Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Под достаточно малой областью будем разуметь область, линейные размеры которой малы по сравнению с масштабом всего потока 5. В достаточно малой области, зафиксированной внутри области всего потока, возьмем две точки О и М, из которых первую будем считать фиксированной, а вторую текущей, т. е. вторая точка может быть совмещена с любой точкой внутри фиксированной малой области. Вводим в рассмотрение разность векторов скоростей в двух указанных точках в виде ~гоп ~~ г(М) 1 (О)' (9 41 Эта разность векторов скоростей (9.4) как раз и принимается в статистической теории турбулентности А.
Н. Колмогорова в качестве исходной кинеиатической характеристики так называемой локальной структуры турбулентного потока. Из этой разности векторов скоростей составляются затем с помощью операции осреднения по времени статистические хариктеристики локальной турбулвктности, аналогичные моментам связей проекции векторов скоростей пульсаций в двух точках, введенным впервые в цитированной выше работе Л. В. Келлера и А. А. Фридмана и широко используемым в работах Л. Г. Лойцянского '), Л. И. Седова з) и др. При выводе общих уравнений турбулентности Рейнольдса в ф 3 и в последующих параграфах в качестве исходной кинематической характеристики турбулентности был принят вектор пульсации в виде разности истинного вектора скорости и вектора скорости осреднзнного течения в одной и той же точке, т е.
(9.5) ьг' = )г(М) -- Ъ'(М). При сопоставлении смысла двух исходных кинематическнх характеристик турбулентности (9.4) и (9.5) можно придти к выволу, что 1) .1 о З ц я н с к н й Л. Г., Тр> ды ВАГИ, ДЭ 440, 1939. з) Седа з Л. И., Методы подобия н размерности в механике, Гостехиздат, 19Ы, 5 91 сТРуКТуРА тугвудяитно!о нмг1ги ьг характеристика (9.4) полнее и более правильно может отражать основные свойства турбулентности, чем (9.б), и к тому же эта характеристика непосредственно может определяться в опытах с помощью соответственных приборов для каждого момента времени, тогда как для определения характеристики (9.б) необходима целая серия экспериментальных измерений и соответственных расчйтов.
Последнее обстоятельство служит решающим аргументом в пользу исходной характеристики (9.4). Кроме того, следует учесть то, что в правой части (9 4) находится разность векторов скоростей действительного движения в двух точках, тогда как в правой части (9.5) находится разность одного вектора скорости действительного движения и второго искусственно введзнного вектора скорости осредненного течения. Следовательно, разность (9.4) характеризует двйствитегькое относительков движение одного элгмвнтирного обьлма жидкости ио отношению ко второму. В частности, проекция этой разности на направление отрезка, соединяющего две рассматриваемые точки 0 и М, будет представлять собой относительную скорость сближения или улаления друг от друга элементарных объемов жидкости, а проекции разности (9,4) иа направления, перпендикулярные к указзнному отрезку, будут представлять линейные относительные скорости от вращения и сдвига одного элемента относительно другого.
И, наконец, последнее преимущество исходной характеристики турбулентности движения (9.4) перед характеристикой (9.5) заключается в том, что она учитывает влияние лишь тех вихрей, линейный масштаб которых меньше характерного масштаба фиксированной малой области, поэтому она и служит характеристикой локальной турбулентности. Вихри, масштабы которых больше масштаба фиксированной области, будут вызывать лишь поступательное движение всей малой области, т. е.
индуцировать примерно одинаковые скоростк в точках 0 н М, и по этой причине эти скорости будут выпадать при определении разности (9.4). В качестве первых статистических характеристик локальной турбулентности принимаются осреднвнные по времени значения произведений проекций разности (9.4) на оси координат инерциальная системы отсчета (х,, х, хг). Совокупность таких статистических характеристик составляет структурный тенэор второго ранга локальной турбулентности со следующими составляющими; Р, = свьтгу = [о,(М) — о,(0)[ [о)(М) — о (0)1, (9.6) где ог(М) и о (0) представляют собой проекции векторов 4г(М) и )г(0) на указанные оси координат, В качестве вторых статистических характеристик локальной турбулентности принимаются величины Р,гь — — [о,(М) — о,(0)[ [ог(М) — ог(0)1 [оь(М) — ол(0)[, (9.7) 33 заг звв н А сгткгн 696 (гл.
хп ттгвглвитиои движвкив представляющие собой осредиеиие по времени значения произведений трах проекций разности (9.4) на указанные оси координат. Если предположить, что вектор скорости действительного движения представляет собой непрерывную функцию от пространственных координат, то в малой окрестности фиксированной точки О вектор относительной скорости (9 4) булет представляться в виде ьг(х>+с>. ха+ чя хз+(з Г) — »(хм хя хз, Г) им а=в а=з ы=з =1~~%)+21 Х~'-Ь.",;.)+ ( ) а=-> А=> в>-.> т.
е. исходная характеристика движения жидкости будет зависеть только от времени и относительных координат, и в этом смысле движение может считаться киисжитически однородным. При этом предположении (9.9) все статистические характеристики (9.6), (9 т) и др. также будут зависеть только от времени и относительных координат точки М по отношению к О, и поэтому в этом смысле движение может считаться и статистически однородкым в той малой окрестности, которая целиком расположена виутри фиксировапной малой области.
