Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 67
Текст из файла (страница 67)
40) $ 3) твчяник с пгямолиняйным пгофнлзм глспгвдвлвния скоеоствй 407 Подставляя значения и' и о' из (3.41) в выражение (3.38) для М, получим: М = — — ав(хз — езуа) з)п 2е+ — еавхеуе соз 2а. (3.42) л Для вихря поля возмущений будем иметь: '-( — '+ =-)'+ 2а ~ — '+ е) ~ — '"+ еу;) — '„— '"- —, +( — а+ ау'"') —,( — „) .
(3.43) 2а' = 4а' = (3.44) При интегрировании по полярному углу у найдем: х',еда= ~ г-',соззаьйз=-иг-,', ~ у';ьйь= ( г';з)п' аНу=яг', е е е о хеуз Ну =- го ~ з)п у соз а оу = О, (3.45) 4 — 3 рь ь)а = — гге, — 3 ге хеУО ФР = 4 Используя (3.42), (3.43), (3.44) и (3.45), получим: ь МНБ= — е ~ ~ МгьгЬй'з'= — '(1 — ез) з!п 2а ~ маг~Иге, (3 46) ь — )Й' ') ~ 4а' ь(5=-4е ~ ~ а' гзй~лге=2ве( — +е~ ~ ~аегь+аг,— )ь(ге+ Я о ь + — '(3+2ез+Зеь) ~ гз ( — ) ь(го. (3.47) е Элемент площади 45 на основной плоскости будет связан с элементом площали ь)5а на вспомогательной плоскости соотношением 408 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМННАРНЫХ ТЯЧЯНнй (ГЛ. Х1 обращается в нуль, а в центре а (а го+~РЛг "'о о Следовательно, равенство (3.47) примет вид ь ~ 4а 113= — (3+2оо+Зоо) ~ ( — ) гоФ, (3.48) я о Вводя безразмерную независимую переменную го Ь получим: 1 ~ М1!о = —" Ьо — о(1 — оз) ап 2а ~ аяза с(5, 2 а я о 1 ~4а 1го= 4 — (3+2оз+31')Ья ~ ( — ) Рс15.
(3.49) (3.30) Иа основании (3.49) можно заключить, что указанное выше требование о положительности интеграла от М будет выполнено, если коэффициент преобразования е будет меньше единицы, Обозначая отношение интегралов череа л, т. е. 1 55( — ) лз — =д ) нагано о (3,31) и используя интегральное соотношение (3.33), получим следующее равенство для критического числа Рейнольдса: Шк аао 3+ 2Ф+ Зо' 2Ь1 оо(! — 15) 51о 2о' Такии образом, значение (ч,р поставлено в зависимость от размеров вихря Ь, от вида вихря о, от положения большой оси в и от распределения величины угловой скорости вихря по радиусу а (5). Исследуемое ламинарное течение с прямолинейным распределением скоростей будет заведомо устойчивым, если )ч,г, определяемое Так как на границе кругового вихря а остаатся конечной, то 15а наго+ г';а — = лто — — (ааф, ! л 2 1!го ь — ",! =0.
яо о 9 3) твчвния с прямолинейным проеилвм рлспрвдвлзния скоростей 409 Рнс. 99. этом малая ось должна быть наклонена к стенкам под углом « (рис. 99), Используя уравнение верхней стенки У = — 19 «Х+ л 2 сов а н уравнение эллипса хз ув ззв+ Ьз можно получить следующее равенство для квадрата наибольшего значения радиуса вихря на вспомогательной плоскости: (У сов з а + Ф в1па а Подставляя (3.53) в правую часть (3.52), получим: сова а+ зв в1пз а 3+ 2Н+ Ззз Ып 2« зз (1 — зз) (3.53) (3.54) Заметим, что при фиксированном значении в первый множитель в правой части (3.54) принимает наименьшее значение при 1 19а = —.
