К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 43
Текст из файла (страница 43)
10.1. Характеристические функции при вытеснении нефти раствором активной примеси Как и при вытеснении нефти водой функция Баклея — Леверетта 1"., как видно из (10.7), равна доле воды в потоке. Но при вытеснении нефти раствором активной примеси 1 зависит не только от насыщенности, но и от концентрации примеси с. Из (10.8) видно, что при увеличении вязкости воды и фазовой проницаемости нефти, уменьшении вязкости нефти и фазовой проницаемости воды с ростом концентрации с функция Баклея — Леверетта уменьшается. На рис. 10.1 приведены графики функции 7" для системы нефть — вода (с = О) и нефть — раствор примеси (с = с').
Предельные водонасыщенности обозначены через оа и о* (са). Подставляя в первое уравнение (10.1) выражение для скорости фильтрации воды (10.7), получаем (10З) д1 дх Подставив в уравнение баланса массы примеси (10.4) выражения для скоростей фаз (10.7) и для концентраций ~р и а (10.3), преобразуем его к виду лт — (со+ Кс (1 — о) )- Гс) + тв — (с~ +Кс (1 — 1)) = О. д д дт дх (10.10) 235 Уравнения (10.6) (10.9) и (10.10) образуют замкнутую систему уравнений, описывающую процесс двухфазной фильтрации с ак- тивной примесью для определения о, с, р.
Переходя к безразмерным переменным $ и т по формулам (9.66) (т = 1), перепишем уравнения (10.9), (10.10) в виде до д~(о, с) (10.11) дт д1 — [с(о+6))+ — [с(/+А)1 =0, д д (!0.12) дт дй где введены обозначения й = К (! — К) ', 5 = (К+ Г) (1 — К) ' Отметим, что в случае радиального вытеснения динамика водо- насыщенности и концентрации примеси также описывается систе- мой уравнений (!0.11), (10.12). При этом в формулах (9.36) для $ и т следует положить т =- 2. Уравнения (!0.1!), (10.12) образуют независимую систему. Ре- шив ее и определив насыщенность о и концентрацию с из (10.6), найдем давление р. В силу зависимости ~ = ~ (о, с) в качестве неизвестных в си- стеме (10.11), (10.12) можно рассматривать как пару переменных (о, с), так и (о, !).
Решение этих уравнений можно изображать гра- фически: решению в точке ($, т) ставится в соответствие точка на плоскости (а, 1) с координатами [о ($, т), Г"($, т)[ (см. рис. 10.1). й 3. ДВИЖЕНИЕ СКАЧКОВ НАСЫЩЕННОСТИ И КОНЦЕНТРАЦИИ Уравнения (10.11), (10.12) образуют гиперболическую систему квазилинейных уравнений. Уравнение (10.11) является уравнением баланса массы водной фазы, уравнение (10Л2) — уравнением баланса массы активной примеси. Эти уравнения допускают разрывные решения, в распределениях насыщенности о ($, т) и концентрации с Я, т) возможны скачки. На скачках должны выполняться условия баланса массы водной фазы и баланса массы примеси, которые выводятся аналогично случаю классической модели Баклея — Леверетта (см.
3 5 гл. 9). Условие баланса массы воды на разрыве приводит к соотношению (9.49) и может быть представлено в рассматриваемом случае в виде П вЂ” л" "' ~ ' ' 1 ' . (10.13) «!т м Ж о.ь — о- Выведем условия баланса массы активной примеси на разрыве. В единичном объеме пористой среды масса примеси, растворенной в воде, равна тса, растворенной в нефти — глКс (1 — о), сорбированной — тГс.
Примесь переносится водной и нефтяной фазами, сорбированная примесь — неподвижна. В подвижной системе отсчета, связанной с разрывом, физическая скорость примеси в воде 236 равна (ни( (о, с)!(то)) — р', физическая скорость примеси в нефти— (ш (1 — !)/т (1 — о)) — Р', сорбированной примеси — Р'. Массовый поток примеси перед разрывом равен массовому потоку примеси за ним: тсьо+~ ' — р' !+тКсь(1 — о.!.)~ г т!(аэ, се) Г т (1 — ! (а+, с+)) та+ 1 т (! — а+) — Р'1 — о-'тГсиР'=тс а- ! ~ — Р')+ !, то- +тКс-(1 — о )[ — Р'~ — тГс-о Р'.
Г т (! — 1-) ь т (! — а-) Преобразуя полученное равенство, имеем ю с+ (!+ -!- И) — с (! + И) т с+(а++И) — с-(а-+Ь) Перейдя к безразмерным переменным $ и т, получим р с(~ с"с (1!" + И) с 0' + И) (10.14) с(т с+ (а+ + Ь) — с- (а — . (- Ь) Условия баланса масс (10.!3) и (10.14) называют условиями Гюгонио. Они связывают скорость разрыва Р, значения неизвестных перед разрывом о+, с+ и за ним о —, с —.
