Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Что же касается аргуМЕцтов х, у, г и Г, то вопрос о том, можно ли зтпи переменным придавать непрерывные значения нлн необходимо придавать только разрывные значения, решается в зависимости от того, каь осуществляется переход от одного фиксированного объема к прилежащему другому объему и от одного фиксированного интервала 445 ТУРВУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ (гл, хи к другому прилежащему или близкому интервалу времени. Если этот переход по каким-либо осиоваги~ям должон пр тг~сьодить без какого-либо иглесечения нового обьбма со старыч и без как гго-либо пгреггрытпя нового интервала времени со старым, то этим переменным приддтся придавать только Разрмаиыг значения, В жом случае нельзн гонорнть о непрерывности и дпфференцируемости отдельных слагаемых в равенстве (226) по отношению к переменным х, у, з и д По отношению к этим переменным можно составлят~ только к знечные разности ьпиематнчеснит и диналшчесних тзршшеристпк,твпжеиин среды и интегрирование заменять суммяронанием в смысле теории коне шыт разностей.
Встественно поставить вопрос, мо кно ли привести пример, когда переход от одного фиксированного объема к лртгоиу обяззтельио должен производиться без пересечения. Во всех тех случаят, в которых возникает необходимость вводить в рзссмотрение мзкроскопические частицы среды, объбмы которых не могут уменьшзтьсн беспредельно до нуля, переход от об.ьетга одной фиксироазнной истицы к объему сосед. ией частицы, разумеется. не может происходить тзк, чтобы объем соседней часпгмы излагался иа объем рассматриваемой частицьь Чтобы вести речь о мзкроскопической частице, сохраняющей а себе оснонные кагествз среды и своей индинидуальиости дога бы в течение короткого ннтервада времени бй «онечно, необходимо за соседние истицы принимать толгко чзстмцьь объемы которых не перекрывают объ(м рассмлжрияземой частицы.
Таким образом, для определения кпнемаюшесюгх характерисгик двигкенин частицы (вихрь и теизор скоростей двформации) дифференцирование проекций вектора скорости долл,но производиться тодько по относительным координатам х', у' и По, как известно, для изу гения ряда вопросоа кинематики движения средм, за исключением вопроса об ускорении часющы, можно не переходить на точку зрения метода Лагранжа и оставаться постоянно из точке зрения метода Эйлера, позволяющего изучать поле скоростей, Прп изучении полн скоростей движения среды по четоду Эйлера математическая операции осреднения, например в смысле (2.25), вводится для того, чтобы произвести гг тажиаамие вводимых кпнемзтнческит и динамических характеристик движе>шя среды.
При турбулентном движении жидкости скорость и давление в каждой точке пространства претерпенают скзчкообрззнме изменения ог одного момента времени к другому и при переходе от одной точки поля к другом. Сача по себе операция осреднения (2,25) позволяет только по скачкообразным значенияч вектора скоросют в пределах фиксированного объема з и фикснровашшго интервала времени дг получг~ть некоторое значение вектора скорости, котоРое мы относим к центру обьема и к центру интервала времени. Эффект же сглаживания мы можем получить лишь тогда, когда эта оиерациа осреднения бтлет осуществляться при непрерывном сдвиге центров фиксированного объемл -.
и фиксированного шщервала времени Дй В этом случае каждый следующий фнксировантгы(г объем будет обязательно налагаться на предшествующий в своей болыпей засти и каждый следую.дий интервал времеви будет перекрывать не полностью предшествующий шыерваз ирет1ени. Таким образом, математическая операция осреднеиия я данном случзе позволяет перейти от полей векторных и скалярных вели щи, скачкообразно меняющихся ао времени и в пространстве, к позам тех же величин, но изменяющихся достаточно плавно во времени и в пространстве. Одгтако этот переход должен компенсироваться введением в рассмотрениедополнительныт местных полей (с размерами фиксированного объбма осредиеиия) пульсаций соответственных величин, причйч эги пульсации изменяются скзчнообрззно во времени и в пространстве.
С помощью операции асреднения поле, например, вектора скорости истинного дзиженяя жидкости в некотором конечном объеме, намного превышающем объем осредиення т, залгенттется двойным полем, составленным из поля вектора осреднбнной скорости, занимающего весь конечный объем, н из нанладывающнхся частично др)т й 2! катод Осгвднвння иа друга полей пульсаций вектора скорости а окрестности каждой геометрнчесиой точки, Еще раз обрзтим аниыание на то, чгооперацияогреднения(225) можеог быть проведена над яами величинами и соотношениями, которые могут быть отнесены я каждой точке вн>'три обьдма осрвднения и к каждому моменту времени внутри интервала времени осреднения, Рзссмотрич теперь разность двух векторов скоростей. Возможны два подхода к определению втой разности.