(3.55) Таким образом, положение малой оси вихря ставится в зависимость от значения коэффициента в сжатия кругового вихря. Подставляя равенством (3.52), будет иметь наименьшее вначение. Следовательно, теперь необходимо установить те значения параметров вихря Ь, в, « и е (з), для которых правая часть равенства (3.52) приобретает наименьшее значение. Как видно из (3.52), с увеличением радиуса вихря Ь (чзр будет уменьшаться. Однако раамеры вихря не могут быть произвольно большаки, они должны быть ограничены тем условием, что эллипс с полуосямн вЬ и Ь должен касаться стенок (у = Ь и у = О) и при 410 гстойчнвость ллминлвных течений (гл. х! значение угла з из (3.55) в (3.54), получим: К 2АЗ+2ь +3.3 е (1 — еа) (3.56) Наименьшее значение коэффициента в выражении для (х,р, равное 4)г 6, достигается при 3 (~ 15 )7 6) О'475 (3.57) Таким образом, критическое число Рейнольдса будет теперь представляться в виде 1 ~ ('„')',зла о 34=3 = О.
(3.59) Выполняя аарьирование под знаками интегралов, будем илюетгц 1 1 е ~ ~ асззс(л~ =- 2 ) и оазз!)з, о о 1 ! о~~ (ив ) з У ~=2~ '— '" — ","з ) . (3.60) (3.61) Принимая, что на границе вихря (а=1) вариация вихря обращается в нуль, после интегрирования по частям получим: 1 ! 1 г — ~ ' .) = ." ~ ,) Пе Лаь Лв 1 и! апьб 1 Л 7 Ле! — зз — ~Уз = — азов — ~ оа — !!за — ! гЬ = — 1 Зы — (зз — ) ~Ь. кз ' кг л'з пз'! л.) ,! и (, пг,) е о о Если выполнить варьирование дроби в (3.59) и использовать предшествующие равенства, то найдем: ! , ~и ( з'~"') ) ь а„,~~,)з О Пркравннвая нулю коэффициент прн вариации угловой скорости и под знаком интеграла, получим дифференциальное уравнение для гавр = 8 У 6 й.
(3.58) Для определения наименьшего значения праной части (3.58) будем варьировать зависимость угловой скорости вихря в от расстояния з танин образом, чтобы вариация от множителя й обращалась в нуль. 6 3) твчвнив с пгямолннвйным пгоеилвм глспгядвляния скогосгвй 411 искомой угловой скорости — ь е — ь+ Аыьа = О. Н / аии' ие ~ де) При подстановке и == у, е' =- Е "у' д а (3.62) уравнение (3.62) приводится к известному дифференциальному урав- нению для цилиндрических функций иэу 1 ау, 1 йеь е'бес ( е э) — — +,—,+ ) ')у=О. Из лвух решений этого уравнения берем именно то, которое остаатся конечным при л'.=- О, т. е.
у = С/ь (е') =-. Сеь (з )I Й). Чтобы удовлетворить условию обращения в нуль угловой скорости вихря на границе кругового вихря на вспомогательной плоскости. необходимо положить: У,(У Ф) = О. (3.64) Уравнением (3.64) предопределяется выбор значения множителя и. Обозначая наименьший корень функции 1, через >,„будем иметь: й=л,'. Так как из таблиц иььеем: сь = 3,832, ь~ ~=- 14,68, то наименьшее значение критического числа Рейнольдса из (3.58) будет равно (Я„р) „.= 288. (3.65) Таким образом, при использовании энергетического метода исследования устойчивости можно придти к выводу, что ламинарное плоско-параллельное течение с прямолинейным профилем распределения скоростей будет заведомо устойчиеым, если часло гс не будет превышать значения 288.
Следует, однако, заметить, что полученное с помощью энергетического метода значение критического числа К намного меньше того значения, которое получается косвенным путем на основании некоторых опытов. Это значит, что энергетический метод исследования устойчивости ламинарных течений Таким образом, зависимость угловой скорости вихря от расстояния прелставляется через функцию Бесселя первого рола в виде ш(я) = — ль(5 у й).
УстОЙчиВОсть ЛАминАРных течений (гл. хг 412 позноляет епределять критическое значение числа Рейнольдса с большим запасом. Различие результатов исследований устойчивости ламинзрного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей, проведенных по методу малых колебаний и с помощью энергетического метода, следует, повидимому, объяснить прежде всего тем, что в первом методе диффвренциальные уравнения поля возмущений линеаризируются, тогда нак при энергетическом методе нелинейные слагаемые з уравнениях учитываются. 9 4.
