Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Первая попытка теоретического подхода к изучению турбулентного движения жидкости была предпринята О. Рейнольдсом в цитированной выше работе. Им были установлены дифференциальные уравнения осреднанного движения жидкости и введен в рассмотрение тензор пульсационных напряжений. й 3) диеевеенциельные келвнвния осгвднвн. движения жидкости 433 Вводим теперь операцию осреднения ио времени, полагая, например, т (Г(х, у, х, Г) =- У(х, у, х, С) = — ~ У(х, у, х, Г+Г')др. (3.2) т Выполняем затем операцию разложения всех входящих в уравнения (3.!) величин, кроме массовых сил, на осредненные во времени зна- чения и пульсации У(х, у, а, Г+Р) = 0(х, 1', х, 1)+ У (х, уел, С+У), 1 р (х, у, х, Г+р) =;р (х, у, х, 1)+р' (х, у, х, 1+У).
! ) (3,3) На основании определения осреднення (3.2) осреднанные значения как самих пульсаций величин, так и нх произведений на осреднанные значения других величин будут обращаться в нуль, т. е. и' == О, р' =.= О, и'и= и'(У= О. ~ (3.4) (У~'==и У'=О Самый факт использования уравнений (3.1) означает, что все величины предполагаются непрерывными и дифференцируемыми по всем переменным, а поэтому можно операции дифференцирования по параметрам в (3.2) выполнять под знаком интеграла.
Иначе говоря, операции дифференцирования по геометрическим координатам и операция осреднеяия по времени могут переставляться, В силу этого будем иметь: д д дх(Р ) дх(Р дне дре дх дх ' (3.5) В качестве исходной гипотезы принимаем, что и нри турбулентном характере движения среды дифференииа гьные уравнения переноса массы ((1.9) гл. П) и количества движения ((2,13) гл. П) остаются справедливыми. Если к тому же жидкость считать несжимаемой, то при этой гипотезе дифференциальные уравнения волноео турбулентного движения представляются в виде д(ар) д рР+ д ° (р р У)+д (р р У)+д (р р У) ! (3.1) й 3) диевзевнциальныв теьвнвния осгвднйн.
движения жидкости 455 Обе группы полученных уравнений (3.8) и (3.9) в явной форме указывают на то, что между осреднанным и пульсационным движением несжимаемой жидкости имеет место сложное взаимодействие. Сопоставляя правую часть первого уравнения (3.8) с правой частью первого уравнения (3.1), мы видим, что вовдействие пульсационного движения на осредненное движение жидкости эквивалентно воздействию дополнительяого тенвора напряжений, который получил название тензора пульсационных напрнжений. Теизор пульсационных напряжений состоит из трбх векторов: — ри'~', — ро'ь, — рт')г, 7 г (3.10) представляющих собой осреднйнные по времени векторы потоков количеств движения (отнес6нных к единице площади н к единице времени) от пучгьсационного движения жидкосгпи через три взаимно перпендикулярные площадки, проведенные в произвольной точке внутри объ6ма с жидкостью.
Если спроектировать векторы (3.10) на оси координат, то тенэор пульсационных напряжений можно представить в виде следующей таблицы девяти компонент: — ри'и' — ро'и' — рт'и' — ри'о' — ро'о' — рм'О' (3.11) (р) =— ди до '+ 1 дх' 'ео Р+ (ду' дш Р„= — Р+ 29 д Рев=й(дх+ду)' Рел — 1 (ду +де)' 1 (де + дх)' (3.! 2) Если провести разложение всех величин в (3,12) на осредненные и пульсациояные значения, а затем провести осреднение (3.12) по времени, то получим соотношения для осредненных компонент В дифференциальные уравнения (3.8) входят три вектора осредненного по времеяи тензора напряжений р„, р„и р,. Для установления связи этого тензора напряжения с вектором скорости осреднвнного движения используется вторая гипотеза, согласно которой линейное соотношение между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций остается справедливым и при турбулентном движении, т.
е. для полного турбулентного движения имеют место равенства 456 (гл, хн туувулвнтное движение напряжения ди диу — р+ 2р —, р = — р+ 2(с — ', дх ' УУ ду* ' — — , ди, Рю Р+ 2р 3' (3.13) Составляя разности соответственных равенств (3,12) и (3.13), получим выражения для компонент пульсаций напряжения ди',, до' — р'+ 2и —, р' = — р'+ 2р —, дх' УУ ду' дю' )дг + дх)' (3,14) г р иу р (' — + и — и+ и -+ и — ) = ди ди, ди ди з (де хдх "ду 'дх,) др дРУ дР дР =рр — — +рди + — "и+ — мя+ — ", дх дх ду дс сдив дия дие див х др дРуи др„„дру, =рР— — +иди + — + + У ду дх ду де др дРие др,„дР„ = рр,— — +(сои + — + — + —, с дх ду дг дие диу ди, — '+ — + — = О, дх ду дх (3. 15) где Р, Р н т. д,— компоненты пульсзционных напряжений, представленные в явной форме в таблице (3,11).