При нервом подходе рассматриваются два вектора скорости в двух татах фиксированного объема осредпенпя и в дза чоментл времени внутри фиксированного интервала времени осредненил, во при эточ центр фиксированного обьвма осргднения огвгавтгн однилг и югм жг (координаты х, > и * — одни и те же хля двух аекторои скоростей) и центр дгггксированного интервала времени осрвднения огтается телг же самым (зючеит г берется одним и тсч же). Если в кэ. честве первогг точки четырбхмсриого пространства мы возьмем центр фиксированного четырехмерного объбиа осреднения, а вторую точку в этом же фиксированном объеме возьмем с огносителюгычги чегыречмернымн коордииэтачи х', у', з' и гг, ж разность вектороа скоростей представится в аиде Уг — >', =.
У(х, у, г, Г; х', у', г', г') — У(х, у, л, г; О, О, О, О). (2.30) Заменяя каждый из векторов (230) суммой нектара скорости (Г(х, у, г, г) осредаеиизго двилсеиин и соответственного нестора скорости пульсаиион. ного движения, пол>чпи: Уг — )гт — — У'(х, у, г, Г; х', у', г', г') — )и(х, у, л, Г; О, О, О, 0), (2.3)) т е. разность скоростей истинного движения в двух точках четырехмерного пространства равна разггостч~ скоростей обитого пульсациоииого движения в фгпгсироаанном четырехмерном объйче осреднейия. Поскольку разность (23)) может относиться к кажлой точке четыреччериого объема осреднеиня, постольку можно провести осредиеиие этои разности в смысле (2.25). Выиовняя фактически осреднеиие иад кзждым стдельныч слагаемым в левой и правой части (23!) только в счысле (2.25) и используя при этом (2,26) и (2.27), получим; Уз — У = — )" (х, >., г; О, О, О, О) (2.32) Таким образом, осредиенное строго а сыысле (225) значение разности скоростей в двух тачках фиксированного четырехмерного объем> осреднения представляет собой с обратным знаком вектор скорости пульсаций в центре объема осредиения.
Обратимся ко второму способу определения разности двух векторов скоростей. Вводим два фиксириванныл четырехмерных объема, центры которых совпадают как раз с теми то гкамп четырехмерного пространства, к которым относятся двз рассматриваемыл вектора скоросюг движения среды, и вводим две системы координат с началачи в этих центрах. Тогда разность (2.30) представится в виде Уг — Ут = )'(х+ хй» + У', х+.',г+г', 0,0, 0,0)--)г(х,У,з,г; О, 0,0, 0).
(2,33) Если заменить каждый из вектороа в правой исти (2.33) через сумиу соответственных векторов скоростей осредиеииого и пульсационпого движений, то получим: Уз — У,.=(>(х+х, у 1 у, +-", Гфг) — (>(х, у,, ()+ + )" (х + х', у + у', з + г', г + г', О, О, О, 0) — У' (х, у, л, г; О, О, О, 0). (2.34) [гд. ны туввудвнтнов даижвнив 'Уз — У,= — ~ дс' ~ ~ ~ (Г(х+хг, у+у, г+., Г+Г)+ 1 ".
5г + У'(х+ х', У+У', г-)-г', Г-)-У1 О, О, О, 0)) дхгдУ'да'— в (Г(х, у, г, Г) — У'(л, у, г, Г,' О, О, О, 0). (2.33) 1лнтеграл от скорости п>льсацяй в текущей точке формально не совпадает с тем интегралом, который по определению осредиения обращается в пулы лт дЛв ~ ~ ) У'(х+х', у+у', г+г',Г+Г', х", у", г")дх"дувдлв=О. лл (2.3б) Поскольку левые части и последние слагаемые в прааьж частях равенств (231) и (2.34) раввы между собой, то получаем следующее соотнощенне между векторами скоростей пульсаций в одной и той же точке четырехмерного пространства, но введенных двумя различными способами: У (х, у...; х, у', ', г)=и(х+х', у+у, +, г+г)+ + Ут(х+х', у+у' г+г', с+гг; О, О, О, О) — (г(х, у, г, г), (2,37) После проведения операции осреднения с помагцью перекрывающихся объ- Емоа осреднения вектор скорости осреднениаго движения можно полагать дифференцнруемым по всем переменным в возтому П(х+ х', у + ус, я+ а', Г+ Г') — (Г(х, у, г, Г) = , д(Г, д(), д(Г, д() х'а да(à — х' — + у' — + г' — + т' — + — -- — -1-...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
