Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 78
Текст из файла (страница 78)
(4.29) За характерный размер в рассматриваемом случае была взята половина расстояния между стенками. Рейнольдс указывает на то, что гидравлический радиус плоской трубы вдвое больше радиуса круглой трубы, и поэтому критическое значение рассматриваемого параметра должно быть вдвое ыеньше для случая между параллельными стенками, т. е, иметь ворядок ((пир)аь 425 ° (4.30) Таким образом, найденное расчетным путйм значение критического числа Рейнольдса для ламинарного движения между неподвижными параллельными стенками лишь на 40е)р меньше предполагаемого экспериментального значения. Заметим, что выражение (4.23) отличается от выражения (2.!9) главы Х! только множителем р и наличием знака осрелнения над произведениями проекций вектора скорости пульсаций.
Следовательно, поле возмущений, введенное нами в главе Х! при исследовании устойчивости ламннарных течений, совпадает а некотором отношении с полем пульсации, которое вводится при изучении турбулентного движения жидкости. 9 5. Полуэмпирические теории турбулентности Система дифференциальных уравнений осредненного движения несжимаемой жидкости (3.15) является незамкнутой. Отдельные попытки замкнуть эту систему уравнений в общем случае ещз не дали таких результатов, которые бы позволяли решать отдельные краевые 466 (гл. хп туРБулентнОБ данжанив задачи и сравнивать результаты расчета с результатами измерений Поэтому развитие изучения турбулентного движения жидкости шло не по линии использования уравнений движения, а по линии использования лишь самих характеристик турбулентности и по линии установления связи этих характеристик турбулентности со скоростью осредненного течения.
Именно по этому пути и развивались так называемые полуэмпирические теории турбулентности. Получившие распространение полуэмпирические теории турбулентности были развиты вначале лишь для случая, когла осреднвнное движение несжимаемой жидкости является: 1) пряиолинейнопаралдельным, т. е. и,=-и, и„=о, и„=о, 2) плоским, т, е. и 3) установившимся, т. е. (5.1) (5.2) д,", =О, их=и(у), (5.3) причем поле пульсаций при этом предполагается плоско-параллельным, т. е. ди' дв' ш'==О, — =О, — жО.
да ' дх (5.4) Если пренебречь действием массовых сил, то дифференциальные уравнения осредгшгшого движения (3.15) при перечисленных выше предположениях принимают вид дР деГГ дР др„в дх ' дуа ' дх ду (5.6) др драл драв ду дх ' ду Основными характеристиками турбулентности в рассматриваемом нами случае принято считать: 1) лве проекции вектора скорости пульсации в' н о', 2) касательное пульсационное напряжение 1 Где' ди'т Р,„= — ри'о' и 3) пульсацию вектора вихря и'= — — 1 —,— — „ Для установления связи этих характеристик турбулентности со скоростью осреднанного движения (/ были предложены: 1) творил Тензор пульсационных напряжений будет иметь в этом случае три компоненты; Рв =.
— [и'и', Рвв .-.-- — ри'и, Р„„=-- — ро'и', (5,5) полээмпигичзскиа тзотин тхгзхлвнтности 77рандлгля, или теория пути перетек>ивания, 2) теория Тэйлора и 3) теория Карлона, или теория подобия аолей пульсаций, В основе теории Прандтля ') лежит следующий ход рассуждении, аналогичнь:я ходу рассужлении о сзоболнои ллине пробега молекул з кинетической теории газов.
При турбулентном движении каждая элементарная масса жидкости сохраняет все свои качества, в том числе и вектор количества дни>кения, только до тех пор, пока она ие сместится в направлении, поперечном к скорости осреднзнного течения, на предельное расстояние Е Если же смещение в поперечном направлении этол массы превзоизвт это предельное расстояние 5 то произойдат перемешивание данной массы с окружающей массой в новом положении, в результате которого изменится и вектор количества движении этой массы. Масса жидкости, переносимая з единицу времени и через единицу пдощади пульсационным движением в поперечном направлении к скорости осреднеиного течения, будет представляться в виде произведения плотности р на молуль проекции вектора скорости пульсации 'ч>').
Эта масса о ~о') переходит из положения, в котором скорость осреднвнного течения представляется в виде У(у), в новое положение, для которого скорость осреднзнного потока будет равна (7(у+р) ==(7(у)+р — '„" — ', иу г>е Р— частное значение пути псремешивания. Первая гипотеза в теории Прандтля заключается в том, что составляющая вектора скорости пульсации в направлении скорости основного потока и' считается прог>орцнональноя разности скоростей осреднднного течения в точке У(у+ 1) и в той точке, из которой рассматриваемая масса была смещена пульсационным движением У(у), т.
