы в том смысле, что эта зависи7СГ гк ЛГГ ЛД ЛП Ы Цд 45 лй Рнс. 1ОЗ. мость должна оставаться одной и той же лля разных несжимаемых жидкостей, имеющих разные коэффициенты вязкости и плотности.
Если по оси абсцисс откладывать десятичные логарифмы от безразмерного расстояния, а по оси ординат — безразмерные скорости, то данные различных опытов будут располагаться вблизи прямой, уравнение которой (рис. 103) представляетси в виде у = 5,5+5,75 1п т,. (6.5) 1(а этом графике пунктирная кривая отвечает закону Блазиуса, согласно которому скорость пропорциональна расстоянию от стенки $ 6) движения жидкости в плоской и кггглой цнлиндю тгэве 477 в степени —, Следует заметит~, что сама гипотеза Прандтля при- 1 7 нималась по отношению к распределению скоростей вблизи стенки, тем не менее, опытные данные о величинах скоростей вблизи оси трубы дают точки, мало отклоняющиеся от прямой (6.5). Лля области лачинарного режима зависимость (6.4) будет иметь вид Ф =э). (6.6) Зависимость (6.6) оправдывается экспериментальными данными только да значений .Р дл дт дх ду' Если считать, что перепад осреднанного давления не зависит от расстояния у от стенки, то после интегрирования уравнения (6.7) получим линейный профиль распределения турбулентного трения по сечению трубы (6.7) (6.8) где )г — расстояние от стенки средней линии, на которой трение считается равным нулю, а -.
— значение трения на самой стенке. Используя теперь выражение (5.12) для турбулентного трения и равенство (5.26) для линейно~о масштаба полей пульсаций, получим: Р) ('д ) = тэ (1 ~ ) и 1 ="-. — э —. ЦФ ' Отсюда будем иметь дифференциальное уравнение для определения распределения скоростей по сечению плоской трубы (6. 9) й и" уу у У" 1— л л = 1О. При рассмотрении установившегося турбулентного движения несжимаемой жидкости в плоской трубе в предшествующем параграфе логарифмический профиль распределения скоростей был установлен в прелположении, что касательное напряжение всюлу постоянно и что путь перемешивания зависит линейно от расстояния от стенки.
Однако тот же профиль распределения скоростей можно получить и не прибегая к указанным специфическим предположениям, а воспользовавшись основными соотношениями для турбулентного трения и для линейного масштаба полей пульсаций. В самом деле, составляя уравнение равновесна снл осреднвнного давления и турбулентного трения на элементарный объем жидкости, можно получить у авоение (гл, хп тугвулзнтнов лвижвнив Знак минус в формулах лля 1 и (6.9) взят из того условия, что при У' ) 0 ьгч< О. Выполняя интегрирование в (6.9), получим: Постоянную интегрировании опрелелим прн помощи следующих рассуаклений.
Лля лостаточно больших значений числа Рейнольдса производная ()' вблизи стенки (у = 0) имеет достаточно большое значение, мало отличающееся от значения, отвечающего ламинарному трению —, при условии, что коэффициент вязкости и имеет весьма тр малое значение, На этом основании можно считать, конечно с некоторой погрешностью, что на стенке производная У' обращается в бесконечность. При таком предположении постоянная С будет равна 2ха С= — — —, и для производной (l' получим: (6.1 0) Проводя интегрирование (6.10) и опрелеляя постоянную интегрирования из условия задания максимального значения скорости на срелней линии, получим следующую формулу для профиля распрелеления скоростей осрелгшнпого течения в плоской трубе: = — — ~1~(1 — ф/ 1 — У )+1/ 1 —.У ~.
(6.!1) др 1 д — = — — — (гт). дл г дг (6.! 2) На рис. 104 представлена кривая распределения скоростей (6.11) при х =- 0,40 и отмечены те точки, которые получены на основании экспериментов Ннкурадзе в круглой цилинлрической трубе. Как вилно из рисунка, опытные точки располагаются достаточно близко к кривой распрелеления скоростей в плоской трубе для широкого интервала значенг!й чисел Рейнольлса от 4 1Оэ ло 3240 10а. Если перейти к непосредственному рассмотрению установившегося осрелненного турбулентного течения в круглой цилиндрической трубе, то вместо уравнения равновесия (6.7) мы должны использовать уравнение равновесия сил давления и турбулентного трения, приложенных к кольцевому цилиндру с внутренним радиусом г, внешним г+ Ьг и длиной йх, т.
е. уравнение й 6) движение жидкости в плоской и кттглой цилиндж тттве 472 Если и в этом случае предположить, что перепад осредненного давления не зависит от расстояния г от оси трубы, то уравнение (6.12) можно проинтегрировать по переменному г; получим: гдр С 2дх ' г Так как на оси трубы турбулентное трение должно обращаться в нуль, то постоянную С необходимо положить равной нулю Если радиус трубы обозначить через а, то силэ трения вблизи стенки гд будет равна (6.13) гл Вводя расстояние от стенки у, полагая г = а — у Лг и используя выражение (6.13), получим, как и в случае плоской трубы, формулу линейного 8 распределения турбулентного трения по сечению д "=то(1 ) (6.14) (6.15) где функция /( — ) для малых значений аргумента близка к еди/у1 (,а) нице, то при использовании (5.12) и (6.14) получим: Следовательно, если пользоваться равенством (5.12) для турбулентного трения и равенством (5.26) для характерной длины 1, то последуюнгие вычисления будут совпадать с вычислениями, про- сгд би ау дй /О веденными выше для случая Рис.
104. плоской грубы, и для распределения скоростей можно получить формулу (6.11) с заменой й через радиус трубы а. Если же не пользоваться формулой (5.26), а предполагать, что путь перемешивания 1 удовлетворяет соотношению 480 (гл. хп тггвглентнов движвниь Подставляя (6.15), будем иметь: , гукали „, /! у (6.16) После интегрирования получим следующую формулу для распреде- ления скоростей по сечению круглой трубы: (6.! У) Если предположить, что толщина водопоя э зависит только от физических величин еэ, р и й, то, используя метод размерностей, можно положичгп 6= а —, (6.18) где и — безразмерная постоянная, не зависящая от числа Рейнольдса, Так как внутри подслоя сила трения определяется по ги- где функция д( — ) будет одной и той же для всех гладких труб, (,а) Отдельные значения этой функции по данным экспериментов Никурадзе при различных значениях числа Рейнольдса представлены на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
