Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 82
Текст из файла (страница 82)
На этом основании можно утверждать, что толщина пограничного турбулентного слов будет расти вдоль поверхности тела быстрее, чем толщина ламинарного слоя. Интегральное соотношение (7.3) для турбулентного пограничного слоя примет следующий вид: (7.7) укажем теперь на то существенное различие, которое имеет место в подходах к изучению закономерностей ламинарного и пограничного слоев для отдельных случаев. Как мы видели в главе УКК для изучения ламинарного пограничного слоя было достато ша: 1) задать распределение давления по передней части контура (или из опыта, илн из решения соответственной задачи о потенциальном обтекании контура) и 2) задать поперечное распределение основной скорости в самом пограничном слое. При этих заданиях интегральное соотношение (7.3) превращалось в разрешимое в квадратурах дифференциальное уравнение для толщины пограничного слоя.
После этого можно было определить распределение силы вязкости вдоль контура и вычислить результирующее сопротивление трения рассматриваемого контура. Если теперь мы обратимся к использованию интегрального соотношения (7.7) для турбулентного пограничного слоя, то увидим. что указанных двух заданий: 1) распределения давления в продольном направлении и 2) распределения основной скорости в поперечном направлении в слое, становится недостаточным. Необходимо егцз 3) задать зависимость турбулентного трения от основной скорости осреднвнного течения в пограничном слое.
Кроме того, различие проявляется и в задании поперечного распределения основной скорости. )Аля ламинарного пограничного слоя поперечное распределение основной скорости представлялось в виде различных простейших функций от отношения —, удовлетворжощих различным граничным ус,ювинм у ь ' на границе слоя и условиям прилипания к стенкам. При этом получалось, что задание различных по характеру функций не изменяло зависимостей толщины слоя ь, вязкого напряжения -,, и результирующего сопротивления Р от размерных величин: скорости )), вязкости р, плотности р и координаты х, а сказывалось только на значениях числовых множителей и в нсзначительной степени.
При изучении турбулентного пограничного слоя поступают несколько иначе, а именно поперечное распределение основной скорости в слое задается обычно в том виде, в каком оно угке использовалось при изучении турбвлентного движения в трубах, т. е. лнба в о Гпочленноп форме !г/н кн тхгьклвнтноз движвние !т с дробной степенью (чаще со степенью — !, либо в форме логарифмической зависимости. При этом иногда производится сопряжение турбулентного распределения скоростей с распределением скоростей в ламинарном подслое, при)яыкающем непосредственно к самой стенке, и сопряжение толщины ламинарного слоя на переднем участке с толщиной турбулентного слоя на последующем участке пограничного слоя.
Что же касается задания турбулентного трения та на самой стенке в пограничном слое, то и здесь обычно используется связь этого трения с динамической скоростью оч и те азотно~пения, ноторые были установлены для турбулентного движения в трубе.
В качестве примера рассмотрим турбулентный пограничный слйй на пластинке, обтекаемой безграничным потоком то скоростью 1/ в продольном направлении. Для этого случая первое слагаемое в правой части (7.7) обратится в пуль и для местного результирующего трения на самой пластинке будем иметь выражение -.„=р,— "~ ~ и ~У вЂ” им) Ь). з (?.8) Умножая обе части (7.8) на Ь~/х, где Ь вЂ” ширина пластинки, интегрируя по х от 0 до /.
(длина пластинки), получим формулу для результирующего сопротивления трения одной стороны пластинки в виде Л ;мы Е = б ~ то г1х =- рп ~ (/„(1/ — 1/ ) г/у. (7.9) (/х= 1/ (~) = 8,7о'(" — ) (7.11) Этому распределению скоростей отвечает эмпирическая формула для трения на стенке трубы ат те ---- ро'э = 0,0225((/,„„„— ! р(/;„,„, Если результирующее сопротивление трения поделить на площадь и скоростной напор, то получим следующую интегральную общую формулу для коэффипиента сопротивления трения пластинки: е 17.! С, = — —, = —, л! (/ ()/„— (/ ) 8у. 2Р 2 Г (7.10) И.я 1:э ь'Ра Г!римем теперь, что пограничный турбулентный слой начинается с самого края пластинки и что для распределения скоростей спра! ведлив закон —, т, е. 7 ' й 7! ттеьялантныи погьлмичг пригодная для тех случаев, когда число Рейнольдса ие превышает 10", 8аменяя радиус трубы а через толщину слоя о и максимальную скорость в трубе через скорость потока на бесконечности, получим формулу для местного турбулентного трения на пластинке ,г о = ро = О 0225р(l -~ р„а~ (7.12) Подставляя (7.1!) в (7.8) и (7,10), будем иметь: 7 г ЛЗ то = 72 81 Зх' (7.13) 7 З(ь) 36 б (7.