Если спроектировать левую и правую части первого уравнения (3.8) на оси координат, а затем подставить значения компонент осреднаннога напряжения из (3.13), то получим следующие дифференииильные уравнения осреднднного движения несжимаемой жидкости: й 3) дия ьвгянцилльныв зглвнвния осгвднен, движения жидкости 457 Дифференциальные уравнения осреднйнного движения (3.15) содержат десять неизвестных функций, к которым, помимо трех компонент вектора скорости и давления, относятся и шесть компонент тензора пульсационных напряжений. Чтобы систему уравнений (3.15) сделать замкнутой, необходимо присоединить лополнительные соотношения, связывающие неизвестные функции. Такие дополнительные соотношения можно, конечно, составить только с помощью тех или нных гипотез, правильность которых в ограниченных пределах может быть установлена только косвенным путя>>, например с помощью сравнения результатов расчета для частных задач с результатами соответственных измерений.
Последним обстоятельством и следует объяснить тот факт, что первые попытки введения дополнительных соотношений между неизвестными функциями в уравнениях (3.16) относятся как раз к наиболее простейшему случаю осрелнднного движения, каковым является прямолинейное движение между неподвижными параллельными стенками. Законов>ериости установившегося турбулентного движения в цилиндрической трубе, как уже было указано выше, хорошо были изучены экспериментально.
Ииеется много косвенных оснований к тому, чтобы считать законол>ерности установившегося турбулентного движения между неподвижными стенками достаточно близкими к закономерностям турбулентного движения в трубе. А раз это так, то естественно было вяачале ввести дополнительные соотношения между неизвестными величинал>и для прямолинейного осреднднного лвижения между параллельными стенками, провести соответственные расчйть> и затем сравнить результаты этих расчдтов с результатами измерений.
По этому пути н развивалнсь некоторые теории, которые получили название лолуэжлирических теорий ту)>- булекткогти. Компоненты тензора пуяьсационных напра>кеннй (3.11) составлены из проекций вектора скорости пульсации в одной точке потока. Если ввести в рассмотрение проекции двух векторов скоростей пульсации в двух точках потока, то можно образовать из них ~руину парных произведений и затем их осреднить по времени. Таким путем иы получим новый тензор, который получил название текзора яояектов связи второго порядка Ф>) = о>юу, тле о>', ов' и о'„— проекции вектора скорости пульсации в одной точке, а о,", о,," и ов — проекции вектора скорости пульсации во второй точке. Аналогичным путям можно составить группу моментов связи между пульсанионными скоростями третьего порядка > е П>уд = осо>соа.
Дифференциальные уравнения турбулентного движения с использованием моментов связи различных порядков были предложены 453 туги лвнтнок движвнии рл. хп впервые А. А. Фридманом и Л. В. Келлером г), С введением моментов свяаи увеличивается количество неизвестных функций, и количество соответственных уравнений и выравнивание числа уравнений с числом неизвестных функций могут быть произведены с помощью отбрасывания моментов высших порядков, как это, например, сделано в работе М. Д. Миллионщикова э).
Наконец, имеются отдельные статьи, в которых для теории турбулентных движений используются статистические методы. Наиболее успешно в этом направлении развита теория турбулентности в работах А. Н. Колмогорова з), А. М. Обухова '), Л. Г. Лойцянского з) и др, В статьях В. Г. Невзглядова з) была сделана попытка ввести дополнительные соотношения по аналогии с (3.13) между тензором пульсационных напряжений и тензором скоростей деформаций от осреднанного движения с той лишь разницей, что вместо постоянного коэффициента вязкости вводится переменный коаффициенщ турбулентного обвела, зависящий в общем случае от инвариантов тензора скоростей деформации. В 4. Теоремы о рассеянии энергии для турбулентного движения Внутри области, занятой жидкостью в турбулентном движении, возьмем конечный объем -.
с ограничивающей поверхностью 8. Для кинетических энергий полного движения, осреднбнного движения и пульсационного движения жидкости в конечном объбме т будем иметь выражения 2Т= р ~ ) ~ Ъ'~п'т, (4.!) (4.2) (4.3) Подставляя в правую часть (4.1) выражение квадрата скорости в виде Ъ' =(и. + и')з+((/в+ ')в+((I,+ш')э г) К ел пер Л. и Ф рид м а и А., Ргос.!. 1пгегп. Сопйг. Аррйеб МесЬ., Эей!, 1924.
з) Миллион шиков М. Л., Известия АН СССР, сер, геогр. н геол., № 4 — 5, 1941, з) Кол мог оров А. Н., ХАН СССР, т. ХХХИ, М 1, 1941; т. ХХХ1, М б, 1941; т. ХХХ, М 4, 1941; т. 52, М 8, 1946 и др. !) О б у х о в А. М„Прикл. матем. и мех., т. Ч1, вып. 2--3, 1942; Механика в СССР за тридцать лет, Гостехнздат, 1950. Там же приведена библиография советских работ по турбулентности. з) Л о и ця н с к и й Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