е. (5.7) Прн этой гипотезе количество движения, перенесвнное пульсационным лви>кеннем в поперечном направлении к скорости основного потока, булет представляться в виде Р.з = 89~о',Р ~ , ...ау (5.8) ч= — Ы '1р — „, иу ' (5.9) >) Р г а и й >! Г, 8. !. зпйеч>, Ма%. ш Месж, >и. 5, !925. где р - — чис.ювои коэффициент.
Равенство (5.8) представляет собой простейшее в>лражение закона турбулентного переноса количества движения. Аналогичными рассуждениями можно получить выражение для турбулентного переноса теплоты !гл. хп тугаулентное даижениа где Π— температура, и для турбулентного переноса количества взвешенных в жидкости частиц получям: >>г == — рр ) и' ~!' — л, лу ' (5.10) гле а — концентрация взвешенных частиц. Во всех этих выражениях множители р, и' и 1' могут меняться от точки к точке.
Чтобы равенство (5.8) сделать более определенным, принииается вторая гипотеза, согласно которой вторая составляющая вектора скорости пульсации и' считается пропорциональной первой составляющей, т. е. о' — и. (5.1 1) При использовании двух гипотеа (5.7) и (5.!1) и при ввелеиии в рассмотрение осредненного значения пути перемешивания 1, включа>ощего в себе и числовой множитель !), касательное пульсационное напря>кение по теории Прандтля будет представляться в виде р р!а ) . ли ли лу лу ' (5.! 2) (5.13) ! = ху, и 2) турбулентное трение постоянным, т.
е. (5.! 4) ~ ЯУ вЂ” ЕЕ то будем иметь из (5.12): (5.15) Проводя интегрирование, получим формулу так называемого логарифмического профиля распределения скоростей в турбулентном Тот фант, что в (5.12) одна производная берется по модулю, а вторая — по алгебраической величине, объясняется тем, что при возрастании скорости осреднанного течения с увеличением расстояния у компонента турбулентного трения будет положительной, а при убывании скоростя †отрицательн. Таким образом, в теории Прандтля устанавливается нелинейная связь между турбулентным трением и градиентом скорости основного потока в поперечном направлении с переменным коэффициентом, представляющим собой квадрат пути перемешивания, Чтобы получить какие-либо конкретные результаты из (5.12), прихолится прибегать к дополнительным прелположениям, правильность которых в ограниченных пределах может подтверждаться только после сравнения результатов расчата с результатом измерений при соответственном выборе значений безразмерных постоянных.
Так, например, если принять; 1) путь перемешивания линейно зависящни от расстояния от стенки, т. е. У=- ' 11 "(!и у+ 1). (5.16) Эта формула хорошо подтверждается экспериментом, если для постоянного множителя в (5.18) взять значение х=0,4. (5.17) Отношение касательного напряжения к плотности имеет размерность квадрата скорости, поэтому множитель т/ — ' называется <скоростью т, касательного напряжения» или динамической скоростью (ой 8) Формула (5.16) не может применяться к частицам, находящимся на бесконечно близких расстояниях от стенки. Неопределенная постоянная в (5.16) может быть опрелелена яз условия на средней линии, на которой осредненная скорость принимает максималыюе значение, т, е.
у = Л, (У =х У.„„. При выполнении этого условия и при использовании обозначения (5.18) формула (5.16) для логарифмического профиля распределения ско- ростей представится в виде Ушах — У ! у = — — !п —. а' (5. 19) Заметим, что если в первом уравнении (5.6) пренебречь слагаемым с коэффициентом вязкости, учесть, что при гипотезе (5.7) в рассматриваемом случае компонента пульсаиионного напряжения Р может считаться не зависящей от х, и учесть (5.8) с заменой /а'!Р через — а'1, то первое уравнение, выражающее собой условие равновесия снл давления н турбулентного трения, представится в виде (5.20) Перейдем теперь к краткому изложению теории Тэйлора ').
Прежде всего автор обращает внимание на то, что в теории Прандтля принимается, что масса, перемещаемая в поперечном направлении к скорости основного потока пульсационным движением, сохраняет до перемешивания свое количество движения, которое всб же может изменяться благодаря местным пульсациям давления. ') Та у!о г !., Ргос. о! !Ье Кг>уз! 5ос 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
