К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пусть а, расположено левее точки о„перегиба графина функции ) (а) (см. рис. 9.4), тогда возникает скачок насыщенности. При этих условиях переменные в уравнении (9.52) разделяются, и его можно проинтегрировать. Полагая о — =- а,, получим в результате интегрирования условие (9.54). Таким образом, если при постоянной начальной насыщенности возникает разрыв, то на разрыве в любой момент времени т выполняется условие (9.54), т. е. в этом случае скачок является стационарным. Обобщая изложенное, сформулируем теперь задачу об отыскании решений квазилинейного дифференциального уравнения (9.35) в общем случае.
Требуется найти функцию о (г„т), удовлетворяющую начальному и граничному условиям (9.38) илн (9.39), непрерывную и удовлетворяющую уравнению (9.35) в каждой нз областей 1 и П (рис. 9.10), заполненных непересекающимися характеристиками, н условию (9.49) на разрыве В, = $, (т), связывающему предельные значения и+ и а- насыщенности н скорости Т).
этого разрыва. Вообще говоря, к перечисленным условиям необходимо добавить еще одно — определяющее так называемую устойчивость разрывного решения. Для устойчивости скачка необходимо, чтобы в любой точке кривой 5, (т) пересекались две характеристики уравнений.(9.35).
При этом любая характеристика, скорость которой. 7"' (о) равна скорости скачка Е>, считается приходящей на скачок., Это условие для класса рассматриваемых задач с кусочно-постоянными данными (9.39) можно сформулировать следующим образом.
Пусть Š— прямая на плоскости (о, 7 (о)), соединяющая точки (и, ~ ) и (и+, )'+). Здесь, как и ранее, о — — значение насыщенности «до» разрыва (правосторонний предел по отношению к изменению $), а а+ — значение насыщенности «после» разрыва (левосторонний предел); Г"- = 7 (о-) и Г+ = 7 (а+) соответственно (см 219 оа 4 9 Рис. 9. !О. 'Диаграмма для построения решения абобшеиной задачи Баклея— Леверетта Рис. У !!. Кривая распределения водонасышеииости в пласте при выполнении условна (9.39) ггоС оо о =- о* при $ =- О, т)0. (9.55) При этих условиях на участие 0 с $ < $, насыщенность непрерывно убывает от о* до о, в соответствии с выражением (9.47). Чтобы найти значение насыщенности на скачке о„нужно провести касательную к кривой ! (о) из точки (о„!' (оа)) на рис.
9.4. Абсцисса точки касания определит значение насыщенности на скачке о, (см. формулу (9.54)). Значение координаты скачка насыщенности в момент времени т найдется из формулы (9.47): $,=7'(о,)т. (9.56) Для значений $.о с„т. е. впереди фронта, насыщенность постоянна и равна начальной: о =- о,. Итак, решение задачи 'о вытеснении нефти водой из слабо обводиенного пласта при условиях (9.39) имеет вид о=о" при 9=0, т~О; )'(о) =$!т при 0(В ( !" (о,) т =$с. о=о, при !'(о,) т($(1.
(9.57) 220 рис. 9.4). Тогда вдоль допустимого разрыва кривая 1 (о) на интервале (о —, о+) располагается ниже прямой Е, если о (о+, и выше прямой Ь, если о )о+. Основываясь на предыдущих результатах, можно записать решение задачи Баклея — Леверетта для простых кусочно-постоянных условий вида (9.39). Пусть о, заключена в интервале (О, о„), где о„— точка перегиба функции Баклея — Леверетта (см.
рис. 9.4). Это означает, что в начальный момент пласт обводнен слабо (либо насыщен только нефтью, если о, = 0). Будем считать, что в пласт закачивается чистая вода и на входе 9 =- 0 водонасыщенность оа = — о' в любой момент времени: Распределение о ($) в момент т, когда фронт не достиг галереи, поиазано на рис. 9,11. Отметим, что в соответствии с рис. 9.5 с ростом отношения вязкостей. (ле кривая ( (о) сдвигается вправо.
и эффективность. вытеснения:возрастает. Например, применение пен и загустителей, повышающих вязкость нагнетаемой воды, может значительно увеличить значение о, и, следовательно, нефтеотдачу. Важным показателем процесса вытеснения служит средняя во,донасьпценность о в зоне смеси, определяемая как отношение объема воды в пласте после ее закачки, к объему порового пространства и зоне смеси. Для случая о, =- 0 лст лст 1 о -- —— б т$ слр(ос) т Р (ос) (9.58) о =- о* при $ = О, т)0; ('(о) = Вот при 0($ С('(о,)т; о=-о, при ~'(оа)т~$(1. (9.59) Расчет коэффициента нефтеотдачи Одна из важных технологических характеристик процесса вытеснения — коэффициент безводной газо- или нефтеотдачи т).
Он определяется как отношение вытесненного водой объема нефти от нагнетательной галереи (скважины) до фронта к общему объему пор, занятых нефтью до начала вытеснения. Подсчитаем этот коэффи- 221 Равенство (9.58) имеет простую геометрическую интерпретацию. оа Если продолжить касательную к кривой ( (о) (см. рис. 9.4), определяющую фронтовую насыщенность о„ до пересечения в точке а 1 4 В с прямой ( (о) = 1, то абсцисса ТОЧКИ В ОПрЕдЕЛнт ЗиаЧЕНИЕ О. Рис.