Перепишем условие (10.14) в следующем виде: (с+ — с-) (о+ + Ь) Р + с- (о+ — о — ) Р == = (с+ — с-) (7+ + А) + с- (( !. — 1-). В силу уравнения (10.13) вторые слагаемые в левой и правой частях сокращаются. Далее возможны два случая. Если с!.— с ~0, то из полученного выше равенства имеем р !ь-,И (10.15) о+-(-Ь ' Используя свойство производных пропорций, из (10.15) и (10.13) получаем р — !++И вЂ” ! +И (10.16) а+-аЬ о- —,Ь Если с+ — с = О, то условие (10.13) перепишется в виде .0 =- ' ') !( ' ' с+ — с-=с (1017) а+ — а— Скачки, на которых с+ — с- Ф О, называют с-скачками. Условие (10Лб) означает, что на плоскости (о, Г) точки с координатами (а, ~ ), (о+, !'И) и ( — Ь, — 6) лежат на одной .прямой.
Тангенс угла наклона этой прямой равен Р. Скачки, на которых с+ — с- = — О, называют о-скачками. Условия (10.17) означают, что на плоскости (о, 1) точки за разрывам 237 и передним лежат на одной кривой Баклея — Леверетта с = сопз1. Тангенс угла наклона прямой, соединяющей эти точки, равен О. При построении разрывных решений системы уравнений (10.11), (10.12), кроме условий Гюгонио (10.13), П0.14), необходимо еще удовлетворить условию устойчивости (см. 9 5, гл. 9). Оно состоит в том, что разрывное решение устойчиво относительно наложения малых возмущений на само решение. Для а-скачков зто условие сводится к выполнению неравенств ,'„(о+, с) ~ 0 < г„(а, с).
(10.18) Для с-скачков условие устойчивости сводится к выполнению только одного из неравенств (10.18). Далее при построении разрывных решений задач фронтального вытеснения нефти раствором активной примеси требуется выполнение на скачках условий Гюгонио и условия устойчивости. й 4.
ВЫТЕСНЕНИЕ НЕФТИ РАСТВОРОМ АКТИВНОЙ ПРИМЕСИ Рассмотрим задачу о непрерывном нагнетании в полубесконечный пласт водного раствора активной примеси с концентрацией са. В начальный момент водонасыщенность в пласте равна насыщенности связанной воды а . Процесс вытеснения описывается решением системы уравнений (10.11), (10.!2) со следующими начальными и граничными условиямн: при т=О а=оэ, с=О; (10.19) при $ = О ! = 1, с =с4.
(10.20) Если [а 5, т), с ($, т) ) — решение рассматриваемой задачи, то при любом а чь 0 (а (а$, ат), с (а$, ат)1тоже является решением этой задачи. В этом легко убедиться прямой подстановкой в систему уравнений и в краевые условия. Задача (10.11), (10.12), (10.!9), (10.20), описьвающая реальный физический процесс, имеет единственное решение. Поэтому для любого а ~0 выполняются следующие равенства: а(а, т)=а(а$, ат); с($, т)=с(а$, ат). Положив а = Ут, получим а$, т)=о(в!т, 1); с($, т)=сфт, 1). Отсюда видно, что решение задачи автомодельно, оно зависит от одного безразмерного комплекса Ь = $/т, так, что а=а(ь); с=с(ь).
(10.21) Продиффереицируем уравнение (10.12) по частям. После подстановки в полученное равенство уравнения (10.11), получим (а+Ь) — '+ ()+А) — '=О. дт д$ (10.22) Подставив автомодельные зависимости (10.21) в систему уравнений (10.11), (10.12), получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений: (1'.— 1) — "+1.— "=0; ««ь ««ь (10.23) ( /-!- Ь '~ «1с (10.24) о + Ь / ««Ь После подстановки автомодельной зависимости (10.21) в начальные и граничные условия (10.19), (10.20) формулируется краевая задача для системы (10.23), (10.24): при ь-+.оо «г=о„с=О; (10.25) при ~=0 )=1, с=с'.
(10.26) Систему (10.23), (10.24) можно рассматривать как однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных ««о/«/ь и «(с/«(ь. Ее тривиальные решения а (Ь) = сопз(, с (Ь) = сопз1 будем называть точками покоя. Нетривиальные решения этой системы соответствуют случаю равенства нулю ее определителя (/,' — ~)( '+" — ~) =о.
Определитель равен нулю в следующих двух случаях: 1) ~=~~; 2) ь=(/+/«)/(о+Ь). ' (10.27) В первом случае, как следует из уравнения (10.23), имеем «(с/««ь = О. Решение такого типа будем называть простыми о-волнами. Они задаются формулами с=сонэ(; Ь=/,(о, с). (10.28) Докажем, что второй случай невозможен. Для этого продифференцируем обе части равенства (10.2?) по ь: 1= — /(о+Ь) — (/+Ь) — /(и+ Ь)' = — — ~ ~ — — ~=0 «// йу 3 ! «««г /+Ь о+ Ь «Ч, ««+ Ь Полученное противоречие показывает, что других нетривиальных решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений (10.23), (10.24) нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