В частности, для составляющих структурного теизора второго ранга (9.6) будем иметь выражение «-> в .=3 а — 1 » — а=з ы=з >=> а=>»=»=> Определение локально однородной турбулентности можно дать и независимо от требования непрерывности вектора скорости действительного движения и независимо от требования малости окрест. ности точки О. Л именно турбулентное дви>кение назь>вается локильно одно)>одныл>, если все статистические характеристики движения будут функциями только от времени и разностей абсолютных коордииат двух точек, причем эти функции и их коэффициенты не будут зависеть от расположенкя фиксированной точки внутри указанной выше малой области.
При таком определении составляющие структурного тензора второго ранга должны рассматриваться прежде всего как функции относительных координат точки М по отношению к точке О. Что же касается зависимости статистических характеристик турбулентности от времени, то такая зависимость, вообще говоря, может допускаться при скользящем интервале времени осреднения. Из миожества локально однородных турбулентных движений можно выделить класс наиболее простейших турбулентных движе- % 9! ствяктзеа тя гзлвнтно1о изи~ги ниц, удовлетворяющих требованию изотропности.
Предварительно сошлемся на некоторые опытные данные. Измерения составляющих вектора скорости ветра в природных условиях показывают, что величины осреднанных по времени квалратов горизонтальной и вертикальной составляющих скоростей различны, но зто различие уменьшается по мере удаления от поверхности земли. Таким образом, происходит выравнивание осредпвнных по времени квадратов проекция вектора скорости пульсация.
Такое же выравнивание квадратов проекций вектора скорости пульсаций было обнаружено с помощью ультрамикроскопа з круглой трубе по мере приближения к оси трубы. Наконец, в аэродинамической трубе, где турбулентность регулируется решеткой, устанавливается такое турбулентное движение, при котором осредненные по времени величины квадрвтоз трЕх проекций вектора скорости пульсации равны между собой. Это свойство рзссматриваемых зилов турбулентных движений и названо иэотропностью.
Таким образом, пгурдулентное движение жидкости считается изотропним, если значение осреднднного по времени квадрата проекции вектора скорости пульсации не зависит от пшго направления, на кото1юе проектируется вектор скорости пульсаций. Возьмем в ланноя точке произвольное направление с направляющими косинусами сов (з, хс), соя (д, х ), соз (Л, хз). Тогда проекция вектора скорости йульсации на зто направление будет равна о, = о, соз(з, х,)+о., сов(Ь, хе)+о,'соз(д, хз). (9.10) На основании данного выше определения изотропности турбулент* ного движения мы должны иметь: (оь) =(ос) =(оь) = (оз)я. (9.!!) Если обе части (9.10) возвести в квадрат и провести осреднение по времени, то для выполнения условия изотропности (9.11) необходимо, чтобы осреднанные по времени значения произведений проекция вектора скорости пульсаций на две различные оси были бы равны нулю, т.
е. (9,12) о,оз — 0 (! ~ У). Условия (9.12) означают, во-первых, то, что в изотропном турбулентном движении жидкости нет статистической связи (корреляции) между проекциями вектора скорости пульсаций на различные оси и, во-вторых, то, что тензор турбулентных напряжений для изотропного движения жидкости будет состоять только из одного нормального напряжения, величина которого к тому же не зависит от ЗЗь 1гл, хп ттевтлвнтнов движвнив С'-."',) =С' —:;) =С' — ".'.) =-' Сдх.,) =Сд —.,) =Сд —..) =С,э-.-,) =Сд —.,) =С) —,,) = а' (9. 13) Осреднвнные значения произведений производных, удовлетворяющих также условию круговой замены осей координат, будут равны между собой, а если произведенив не удовлетворяют условию круговой замены осей и меняют знак при замене, например х, через — х,, то их осреднанные по времени значения должны равняться нулю. На основании этих требований будем иметь: ! до, дов два ох, Ф доа до,, до„до, дхвдхв дхгдхв Ф дов до доз до1 дха дха дха дх, дхьдх, = ав до, до, дхс дха дхс дхт (9.14) до.„до, — — =- О, дхз дхв Связь между введенными величинами а,, аэ, аз и а, можно устано.
вить, если, во-первых, использовать уравнение несжимаемостн до до. дов — '-; — — в+ — ' = О. дх, дха дхз Если возвести в квадрат левую часть этого уравнения, произвести осреднение по времени и учесть приведднные ниже равенства, то ориентации площадки, на которой определяется турбулентное напряжение.
1)энное выше определение нзотропной турбулентности движения касалось только величин квадратов самих проекций вектора скорости пульсации. Более развернутое определение изотропности турбулентного движения включает в себя и требования, накладываемые на производные от проекции вектора пульсаций, а именно: турбулентное движение жидкости называется изотролным, если осрсдндккые значения квадратов проекций вектора скорости лульсаций и их аврвых производных ло координатам выбранных осей остаются неизменными при повороте этих осей и ари изменении их ориентации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