14) Приравнивая (7.13) и (7.!2), получим дифференциальное уравнение для толщины пограничного слоя о"„— '= -0,0225 ~ — ) (7.!5) Если провести интегрирование этого уравнения при выполнении граничного условия, что при х == 0 толщина слоя о = О, то получим; о = 0,37~ — ) х"ч (7.16) Сопоставляя полученную формулу (7.16) с формулой (2.19) главы Ч(11, мы видим, что точщина турбулентного пограничного слоя на пластинке растет быстрее, чем толщина ламинарного слоя. Подставляя выражение (7.1 6) в (7.1 2) и в (7.1 4), получим формулы для местного турбулентного трения на пластинке и для коэффициента сопротивления (7.17) Сг — 0,072( — „, ) = 0,072Я (7.18) Сравнивая формулу (7.18) с формулой (2.18) главы Ч111, мы видим, что коэффициент сопротивления трений пластинки прн турбулентном режиме пограничного слоя с возрастанием числа Рейнольдса убывает значительно медленнее, чем при ламинарном режиме.
Формула (7.18) находится в хорошем согласии с опытными измерениями именно в тех случаях, когда практичйски обеспечивается турбуленпгый режим в пограничном слое, начиная с передней кромки пластинки. Лучшее согласие с опытными данными до значения числа Рейнольдса 3 ° 10з 490 (гл. хп тугзулвнтнов дан>кение ге' я ае* примем, ~то при час гном значении т) .== т), — — известны ф =- л, и (/ж = У,; тогда будем иметь: ия =- — р У, тг (7. 20) У вЂ” (7 '4 яты з "у =-"4' "4 1 11ри этих обозначениях формула (?.и) имеег зпл Величины е и о*, з следовательно, н ч), являются неизвестными функ- циями от координаты л, а поэтому дифференцирование по перемен- ноиу х можно заменить дифференцированием по ч)и и тогда будем иметь: Если выполнить дифференцирование в праной части по верхнему пределу и учесгь, что при 4 = т1, р = ры то получим нуль.
При выполнении же дифференцирования под знаком интеграла мы должны учесть, что функции о от параметра тц не зависит, от этого параметра зависит только р,. Таким образом, будем иметь: ()~ Лл г(уг ( — т ч лчг лчг,! (7.21) можно получить, если числовой множитель в (7.18) заменить через 0,074. Если имеется участок ламинарного пограничного слоя, то опытные данные лучше отвечают следующей формуле для коэффициента сопротивлении трения: С; == 0,074 ге ' — ! 700(ч (7.19) Выше были проведены расчеты при частном задании распределения скоростей в турбулентном пограничном слое на пластинке. Но эти расчеты можно провести и при общем задании распределения скоростей в безразмерных величинах о и тп введйнных в начале Ь 6.