Р.(2. КРиваи Р'спРеД'ленни водонасысиенности в сильно аб- Необходимо отметить, что в дей- водненнои пласте (о, ~ о,) ствительности математический скачок насыщенности не имеет места. Он появляется в решении вследствие пренебрежения капиллярными силами, засчет которых появляется некоторая «переходная зона» вблизи фронта вытеснения, в которой насыщенность изменяется непрерывно от значения о, до о, (см.
5 6). При вытеснении нефти водой' из (сильно обводненного пласта, когда о,- о„(см. рис. 9.4), условие устойчивости скачка не выполняется и уравнение (9.35) имеет непрерывное решение (рис. 9.12) при условиях (9.39): циент для случая слабо обводненного пласта, описываемого соот- ношениями (9.57). Имеем Зо оо ( (а — ао)оо ч= (9. 60) оо(! ао) Ос Переходя в интеграле (9.60) от переменной $ к переменной гг с помощью (9.47), как и ранее при вычислении средней насыщенности о, и интегрируя по частям, находим !с а а а Ь вЂ”; != )! — огоо.=.(~.—;|г|! '-.(г!!о.1= 'о а* о =т [(а,— оо)!'(оо)+1 — )(о)1 где учтено, что )" (о*) = О, ) (о") = 1. Подставляя полученное выражение для безразмерного объема закачанной воды в (9.60) и учитывая (9.54) и (9.56), окончательно.
получаем после преобразований а, — — ао ! — ((а,) (9.6!г ! — а, ((а ) — )" (а,) Коэффициент безводной нефтеотдачи увеличивается с ростом отношения р„т. е. при увеличении вязкости вытесняющей фазы или (и) при уменьшении вязкости вытесняемой фазы. Полученные точные решения (9.57) и (9.59) задачи о вытеснении нефти (или газа) водой применяются при оценочных инженерных расчетах основных технологических параметров разработки нефтяных и газовых месторождений с использованием процесса заводнения. Кроме того, они могут служить тестами при оценке точности численных методов решения более сложных задач двухфазной фильтрации с использованием ЭВМ. В общем случае иеодномерного вытеснения„а также при учете сжимаемости одной из фаз рассмотренная задача уже не сводится к одному уравнению для насыщенности. Необходимо совместно определять давление и насыщенность.
Численные решения таких задач могут быть получены лишь иа ЭВМ. Основы построения разиостных схем и методов численного решения соответствующих задач подземной гидравлики изложены в гл. 13. й а. двухФАзное течение с учетОм клпилляРнОГО ДАВЛЕНИЯ Учет капиллярного скачка давления р„который задается в виде известной эмпирической функции насыщенностей равенством (9.13), приводит к теории следующего приближения — модели Рапопорта— Лиса. 222 Рассмотрим особенности одномерной двухфазной фильтрации несжимаемых флюидов с учетом капиллярного давления в предположении, что силой тяжести можно пренебречь. Тогда процесс двухфазного течения описывается уравнениями (9.26) и (9.31) прн А =- А« — — О, которые приводятся к виду — +А»"' — (й«(о)1(о),Г(о)$" — 1 =О, (9,62) д« дй ' д« д1 1 где и — 0 и 1 соответственно для случаев прямолинейно-параллельного и радиального вытеснения; А~»~ = Аы А«' — — А» находятся ка (и из (9.26) и (9.32); безразмерные переменные $ и т определяются соответственно равенствами (9.24) и (9.30).
Вопрос о формулировке начального и граничных условий для уравнения (9.62) рассматривался в 3 4. Одним из главных путей изучения механизма вытеснения остается метод физического моделирования как в силу трудностей аналитического и численного исследования, так и из-за отсутсгвия достаточных сведений об эмпирических функциях й~ (о) и «' (о), определяющих процесс двухфазной фильтрации. Остановимся на некоторых известных решениях уравнения (9.62), позволяющих оценить влияние капиллярных сил на двухфазное течение флюидов.
Стабилизированная зона и будем искать решение уравнения (9.62) (при п = 0) в виде а = о ($ — 1»т) = а (~). (9.63) 2«з Действие капиллярных сил проявляется в основном вблизи фронта вытеснения, где градиенты насыщенности велики. Эти силы приводят к «размазыванию» фронта, поэтому при учете капиллярных сил скачок насыщенности отсутствует и насыщенность изменяется непрерывно. Установлено, что распределение насыщенности в переходной области вблизи фронта при постоянной скорости вытеснения в =- = в сопз1 не меняется со временем, т. е.
образуется так называемая стабилизированная зона, которая перемещается, не изменяя своей формы. Это означает, что в системе координат ь, связанной с движущимся фронтом, распределение насыщенности не должно зависеть от времени: о =- о (~). Течение в стабилизированной зоне соответствует предельному решению уравнения (9.62), получаемому при длительном протекании процесса, когда распределение насыщенности не зависит от граничных условий. Рассмотрим случай прямолинейно-параллельного вытеснения (а = — 0 в уравнении (9.62). Пусть Р— скорость движения фронта вытеснения.
Сделаем замену переменных Из (9.63) находим до до — = — — Р, дт дь до до дч д(, и уравнение (9.62) принимает вид — Р— +('(а) — +Аа )а2(а)) (а),1'(а) 1 =-О. д... ",. д~ 1 Интегрируя последнее уравнение по ~, получаем — Ра+)'(а)+Аьйо(а))'(а) У'(а) — =С, (9,64) где С вЂ” постоянная интегрирования. Требование смыкания искомого решения с решением Баклея— Леверетта, а также стационарность течения в системе координат ь приводят к следующим граничным условиям: а( — ««)=а+=ос, 'а(+ао)=а =по (965) где а+ = а, и а — = а, — насыщенности соответственно за и перед скачком, связанные соотношением (9.54).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
