Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Согласно этой теории в правой части уравнения осредпснного прямолинейного течения за счет влияния переноса аавихренности появляется дополнительное слагаемое в виде веуя —, дзГI,. (8.1) где А — коэффициент турбулентного обмена, о' — поперечная составляюшан вектора скорости пульсации и ) †дли пути перемешивания завихрбнностн, Во всех полузмпирических теориях турбулептности принимается гипотеза дУ„. о' -) — "'. ой Р 9) дР о дх н чго дополнительное слагаемое, обусловленное влиянием поля пуль- саций на осреднениое течение, должно браться в виде ргэ —" — ", . е'г) ФУ„, г)у ду2 ' Если при этом перейти к обычньщ обозначениям проекций вектора скорости осредненного течения, то задача изучения движения жидкости в плоской струе илн плоском следе будет сводиться к решению Таким образом, для изучения турбулентного движения жилкости н струе или в слеле за обтекаемым телом могут быть использованы > равнения, аналогичные уравнениям (7.Б) турбулентного пограничного слоя с той лишь разницей, что в большинстве случаев давление в струе или в следе можно считать постоянным, т, е, можно полагать 495 з 8! своводньш тьгвьлантныв движания следующей системы уравнений; ди ди а ди деи и †.+ о — = — (з — —., дл ду ау дуя' ди да дх ду — + — =О, (8.3) (8.5) !'зсчеты, провеленные при использовании предположения о постоинстве пути перемешивания в каждом сечении струи и слепа, привели к результатам, хорошо согласующимся с результатами опьпов в ряде случаев, поэтому это предположение стало исхолным в теории свободных турбулентных лвижений жидкости.
Вторым исходным положением при изучении движения и<идкости в свободной струе и в следе за обтекаемым телом явилось предположение о наличии подобия в распределении по сечениям струи или следа отношения основной скорости в произвольной точке сечения к основной скорости, например, на средней линии струи или следа.
Если через д(х) обозначить половину условной ширины струи или следа, через и„, -- значение основной скорости на средней линии и через т, — отношение расстояния у рассматриваемой точки в данном сечении до средней линии к половине ширины струи, то указанная выше гипотеза о полобии в распределении' отношения скоростей в соответственных точках различных сечений струи или слепа будет представляться в виде (8.6) Наконец, в теории свободной турбулентной струи используется предположение о постоянстве полного потока вектора количества тле ! — длина пути перемешивания или характерный линейнь(й масштаб полей пульсаций является неопределенной функцией от координат. Заметим, что при использовании теории Прандтля, основанной на гипотезе переноса количества лвижения, правая часть перяого уравнения (8.3) имела бы вид ! '"т — 1(~( ") ~, (8,4) г,ш (г — путь перемешизания количества !!виженкой по Прандглю.
Правая часть (8,4) будет совпадать с правой частью первого уравнения (8.3), если лопустим, ~то !) пу и перемешивания (г количества лвиженин не зависит от координаты сь г. е. для каждого сечения струи илн следа за обтекаемым телом характерный линейный масштаб нолей пульсаций остается однил1 и тем же, но может изменяться при перехоле от одного сечении к лругому, и 2) путь перемешивания завихренности свазап с путем персмешпвання коли!сства лвиження равенством 496 (гл. хп тхгвхлентное движении движении основных скоростей по каждому сечению струи. Ллн случая плоской струи зто предположение будет представляться в виде ь ри йу = эе = сопз1, -ь где эз может бьмь названа импульсом струи.
Расчеты, проведенные с помощью перечисленных выше трех гипотез, привели к результатам, хорошо согласующимся с результатами опытов, но именно для той области струи, которая достаточно удалена от отверстия резервуара и не содержала в себе так называемого ядра постоянных скоростей. Теория турбулентной свободной струи с учетом образованна начального участка подробно развита в работах Г. Н. Абрамовича '). Подставляя выражение (8.6) дла основной скорости а (8.7), получим: Уе = 9ри',-„б~Уь( !)г1ть Таким образом, ширина плоской турбулентной струи связана со скоростью частиц жидкости на средней линии следующим соотношением: би„, = сопз1. (8.8) Для пространственной турбулентной струи кругового сечения связь радиуса сечения струи со скоростью частиц на средней линии будет представляться в виде б и,в — соп51. (8.9) На основании теории размерностей и гипотезы подобия было сделано предположение о том, что ширина струи возрастает пропорционально расстоянию х от отверстия или от особой точки, названной полю(ом струи, и зто предположение нашло хорошее подтверждение в большинстве случаев.
Таким образом, можно положить: Ь=сх, (8.!О) тле с представляет собой безразмерную постоянную, характеризующую степень турбулентности рассматриваемой плоской или пространственной струи и определяемую только из опыта. На основании (8.8), (8,9), (8.10) можно заключить, что скорость движения частиц по средней линии плоской струи будет убывать ') Абра мович 1. Н., Турбулентные свободные струп жндхостен и газов, Госэнергопэлзц 1948.
СВОБОДНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВНЖРНИЯ обратно пропорционально корво квадратному ив расстояния х, т. е. "ж— (8,11) а скорость движения частиц по оси пространственной струи кругового сечения будет убывать обратно пропорционально первой степени этого расстояния, т. е. и„, = —. (8.12) Таким образом. основные характеристики плоской и пространственной турбулентной струи онределяются с точностью до постоянных равенствами (8.10), (8,11) и (8.12). Следовательно, к лифференциальным > равнениям (8гд) для плоской струи необходимо обращаться только для определения распределения проекций скоростей по сечению струи с учетом граничных условий.
расчеты в отдельных случаях покааали, что правая часть первого уравнения (8.3) без большой ошибки может быть заменена линейным слагаемым, содержащим лишь вторую производную от искомой функции. Для этого достаточно предположить, что коэффициент турбулентного объема А в (8.1) остается почти постоянным при переходе от одной точки к другой в том же сечении струи, и заменить произди водную — в (8.2) через среднее значение, равное отношению разду ности скорости на средней линии струи и скорости на грнице (из — — О) к ширине струи, т. е. ди нж ду=а' (8.13) Путь перемешивания 1 можно считать пропорциональным ширине струн, т. е. 1 — Ь. (8.14) а уравнения (8.3) примут вил и д- 1-од — — — Ии„,(х) Ь(.х)д —,~, ди ди ден дх у "' ' дуя' 0 дх ду (8.16) Если ввести функцию тока, полагая де дф л —.- — ', и =.
ду' ' дх' При этих лвух дополнительнь!х предположениях коэффициент турбулентного обмена будет представляться в виде А =;и'1= йриж, (8.!5) (гл. Нн тУРБулентнОе движение (8.19) Так как (Гз)" =- 2ГЯГ+ 2Г', то после двукратного интегрирования уравнения (8.19) получим, Г' = —,— ', Гэ+ С, Ч+ Се (8.20) Постоянные интегрирования получим из граничных условий: 1) функция тока ф на средней линии обращается в нуль: при т) = — 0 Г(о)) = О, 2) продольная составляющая скорости и принимает экстремальное значение гга средней линии струи. при о) = 0 — = О, Го(ч)) = О, ду и 3) значение продольной составляющей на средней линии струи обоаначается через иян т. ел при о) =- 0 и =- иян Г'(т~) = 1, При выполнении перечисленнь|к условий уравнение (8.20) примеч пнд Г'. — 1 — -- Г'з.
чя то при использовании (8.6), (8.10) и (8.11) будем иметь: У и = ~ и ду = Ье,„( /(т1) дт, == Ьи Г(ч)) —.— Осх' Г(т~). (8.17) о о При этом значение функпии тока на средней линии положено равным нулю. Выполняя днфференпирование по коорлинатам х и у, получим: о = — — = — ~~г ~ — х 'оГ(т))+ х'-"Г'(т~) — '~ = дф дх (2 ~1 (2 ==- — 8--+ Г(н) — ~Г'( )~.
и = — = — = /)х-"Г'(т), — = — 8х-Т ~ — Г'(т))+ гГ' (г)1, З х Г ( Ч ) 1~ Г ( ) ~ Г ( ) 1 Таким образом, первое уравнение (8.10) булез иметь вид Г"Г+ Г'о = — — Г"'. с 4уу своводныа туевулантные ляижания Если провести интегрирование и учесть условия !) и 3), то получим; /а 2~гУ а — 1: илн Р.=-2 ~/ йг( у ~ т)) (8.21) Используя (8.18) н (8.21), получим следующие выражения для продольной и поперечной составляющей вектора скорости осредненного течения в рассматриваемой плоской струе: =- -()= - е(-,'1~'::,') и =- — гиж) —, Р()) — ))" (т!)~ = Г! =-.~'«а(~К'ь )-К'-'- (2~'; )1 (8.22) Чтобы исключи!к из рассмотрения постоянные й и с, будем относить расстояния произвольной точки в сечении струи от средней линии к расстоянию той точки от оси, в которой продольная составляющая равна половине скорости на самой средней линии, т е.
у=1', и==.—,им=и,„сИ ( — „1, — — ). ГХу, При таком предположении будем имет!и сИ(, — „)=Г 2, — — ж 0,88, У 2к угас у 2 )' а ' !'' г) Т о ! ! ш !си !у., Хензсй. 1. Апй. Л!зщ и. Л1есн., г, 1у, !926. Зго решение дано в книге: лов панский д.
Г„лэроднначпка н~гра1н|чне~о слоя, Гостекнзааг, !У4!. и распределение продольной составляющей скорости по сечению плоской струп будет представляться в виде и = им сИ (0,88 ф). На рис. 100 график зависимости (8.23) представлен пунктирной кривой, а сплошной линией представлена та зависимость, которан была получена Толлмином ') с помощью числе>щого интегрирования 500 1гл. хп туРБулентнОе движение уравнений без использования предположения о постоянстве в сечениях струи коэффициента турбулентного объема А. 1)аниме экспериментов, представленные на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