Полагая 9 7) ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ 491 Введдм обозначение 7(тп) =- — ' ~'Раг( — 2 1ЙИ, 'б (7.22) тогда иа (7.21) получим: ° 1 =,— ~'7(тн) «тн =- Г ф(.2), 1. ' 1 а (7. 23) тле через т, мы обозначили частное значение параметра 2)1, отвечающее частному значению координаты х. Таким образом, число Реинольдса, соответствующее длине пластинки 7., равно У,ф 1те = —,', = Ф ( Ь1) (7.24) Подставляя в формулу для результирующего сопротивления пластинки ь Р=Л~-.„)х и (71' значение -.„= рн*1 == 7 —,; н значение г(х= ого(тн)Г)т)1, получим: т1 1 ну(ч ), Р =- Б С/13 ~, атн =- лр Отф ( 1,), Ч1 а (7.25) Отсюда лля коэффиниента сопротивления трения пластинки будем ииетьл 2ч, 24 (Н2) Сà — -- — ф(ть) ==— 1713 ' 1 Ф (На) ' Таким образом, для вычисления коэффипиента сопротивления трения пластинки при заданном распрелелении скоростей в общем яиле необходимо выполнить три квадратуры (7.22), (?.23) и (7.23) и исключить параметр та из соотношений (7.24) и (7.26), Указанные квадратуры можно выполнить не только лля рассмотренного выше степенного закона раснрелеления скоростей, но и для логарифмического закона распределения скоростей в виде 12 = а)п(1+от), (7.27) а .= 2,495, /> = 3,93, гле гюстоянные, волобранные из условия лучшего согласования с опытными данными, имеют значения сВОБОдные туРБу.чентные ДВнжения чьи Так как нри задании (7.27) получается сложная формула для коэффициента сопротивления трения пластинки, то на основании проведднных вычислений была прелложена интерполяционная формула в виде 0,472 (!и й~)е~ (7,28) Опытным данным чисто турбулентного пограничного слоя на пластинке беа участка ламинарного слоя в носовой части хорошо отвечает также и степенная зависимость з виде Сг — — 0,0307 Ку, ".
(7.29) На рис. 108 приведены ~рафики зависимости коэффициента сопротивления трения пластинки от числа Рейнольдса, отвечающие формулам (7.19) (числитель второго слагаемого в этой формуле обозначен через А), (7,28) и формуле, аналогичной формуле (6.28). На этом рисунке различными значками отмечены данные экспериментальных измерений, проведднных многими исследователями. В ряде работ интегральное соотношение (7.7) было использовано и для приближенного определения закономерностей турбулентного пограничного слоя на крыле с учйтом перепада давления' ).
9 8. Свободные турбулентные движения !) Л ой цян с к н й Л. Г., Прикл. матем. н мех., т. !Х, !945. В предшествующих параграфах рассма~ривались те случаи установившихся турбулентных движений вязкой несжимаемой жидкости, которые имеют место при наличии твердых стенок. Однако в прироле и технике встречаются случаи установившихся турбулентных лвижений жнлкостей и газоя без ограничивающего влияния твердых границ и без наличия продольных перепадов движения.
Характерныии примерами таких движений могут служить: 1) движение частиц жидкости в струе, вытекающей из какого-либо резервуара в пространство, занятое той же самой жидкостью, но нахоляшейся в покое на достаточном удалении от отверстия, 2) движение жидкости позади выпуклого тела на достаточном от него удалении при обтекании этого тела безграничным потоком, т. е. движение в так называемом следе за обтекаемым телом. Эти два случая сзободных журйулентных движений имеют общие черты, заключающиеся з том, что внешняя граница, отделяющая область турбулентного движения жидкости от остальной части жидкости, постепенно расширяется по мере удаления в случае струи от отверстия, а в случае следа — от обтекаемого !ела, и в том, что распределение основных скоростей по сечениям, перпенликулярным к основному направлению течения в струе 494 ггл.
хп тхевхлвнтноа движение и следе, в обоих случаях прелставляется подобными друг другу кривыми. различие же нх заключается лишь в том, чта в случае струи окружающая ее жидкость тормозит движение частиц в струе, и поэтому максимальное значение основной скорости будет иметь место на средней линии, или оси струи, а в случае следа будет происходить наоборот: окружающая след жидкость своим движением будет поддерживать движение примыкающих слоев следа, и поэтому на средней линии, или оси следа, основная скорость будет иметь наименьшее значение. К этим двум случаям сзоболного турбулентного движения были применены полуэмпирические теории турбулентности и результаты распахов очень хорошо оправдывались результатамн намерений в соответствующих опытах. Как уже было указано в 4 б, лучшее подтверждение в рассматриваемых случаях свободной турбулентности получила теория Тэйлора, основанная на гипотеае переноса завихренностн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