Об усгойчивостн ламннарных течений между параллельнымн стенками н в пограничном слое В й 2 было указано, что исследование устоИчивости ламинарного плоско-паргллельного течения между параллельными стенками и в пограничном слое по методу малых колебаний сводится к решению дифференцнзльного уравнения (2.9) для функции тока ф' поли возмущения. Обозначая характерную скорость течения через (г', характерный размер через й вводя число Рейнольдса (4.1) и полагая ."=" у '-' ~=иг' аг — (Тш(у), ф'=(грр(у)ееаг -агг, (4. 2) получим из (2.9) следующее дифференциальное уравнение четвартого порядка для неизвестной функции х(у) поля возмущений: (пг(у, '— с)(ера — аеа) — ш"9 = — — (ергт — 2аегр" + а«р).
(4.3) ай Составляющее вектора скорости поля возмущений будут при этом равны: ем е гт~~~ ь гх-агй ах= (4.4) 1(ля исследования устойчивости ламинарного течения между двумя неподвижнывй стенками (у= — О, у =2гг) решение уравнения (4.3) необходимо годчннить граничным условиям прилипання частиц жидкости к стенкам. В этом случае за характерную скорость течения (1 можно взять максимальное значение скорости (у = й). Тогда распределение скоростей по сечению в безразмерных параметрах будет б 4) 413 твчвннв мвждг плвлллвльными станками представляться в виде (у) = =(у,.у — у'), Уг (4.5) где — Ь у =2— (4.6) Учитывая равенства (4.4) и (4.б), можно записать условия прнлипа- ния частиц жидкости к стенкам в поле возмущений в виде м(о) = о, р'(о) = о, м(~,)=о, р'(у,) =о.
1 (4.у) Для исследования устойчивости течения в пограничном слое решение уравнения (4.3) должно проводиться прн выполнении условия прнлипання к одной стенке р(о)=о, р'(о)=о (4.3) и при выполненнн дополннтельного условия на границе слоя, отражающего собой непрерывный переход решения уравнения (4.3) для вязкой жидкости в решение соответственного уравнения для идеальной жидкости. Уравнение поля возмущений для идеальной жидкости мы получим из (4.3), полагая прн )т-ьпо шв(у)-ь О.
Прв этом предельном переходе мы получим из (4.3) уравнение яцр= о, общее решение которого представляется в виде (4.9) м = Сде в + Сэе Чтобы иметь ограниченное решение уравнению (4.9), необходимо постоянную С приравнять нулю. Тогда требование непрерывности перехода решения уравнения (4.3) в решение уравнения (4.9) на границе слоя (у= — у ) может быть представлено в виде равенств Т(у,)=С -"", м'(у ) = — Саяе Отсюда мы получим следующее дополнительное условие, которому необходимо подчинить решение уравнения (4.3) для случая исследования устойчивости течения в пограничном слое: ам(у ) + я~ (у,) = О. (4. 1О) 414 (ГЛ.
Х4 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТВЧВИИЙ К условиям (4.8) и (4.10) присоединяется условие ограниченности решения при неограниченном возрастании переменного у, т. е. р( )(< (4.1 1) Так как тв(у) представляет собой аналитическую функцию от у, то четыре независимых решения уравнения (4.3) булут аналитическими функциями от переменного у и целыми функциями от трех входящих в уравнение параметров а, агс и с.
Параметр а представляет собой длину волны возмущения, а параметр 44 — число Рейнольдса; оба параметра должны быть действительными, Параметр же с, связаннь~й со скоростью распространения волны возмущения и со степенью изменения со временем высоты гребня волны возмущения, пожег быть и комплексным, т. е. с = с„+ 1с,, Основная нлея исследования устойчивости ламинарного течения сволнтся к тому, чтобы найти зависимость межлу этими тремя параметрами а, (ч и с: Р (а, (4, с) =- О. (4.12) Если эта зависимость будет разрешена относительно параметра г, то после отделения действительной и мнимой части будут получены равенства с,=с„(а, Я), ~ са.=са(а, (х). (4.13) Из равенств (4.4) следует, что исследуемое течение будет устойчи- вым лля положительных значений сз и неустойчивым для отрицатель- ных значений сг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
